初中数学青年教师解题竞赛试卷 初中数学青年教师解题竞赛试卷 一、填空（本题共有10小题，每小题4分，共40分） 1．函数 中，自变量 的取值范围是 . 2．圆锥的母线长为5cm，高为3 cm，在它的侧面展开图中，扇形的圆心 角是 度. 3．已知 ，那么 的值是 . 4．△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE//BC，BE与CD相交 于点O，在这个图中，面积相等的三角形有 对. 5．不等式 的正整数解的共有 个． 6．函数 的图象在 象限． 7．在△ABC中，AB＝10，AC＝5，D是BC上的一点，且BD：DC＝2：3，则AD的取值范围是 . 8．关于自变量 的函数 是偶函数的条件是 . 9．若关于未知数 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是 . 10．AB、AC为⊙O相等的两弦，弦AD交BC于E，若AC＝12，AE＝8， 则AD＝ . 二、（本题满分12分） 11．如图，已知点A和点B，求作一个圆⊙O， 和一个三角形BCD，使⊙O经过点A，且使所作的 图形是对称轴与直线AB相交的轴对称图形．（要求 写出作法，不要求证明） 三、（本题满分12分） 12．梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级 的宽成等差数列，计算与最低一级最接近的一级的宽． 四、（本题满分13分） 13．已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程． 五、（本通满分13分） 14．池塘中竖着一块碑，在高于水面1米的地方观测，测得碑顶的仰角为 ，测得碑顶在水中倒影的俯角为 （研究问题时可把碑顶及其在水中的 倒影所在的直线与水平线垂直），求水面到碑顶的高度（精确到0.01米， ）. 六、（本题满分14分）. 15．若关于未知数x的方程 （p、q是实数）没有实数根， 求证： . 七、（本题满分14分） 16．如果⊙O外接于正方形ABCD，P为劣弧AD上的一个任意点，求： 的值. 八、（本题满分16分） 17．试写出m的一个数值，使关于未知数x的方程 的 两根中一个大于1，另一个小于1. 九、（本题满分16分） 18．点P在锐角△ABC的边上运动，试确定点P的位置，使PA+PB＋PC最小，并证明你的结论. 参考答案 一、1. 且 2.288 3. 4.4 5.6 .一、二、三 7. 4
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示题中的等差数列，由已知条件有 解得 答：与最低一级最接近的一级的宽103cm. 四、13. 解：设点M（x,y）是曲线上的任一点，MB⊥x轴，垂足为B， 那么点M属于集合 . 由距离公式，得 , 化简，得 . 曲线在x轴的上方，y>0, 所求的曲线的方程是 五、14. 解：如图，DE表示水面，A表示观测点， B为碑顶， 在水中的倒影，由题意： 设 ,则 在Rt△ABC中， 在Rt△A C中， 由、得 米 答：水面到碑顶的高度4.41米. 六、15. 证：由题意，令 得 即 七、16. 解：如图， 平分直角 ， 在△APB中，由余弦定理，得： 同理，在△BPC中，有 当点P与点A或点D重合时. 八、17. 解法1：设 ，则 ,令 ，得 ， 当 时，所给方程两根中，一个大于1，另一个小于1. 解法2：设 是方程的两根，则 ，依题意， 解得： . 当 时，所给的方程的两根中，一个大于1，另一个小于1. 九、18. 解：当点P在锐角△ABC最短边上的高的垂足的位置时，PA+PB＋PC最小. 证明：如图，P为△ABC一边BC边 上的高的垂足，而Q为BC边上的任一点， 又设AC为△ABC最短边，作这边上的高 （如图），可知 . 在 上截取 ,在BC上截 取 ，作 .垂足为 ,连 结 . ≌ . 四边形 是矩形， ，在 中， ， . (2002.12.15)
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