⑴⑵特别，⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽(11)或(12)常用积分公式
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
•例题和点评fkdx=kx+c(k为常数)f1Jx卩dx(pz-1)=x卩+i+cp+1f1,1dx=-+c,x2xf1dx=lnlxI+cxf丘=3x2+c，f2dx=亦+cfaxdx=+c,lna特别，jexdx=ex+cf1dfddx=csc2xdx=-cotx+csin2xf1dfddx=sec2xdx=tanx+ccos2xf-dx=—lna2一x22a+c(a>0)-dx=丄lnx2一a22a+c(a>0)Lnxdx=-cosx+cfcosxdx=Sinx+c1dx=arcsin+c(a>0)，特别，dx=arcsinx+c
0),特别，Jatanxdx=-ln|cosx|+c(13)jcotxdx=ln|sinx|+c2（⑷|=|cscxdx=sinxIn|cscx-cotx|+c.xlntan—+c2(15)Isecxdx丄dx=0)a2.xx:'a2—x2dx===arcsin—+a2—x2+c(18)j右忑==号丘忘士ylnlx+Jx2土a2+c||.‘,asinbx-bcosbxeaxsinbxdx=eax+ca2+b2|,,bsinbx+acosbxeaxcosbxdx=eax+ca2+b2(20)j1dx=I(a2+x2)n2n—3+I+c(递推公式)n2(n—1)a2(a2+x2)n-12(n—1)a2n-1跟我做练习（一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式）例24含根式\'OX2+bx+C的积分—4x+5dx=x—2)2+1d(x—2)[套用公式(18)]⑴2(2)jx\;，x2-4x+5dx=*j[(2x-4)+4^;x2-4x+5dx2a2卡d(x2-4x+5)+J」dx=(请你写出答案)⑶f—x2-4x+5d(x—2)=Inx—2+J(x-2)2+1⑷Lvx2-4x+52vx2-4x+5[套用公式(16)]1f◎-4)+4dx=1fd(x2-4x+5)+2)..dx2Jx2—4x+5Jx2—4x+5二(请你写出答案)f(5)J*5+4x一x2dx=32x—2x—2■-(x-2)2d(x-2)=arcsin+32-(x-2)2^23^2f1f(6)Jx€5+4x-x2dx=—[(4-2x)-4^.5+4x-x2dx[套用公式(17)]——x'5+4x—x2d(5+4x—x2)+2f5+4x—x2dx=(请你写出答案)⑺f血=f坐二2=arcsin匚2[套用公式⑼]32-(x-2)23=丄f[(4-2x)-4〕dx=丄fd(5+4x—x2)+2fdx-2-J5+4x-x2J5+4x—x2v'5+4x-x2⑻fxdx<5+4x-x2-2d(x-2)■J5+4x一x2二(请你写出答案)例25求原函数f1x2+€2x+112x解因为1+x4=(1+2x2+x4)—2x2=(1+x2)2—G'2x)2=(1+x：2x+x2)(1—v'2x+x2)所以令Ax+B1+x4Cx+D（A,B,C,D为待定常数）(Ax+B)(x一w2x+1)++D)(x2+£2x+1)x1=in+arctan(见下汪)-1=——1=+2x+1x2一2x+1从恒等式（Ax+B）（x2-迈x+1）+（Cx+D）（x2+迈x+1）三1（两端分子相等），可得方程组B+D=1（常数项）A-巨B+C+巨D=0（一次项系数）-•込A+B+3C+D=0（二次项系数）A+C=0（三次项系数）解这个方程组（在草纸上做），1111x+—x+—12.222.22,dx=dx+dx1+x4x2+、；2x+1x2一J2x+1右端的第一个积分为f11J对2dx=x2+\2x+1丄j(2x+、③+*込dx=丄j4^2x2+y2x+14*21jd(x2+V2x+1)+1j——+-r运x+—〔2丿——in(x2+丫2x+1)+——arctan(J2x+1)4f22J2(2x+②+迈x2+x/2x+142x2+72x+14空些+J1dxx2+t2x+14x2+2x+1dx（套用积分公式）<1¥、迈丿类似地，右端的第二个积分为11TOC\o"1-5"\h\zj一x+ii—^22dx=-ln(x2一、；2x+1)+arctan(\/2x—1)x2—y2x+14.22\2所以-—dx=Lin"+［台+1+——arctan(、2x+1)+Larctan(j2x一1)1+x442x2—2x+1222<2【注】根据tanQ+B)二tan—tan卩,则1一tana•tanptanarctan(V2x+1)+arctan(V2x-1)=©2x土l)+(i：2x-1)1-32x+1)&2x-1)2<2x2(1-x2)、：2x1-x2因此,arctan('；2x+1)+arctan^'2x-1)=arctan2x?1-x例26求dx1-scosx(0
方法
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虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数那样
规范
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化•这是因为从根本上说，函数y=y（x）的导数或微分可以用一个“构造性”的公式y(x)—lim或dy=y(x)dxhtOh确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数（这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样）.有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数，譬如Je一x2dx,Jexdx,J沁dx等xx都不能表示成初等函数.因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分.尽管如此，我们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此，读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.4时2x2一P2x+12\-21—x21+tan2—
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