学科：奥数年级：初三不分版本期数：346本周教学内容：韦达定理及其应用【内容综述】_bq设一元二次万程有二实数根，则，这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a,b,c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次万程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。要点讲解】1．求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。色+&★★例1若a,b为实数，且护+生+1=°,於+五+1=(］，求门了的值。思路注意a,b为方程的二实根；(隐含A-°)o解(1)当a=b时，—+—=£口&;2(2)当说护*时，由已知及根的定义可知，a,b分别是方程的两根，由韦达定理得+i=ab=1..ba_八记_依+疔-如_(-3)2-2x1_..-I-==■'abdbdb11r2”4F—十—说明此题易漏解a=b的情况。根的对称多项式，，“匕等都可以用方程的系数表达出来。一般地，设呵，勺为方程朋°小+f"的二根，凡=并+巧，则有递推关系。^1^+2+力起+i+%=D其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a,b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。★★★例2若朋2=^+1,屮—卫-1=U且純Hh，试求代数式沪川的值。思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。_解：因为用，由根的定义知m,n为方程的二不等实根，再由韦达定理，得用十斤=1伽=一12．构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。匚I__★★★★例3设一元二次方程的二实根为氏和川。护试求以M和押为根的一元二次方程；若以/和伊为根的一元二次方程仍为"一^+9=。。求所有这样的一元二次方程。解(1)由韦达定理知，。所以，所求方程为—”心。■■茂m劇=q3(2)由已知条件可得p=p(p2-3q)CDq3=q-②解之可得由②得厂。，±1分别讨论(p,q)=(O,O),(1,0),(-1,0),(0,1),(2,1),(—2,1)或(0,—1)。于是，得以下七个方程*-2口，代+“[],代+]=口，恋_2英+i=u,x2+2x+1=0,x2-1=0,其中x2+1=0无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。3．证明等式或不等式根据韦达定理(或逆定理)及判别式,可以证明某些恒等式或不等式。★★★例4已知a,b,c为实数，且满足条件:说一百一&,&_%一9，求证a=b。证明由已知得盘+M,处=宀9。根据韦达定理的逆定理知，以a,b为根的关于x的实系数一元二次方程为r2-6x+c2+9=0q由a,b为实数知此方程有实根。也=（一研+>0Oc2=0，故c=o,从而山=°。这表明①有两个相等实根，即有a=bo说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得c=0后，由恒等式3"）—依一对宀咙1可得3一切="一厲“卩二。，即a=bo此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。4．研究方程根的情况将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。关于方程曲2+昭盅&工®的实根符号判定有下述定理：⑴方程有二正根A-°，ab<0,ac>0;⑵方程有二负根A-°，ab>0，ac>0；⑶方程有异号二根台°>°，ac<0；⑷方程两根均为“0”°山b二c=0,'护°;★★★例5设一元二次方程r+2^+6-c?=0的根分别满足下列条件，试求实数a的范围。⑴二根均大于1；⑵一根大于1，另一根小于1o思路设方程二根分别为可，匕，则二根均大于1等价于和包一'同时为正；一根大于1,另一根小于是等价于可'和“1异号。解设此方程的二根为可，乙，则工1+D=一2口-x2=6-d,。⑴方程二根均大于1的条件为A=4ff3-4(5-(3)>0,<；(xL-1)十(心-1)=-加-2>0,(xL-l)(x2-1)=6-ff-(-+1>0.解之得—7
0,[(X]—l)(x2—1)=6—a—(—2a)+1<0.解之得。a<—7。说明此例属于二次方程实根的分布问题，注意命题转换的等价性；解题过程中涉及二次不等式的解法，请参照后继相关内容。此例若用二次函数知识求解，则解题过程极为简便。5．求参数的值与解方程韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程（组）中也有着许多巧妙的应用。八,“、e儆+7）'金+4）fr+1）=巧★★★例6解万程'解：原方程可变形为（6x+7）2（6r+8）（6r+6）=72令也工+7『=“，做词他+6）況。则G+（_b）=l处卜功=_72由韦达定理逆定理知，以a,—b为根的一元二次方程是f-^-72=0解得儿“，出第。即a二—8或a=9。£?=-SJb=9,L-或L求解x结果相同，且严谨。解之得(fir+7)2=9（舍去）。。此种方法应检验：做蜩他铳：M是或否成立本周强化练习：A级★★1•若k为正整数，且方程（訐-*一处戏一弧皿=。有两个不等的正整数根，则k的值为★★4.已知方程M+也工-用+1=。（m为整数）有两个不等的正整数根，求m的值。B级★★★5.已知：啜和©为方程*亠丹+可-。及方程的实根，其中n为正奇数,且宀化巴£求证：用，既是方程的实根。★★★★6.已知关于x的方程工+"=了工的二实根皿和川满足宀+0"，，试求k的值。参考
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
1．2提示：原方程即険十^-恥-出-0，所以疋厂冃，“二！由2)1口知k=1,2,3,+邑.2.提示：由x,y为方程的二根，知X+^=_11^16。于是原式=寻=扣-小二「中尸一呵=±乎3.21提示：由诗=*1，诗T+1，叼7=1知，=2勺处十跖+1)+5^2十5匕=(xj+1++1)+5(x2+=6x^+牡i4-10r3+5=成心+1)十％+1Ox2+5=10(^十;十1=21设二个不等的正整数根为良，0伝"1,由韦达定理，有H=-m+1消去m，得療-哎-护1O即依-1)炉1)=【。则借-1=1且少-1=2。山=2，g。故心-伝+0)=」。由韦达定理有1■"少-p，加Ag。弋復4+存护+于=00凝+护烬4-^=0-又，二式相减得将心沪-耳代入有品+护-帥砂艷从而十1-兰十110J=0同理I和比是方程当《,=卩时，可知a=P=1，所以I4+k=3x12nk=2，当《,工卩时，易证得段#"。从而皿于是当即能符合题意，故k的值为为方程不-笼十*=U的二不同实根。时，方程为解得
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