高中数学数列知识点

范文范例参考完美Word 格式 pdf格式笔记格式下载页码格式下载公文格式下载简报格式下载 整理版1、数列中a与Snn数列之间的关系：S,(n1)a1注意通项能否合并。nSS,(n2).nn12、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即a－ann1=d，（n≥2，n∈N），那么这个数列就叫做等差数列。⑵等差中项：若三数a、A、b成等差数列Aab2⑶通项公式：ana(n1)da1m(nm)d或apnq(p、q是常数）.n⑷前n项和公式：nn1naaSnan1d1n22⑸常用性质：①若mnpqm,n,p,qN，则aamnaa；pq②下标为等差数列的项a,akkm,a,k2m，仍组成等差数列；③数列anb（,b为常数）仍为等差数列；④若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kanpbn}(k、p是非零常数)、{apnq}(p,qN*)、，…也成等差数列。⑤单调性：an的公差为d，则：nⅰ）d0anⅱ）d0a为递增数列；为递减数列；ⅲ）d0an为常数列；⑥数列{a}为等差数列annpnq（p,q是常数）⑦若等差数列an3、等比数列的前n项和Sn，则S、Sk2kS、Sk3kS…是等差数列。2k⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。⑵等比中项：若三数a、G、b成等比数列G2ab,（ab同号）。反之不一定成立。⑶通项公式：anaqn1a1mqnma1qnaaq⑷前n项和公式：S11n⑸常用性质n1q1q①若mnpqm,n,p,qN，则aamnaa；pq②a,a,a,为等比数列，公比为qk(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)kkmk2m③数列an（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；正项等比数列an；则lgan是公差为lgq的等差数列；④若a是等比数列，则ca，a12，，nnnan1ar(rZ)是等比数列，公比依次是q，q2，，qr.nq⑤单调性：a0,q1或a0,0q1a为递增数列；a0,0q1或a0,q1a11为递减数列；n11nq1anq0a为常数列；为摆动数列；n⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。⑦若等比数列a的前n项和S，则S、SS、SS…是等比数列.nnk2kk3k2k4、非等差、等比数列通项公式的求法类型Ⅰ观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。类型Ⅱ公式法：若已知数列的前n项和S与a的关系，求数列a的通项a可用nnnnS,(n1)公式a1构造两式作差求解。nSnSn1,(n2)用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a和a合为一个表达，（要先分n1和n2两种情况分别进行运算，然后验证1n类型Ⅲ能否统一）。累加法：形如an1anf(n)型的递推数列（其中f(n)是关于n的函数）可构造：aaf(n1)nn1aaf(n2)n1n2...aa21f(1)将上述n1个式子两边分别相加，可得：af(n1)f(n2)...f(2)f(1)a,(n2)n1①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和.形如an1a累乘法：类型Ⅳaaf(n)n1nanf(n)型的递推数列（其中f(n)是关于n的函数）可构造：ann1af(n1)n1f(n2)an2...a2a1f(1)将上述n1个式子两边分别相乘，可得：af(n1)f(n2)...f(2)f(1)a,(n2)n1有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。类型Ⅴ构造数列法：㈠形如apaq（其中p,q均为常数且p0）型的递推式：n1n若p1时，数列{an}为等差数列;若q0时，数列{an}为等比数列;若p1且q0时，数列{an数列来求.方法有如下两种：}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比法一：设an1p(an),展开移项整理得an1pan(p1),与题设apaq比较系数（待定系数法）得q,(p0)aqp(aq)n1np1n1p1np1aqp(aq),即aqq构成以a为首项，以p为公比的等np1n1p1np1q1p1比数列.再利用等比数列的通项公式求出an的通项整理可得a.p1naa法二：由apaq得apaq(n2)两式相减并整理得n1np,即n1nnn1aann1aan1n构成以a2a为首项，以p为公比的等比数列.求出1aan1n的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出a.n㈡形如apaf(n)(p1)型的递推式：n1n⑴当f(n)为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设anAnBpan1A(n1)B，通过待定系数法确定A、B的值，转化成以a1AB为首项，以p为公比的等比数列anAnB，再利用等比数列的通项公式求出anAnB的通项整理可得a.n法二：当f(n)的公差为d时，由递推式得：an1panf(n)，anpan1f(n1)两式相减得：aan1np(anan1)d，令bnaan1n得：bnpbn1d转化为类型Ⅴ㈠求出bn，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出a.n⑵当f(n)为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设anf(n)pan1f(n1)，通过待定系数法确定的值，转化成以af(1)为首项，以p为公比的等比数列a1nf(n)，再利用等比数列的通项公式求出anf(n)的通项整理可得a.n法二：当f(n)的公比为q时，由递推式得：apaf(n)——①，n1npann1f(n1)，两边同时乘以q得anqpqan1qf(n1)——②，由①②两式相aqa减得aaqp(aqa)，即n1np，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出a.n1nnn1aqannn1法三：递推公式为apaqn（其中p，q均为常数）或aparqn（其中p，n1nn1naq,r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以qn1，得：n1pan1，引入辅助数列b（其中ban），得：bbqn1qqnqp1再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。nnqnn1qnq⑶当f(n)为任意数列时，可用通法：aaf(n)a在apaf(n)两边同时除以pn1可得到n1n，令nb，则n1npn1pnpn1pnnbf(n)，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出b之后得apnb.n1npn1nnn类型Ⅵ对数变换法：形如apaq(p0,a0)型的递推式：n1n在原递推式an1paq两边取对数得lgan1qlganlgp，令bnlga得：nbn1qbnlgp，化归为an1panq型，求出bn之后得an10bn.（注意：底数不一定类型Ⅶ要取10，可根据题意选择）。倒数变换法：形如aapaa（p为常数且p0）的递推式：两边同除于aa，转化为n1nn1nn1n11p形式，化归为apaq型求出1的表达式，再求a；aann1n1nann还有形如ama的递推式，也可采用取倒数方法转化成1m1m形式，化归为nn1paqaqapnn1napaq型求出1的表达式，再求a.n1nann类型Ⅷ形如apaqa型的递推式：n2n1n用待定系数法，化为特殊数列{aa}的形式求解。方法为：设nn1akah(aka)，比较系数得hkp,hkq，可解得h、k，于是n2n1n1n{an1kan}是公比为h的等比数列，这样就化归为an1panq型。总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解对，不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 方法求出数列通项公a式.n5、非等差、等比数列前n项和公式的求法⑴错位相减法①若数列a为等差数列，数列b为等比数列，则数列ab的求和就要采用此法.nnnn②将数列anb的每一项分别乘以b的公比，然后在错位相减，进而可得到数列nnabnn的前n项和.此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法.⑵裂项相消法c一般地，当数列的通项a(a,b,b,c为常数）时，往往可将an(anb)(anb)12n12变成两项的差，采用裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：设ananb1canb2，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得bb21c，从而可得c=(11).(anb)(anb)(bb)anbanb122112常见的拆项公式有：①111；n(n1)nn1②11(11);(2n1)(2n1)22n12n1ab③11(aabb);④Cm1nCmn1Cm;n⑤nn!(n1)!n!.⑶分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.⑷倒序相加法如果一个数列a，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒n着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：aa1naa2n1...⑸记住常见数列的前n项和：①123...nn(n1);2②135...(2n1)n2;1③122232...n2n(n1)(2n1).6