2022-2023学年广东省深圳市罗湖重点中学高一（下）期中数学试卷-普通用卷

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年广东省深圳市罗湖重点中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列结论中，正确的是(    )A.零向量只有大小没有方向B.|AB|=|BA|C.对任一向量a，|a|>0总是成立的D.|AB|与线段BA的长度不相等2.复数z=1−i，将复数z的对应向量按逆时针方向旋转π4，所得向对应的复数为(    )A.2B.2iC.1D.i3.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，A′B′//y′轴，B′C′//x′轴，A′B′=2，B′C′=3，则△ABC中，AC=(    )A.2B.5C.4D.134.下列命题中，正确的是(    )A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线l与平面α上的无数条直线都垂直，则l⊥αD.若a、b、c是三条直线，a//b且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上5.已知向量a=(2,3),b=(1,x)，且a⊥b，则向量2a+3b=(    )A.(7,4)B.(7,−4)C.(3,4)D.(3,−4)6.把一个铁制的底面半径为4，侧面积为163π的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的表面积为(    )A.16πB.12πC.24πD.9π7.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB，P为A1B的中点，Q为边CC1的中点，则下列结论不正确的是(    )A.PQ⊥A1BB.AC//平面A1BQC.PQ⊥CC1D.PQ//平面ABC8.如图，点C是半径为1的扇形圆弧AB上一点，且∠AOB=3π4，若OC=xOA+yOB，则x+2y的最大值是(    )A.1B.52C.10D.4二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，则下列命题正确的是(    )A.若m⊥α，n⊥β，α//β，则m//nB.若α⊥γ，β⊥γ，则α//βC.若m//β，n//β，m，n⊂α，则α//βD.若n⊂α，n⊥β，则α⊥β10.已知复数z=1+i，则下列命题中正确的为(    )A.|z|=2B.z−=1−iC.z的虚部为iD.z在复平面上对应点在第一象限11.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是(    )A.若a⋅b=b⋅c，则a=cB.若向量a=(2,1)，b=(−3,1)，则向量a在向量b上的投影向量为−12bC.非零向量a和b满足|a|=|b|=|a−b|，则a与a+b的夹角为60°D.点A(1,3)，B(4,−1)，与向量AB同方向的单位向量为(35,−45)12.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是线段AD1上的动点，下列命题正确的是(    )A.异面直线PC1与B1C所成角的大小为定值B.二面角P−BC1−D的大小为定值C.若Q是对角线AC1上一点，则PQ+QC长度的最小值为43D.若R是线段BD上一动点，则直线PR与直线A1C不可能平行三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.i是虚数单位，则复数3−i1+2i=          ．14.(易线性表示)设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka+2b与8a+kb的方向相反，则k=______．15.如图，在三棱锥D−ABC中，AC=BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于______．16.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若sinBsinC3sinA=cosAa+cosCc，且△ABC的面积S△ABC=34(a2+b2−c2)，则ca+b的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)在△ABC中，已知BC=3，AC=4，P在线段BC上，且BP=13BC，AQ=23AB，设CB=a，CA=b．(1)用向量a，b表示AP；(2)若∠ACB=60°，求AP⋅CQ．18.(本小题12.0分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=1，b=2，cosC=14．(Ⅰ)求c的值；(Ⅱ)求△ABC的面积．19.(本小题12.0分)已知a→=(2sinx,cos2x)，b→=(3cosx,2)，f(x)=a⋅b．(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．20.(本小题12.0分)如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，截去三棱锥A1−ABD，求：(1)截去的三棱锥A1−ABD的表面积；(2)剩余的几何体A1B1C1D1−DBC的体积．21.(本小题12.0分)如图，在四棱锥P—ABCD，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3， (1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH//平面PAD； (2)求证：PA⊥平面PCD； (3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．22.(本小题12.0分)已知函数f(x)=log3(3x+1)+mx是偶函数．(1)求m的值；(2)设函数g(x)=log3(a⋅3x−12a)+12x−f(x)(a∈R)，若g(x)有唯一零点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B 【解析】解：既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；由于AB与BA方向相反，长度相等，故B正确；因为零向量的模为0，故C错误；|AB|与线段BA的长度相等，故D错误．故选：B．根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案．本题主要考查向量的有关概念，向量的模，考查逻辑推理能力，属于基础题．2.【答案】A 【解析】解：z=1−i=2(cos(−π4)+isin(−π4))，将复数z的对应向量按逆时针方向旋转π4所得向量对应的复数为2(cos(−π4+π4)+isin(−π4+π4))=2，故选：A．化简z=1−i=2(cos(−π4)+isin(−π4))，从而由可得新复数为2(cos(−π4+π4)+isin(−π4+π4))=2．本题考查了复数的代数形式与三角形式的转化，属于基础题．3.【答案】B 【解析】解：在直观图△A′B′C′中，A′B′=2，B′C′=3，由斜二侧画法知，在△ABC中，AB=2A′B′=4，BC=B′C′=3，且AB⊥BC；所以AC=AB2+BC2=42+32=5．故选：B．由斜二侧的画图法则，结合△A′B′C′的边长，可求出原△ABC的边长．本题考查了三角形的斜二测法，是基础题．4.【答案】D 【解析】解：对于A：不共线的三点确定一个平面，故A错误，对于B：由墙角模型可知，两条直线可能是相交直线，也可能是异面直线，显然B错误，对于C：根据线面垂直的判定定理，若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l与平面α垂直，若直线l与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l与平面α不垂直，故C错误，对于D：因为a//b，所以a与b唯一确定一个平面，设为平面α，又c与a和b都相交，所以c也在平面α内，即直线a、b、c共面，故选项D正确，故选：D．利用平面的基本性质及推论可知A，B错误，D正确，再利用直线与平面垂直的判定定理可知选项C错误．本题主要考查了平面的基本性质及推论，考查了空间中线与线的位置关系，是基础题．5.【答案】A 【解析】解：a=(2,3),b=(1,x)，且a⊥b，则2+3x=0，解得x=−23，、2a+3b=(4,6)+(3,−2)=(7,4)．故选：A．根据已知条件，结合向量垂直的性质，求出x，再结合向量的坐标运算，即可求解．本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．6.【答案】A 【解析】解：因为实心圆柱的底面半径为4，侧面积为163π，所以圆柱的高为163π2π×4=23，则圆柱的体积为V=π×42×23=323π，设球的半径为R，则43πR3=323π，解得R=2，故这个铁球的表面积为4πR²=16π．故选：A．先求出圆柱的高，由圆柱和球的体积关系即可得出半径，最后求出表面积即可．本题考查球的表面积，属于中档题．7.【答案】B 【解析】解：取AB的中点D，连结PD，CD.在△ABB1中，因为P，D分别为AB1，AB中点，所以PD//BB1，且PD=12BB1， 直三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1//BB1，CC1=BB1.因为Q为棱CC1的中点，所以CQ//BB1，且CQ=12BB1，于是PD//CQ，PD=CQ.所以四边形PDCQ为平行四边形，从而PQ//CD．又因为CD⊂平面ABC，PQ⊄平面ABC，所以PQ//平面ABC，D正确；在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC.又CD⊂平面ABC，所以BB1⊥CD．CC1//BB1，PQ//CD，∴PQ⊥CC1，C项正确；因为CA=CB，D为AB中点，所以CD⊥AB．又CD//PQ，所以BB1⊥PQ，AB⊥PQ．又因为AB∩BB1=B，AB⊂平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，所以PQ⊥平面ABB1A1.∴PQ⊥A1B，A项正确；B项错误，由于四边形PDCQ为平行四边形，在CD//PQ，PQ⊂平面A1BQ，CD⊄平面A1BQ，则CD//A1BQ，不可能有AC//平面A1BQ．故选：B．取AB的中点D，连结PD，CD.只需证明PQ//CD，即可证明PQ//平面ABC；只需证明CD⊥平面ABB1A1，即可证明 PQ⊥平面ABB1A1，可判断各选项．本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，属于中档题．8.【答案】C 【解析】解：如图所示，以OB为x轴，过O作与OB垂直的线作为y轴，∵∠AOB=3π4,|OA|=1,|OB|=1，∴A(−22,22),B(1,0)，设C(cosθ,sinθ),θ∈[0,3π4],OC=(cosθ,sinθ)=x(−22,22)+y(1,0)=(−22x+y,22x)，∴cosθ=−22x+ysinθ=22x，∴x=2sinθy=cosθ+sinθ，∴x+2y=2sinθ+2(cosθ+sinθ)=22sinθ+2cosθ=10sin(θ+φ)，其中tanφ=12，∴sin(θ+φ)=1时，x+2y取得最大值是10．故选：C．由平面向量数量积的运算，结合两角和的正弦公式，求三角函数的最值即可．本题考查了平面向量数量积的运算和两角和的正弦公式，属于中档题．9.【答案】AD 【解析】【分析】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，属于基础题．由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一判断四个选项得答案．【解答】解：对于A，m⊥α，α//β，则m⊥β，又n⊥β，则m//n，故A正确；对于B，由α⊥γ，β⊥γ，可得α//β或α与β相交，故B错误；对于C，由m//β，n//β，m，n⊂α，若m与n相交，则α//β，若m//n，则α可能平行β，也可能与β相交，故C错误；对于D，由平面与平面垂直的判定，可得若n⊂α，n⊥β，则α⊥β，故D正确．故选：AD．  10.【答案】ABD 【解析】解：复数z=1+i，则|z|=2.故A正确；z−=1−i，故B正确；z的虚部为1，故C错误；z在复平面上对应点的坐标为(1,1)，在第一象限，故D正确．∴命题中正确的个数为3．故选：ABD．利用复数的模、共轭复数、虚部及复数与平面内点的对应关系即可判断出正误．本题考查复数的模、共轭复数、虚部及复数与平面内点的对应关系，属于基础题．11.【答案】BD 【解析】解：A选项：当b=0时，左式成立，此时a=c不一定成立，故A选项错误；B选项：a⋅b=−6+1=−5，a=5，b=10，设a,b向量夹角为θ，cosθ=−55⋅10=−22，则向量夹角为3π4，故a在b上的投影为a⋅cos3π4=−102，故投影向量为−12b，故B选项正确；C选项：将已知平方可得：a2−2a⋅b+b2=a2，由此可得：a⋅b=12b2，设a,b向量夹角为θ，则cosθ=12，即θ=π3，设a与a+b的夹角为β，则cosβ=a⋅(a+b)a×a+b=a2+a⋅baa2+2a⋅b+b2，将a⋅b=12b2代入可得：cosβ=32，即β=π6，故C选项错误；D选项：AB=(3,−4)，故设与AB同向的向量为m=(3λ,−4λ),λ>0，由已知有m=1，故9λ2+16λ2=1，解得：λ=15，故与AB同向的向量为(35,−45)，故D选项正确．故选：BD．A选项：未考虑b=0时情况，B选项：先计算出a,b向量夹角为θ，再利用投影计算公式计算即可；C选项：将已知平方可得a,b向量夹角为θ为π3，再计算a与a+b的夹角即可；D选项：设出与AB同向的向量为m=(3λ,−4λ),λ>0，利用单位向量概念计算即可．本题主要考查平面向量数量积及坐标运算公式，属于中档题．12.【答案】ABC 【解析】解：对A选项，如图，由AB⊥平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，得AB⊥B1C，又B1C⊥BC1，AB∩BC1=B，AB，BC1⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥平面ABC1D1，PC1⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥PC1，即异面直线PC1与B1C所成角是90°为定值，所以A选项正确；对B选项，由题意可知二面角P−BC1−D即为二面角A−BC1−D，为定值，B正确；对C选项，把△AC1D1和△AC1C沿AC1摊平，得平面四边形ACC1D2，如图．作CP⊥AD2于P，CP∩AC1=Q，此时PQ+QC=CP最小，四边形ACC1D2中，AC=AD2=2，AC1=3，C1C=C1D2=1，由对称性知CD2⊥AC1，CG=AC⋅CC1AC1=63，CD2=2CG=263，AG=AC2−CG2=2−23=233，CP=CD2⋅AGAD2=263×2332=43，所以PQ+QC的最小值是43，所以C选项正确；对D选项，取AD中点E，连接A1E交AD1于P，连接CE交BD于R，连接RP，如图，则EPPA1=AEA1D1=AEBC=ERRC，所以PR//A1C，所以D选项错误．故选：ABC．证明B1C⊥平面ABC1D1后得线线垂直，从而判断A，根据二面角的定义判断B，把△AC1D1和△AC1C沿AC1摊平得平面四边形ACC1D2，在平面四边形中求得C到直线AD2的距离后判断C，取AD中点E，连接A1E交AD1于P，连接CE交BD于R，连接RP，证明PR//A1C判断D．本题考查空间直线、平面间的位置关系，异面直线所成的角，二面角的定义，空间想象能力，属难题．13.【答案】15−75i 【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数3−i1+2i=(3−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=3−2−6i−i5=15−75i，故答案为：15−75i.  14.【答案】−4 【解析】解：向量ka+2b与8a+kb的方向相反，可得ka+2b=t(8a+kb)(t<0)，∴k=8t，2=kt，得t=−12，∴k=−4．故答案为：−4向量ka+2b与8a+kb的方向相反，直接列出关系式，根据向量相等，求出k的值．本题考查相等向量与相反向量，考查计算能力，是基础题．15.【答案】45° 【解析】解：取AD中点为G，连接GF、GE，如图，∵E，F分别是棱DC，AB的中点，∴FG//BD，GE//AC，且FG=12BD，GE=12AC，∴FG=GE，∠EGF为异面直线AC和BD所成角或其补角，∵在三棱锥D−ABC中，AC=BD，且AC⊥BD，∴∠EGF=90°，∴EF和AC所成角为∠FEG或其补角，∴EF和AC所成的角为45°．故答案为：45°．取AD中点为G，连接GF、GE，推导出△EFG是等腰三角形，且∠EGF是异面直线AC与BD所成角或其补角，由此能求出EF和AC所成的角．本题考查异面直线所成角的求法，考查异面直线所甩角的定义、中位线定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】[12,1) 【解析】解：已知△ABC的面积S△ABC=34(a2+b2−c2)，则12absinC=34(a2+b2−c2)，即sinC=3(a2+b2−c2)2ab=3cosC，即tanC=3，即C=π3，在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，由sinBsinC3sinA=cosAa+cosCc，可得：csinB3a=cosAa+cosCc，即c2sinB=3ccosA+3acosC，即csinCsinB=3(sinCcosA+cosCsinA)，则csinC=3，又C=π3，即c=23，由正弦定理可得bsinB=asinA=csinC=4，即a+b=4sinA+4sinB=43cos(A−B2)，又C=π3，则A−B2∈(−π3,π3)，即43cos(A−B2)∈(23,43],则ca+b=2343cos(A−B2)∈[12,1)故答案为：[12,1)．由正弦定理及余弦定理可得：c=23，C=π3，结合三角恒等变换可得：ca+b=2343cos(A−B2)∈[12,1)，得解．本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了三角恒等变换，属中档题．17.【答案】解：(1)由题意得，AP=CP−CA=23CB−CA=23a−b．(2)CQ=CA+AQ=CA+23AB=CA+23(CB−CA)=23CB+13CA=23a+13b，所以AP⋅CQ=(23a−b)⋅(23a+13b)=49|a|2−49a⋅b−13|b|2=49×32−49×4×3×cos60°−13×42=−4． 【解析】(1)根据平面向量的线性运算法则，平面向量基本定理，即可得解；(2)根据平面向量的线性运算法则，可得CQ=23a+13b，再结合(1)中结论，推出AP⋅CQ=49|a|2−49a⋅b−13|b|2，代入数据运算，即可．本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量的线性运算，数量积运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)因为a=1，b=2，cosC=14，所以由余弦定理可得c2=a2+b2−2abcosC=12+22−2×1×2×14=4，可得c=2．(Ⅱ)因为sinC=1−cos2C=1−(14)2=154，所以△ABC的面积S=12absinC=12×1×2×154=154． 【解析】(Ⅰ)由已知利用余弦定理即可求解c的值．(Ⅱ)利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.【答案】解：(1)a→=(2sinx,cos2x)，b→=(3cosx,2)，由f(x)=a→⋅b→=23sinxcosx+2cos2x=3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π6)+1，∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，由2kπ+π2⩽2x+π6⩽3π2+2kπ,k∈Z，得：π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ]，k∈Z；(2)由x∈[0,π2]可得：2x+π6∈[π6,7π6],当2x+π6=7π6时，函数f(x)取得最小值为2sin7π6+1=0,当2x+π6=π2时，函数f(x)取得最大值为2sinπ2+1=3,故得函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值为3，最小值为0． 【解析】本题考查三角函数化简及三角函数的图象与性质，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．(1)由f(x)=a⋅b，根据向量的数量积的运用可得f(x)的解析式，化简，利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；(2)在[0,π2]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出f(x)的最大值和最小值．20.【答案】解：(1)∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，∴△A1BD的边长为22，可得三棱锥A1−ABD的表面积：S=3×12×2×2+12×22×22×32=6+23；(2)正方体的体积为2×2×2=8，三棱锥的体积为13×12×2×2×2=43，∴剩余的几何体A1B1C1D1−DBC的体积为8−43=203． 【解析】本题考查多面体体积与表面积的求法，考查计算能力，是基础题．(1)直接由三角形面积公式求三棱锥A1−ABD的表面积；(2)由正方体体积减去棱锥体积公式得答案．21.【答案】证明：(1)如图：证明：连接BD，由题意得AC∩BD=H，BH=DH，又由BG=PG，得GH//PD，∵GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴GH//平面PAD；(2)证明：取棱PC中点N，连接DN，依题意得DN⊥PC，又∵平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD=PC，DN⊂平面PCD，∴DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，∴DN⊥PA，又PA⊥CD，CD∩DN=D，CD⊂平面PCD，DN⊂平面PCD，∴PA⊥平面PCD；(3)解：连接AN，由(2)中DN⊥平面PAC，知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角，∵△PCD是等边三角形，CD=2，且N为PC中点，∴DN=3，又DN⊥平面PAC，AN⊂平面PAC，DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN=DNDA=33．∴直线AD与平面PAC所成角的正弦值为33． 【解析】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，属于拔高题．(1)连接BD，由题意得AC∩BD=H，BH=DH，由BG=PG，得GH//PD，由此能证明GH//平面PAD；(2)取棱PC中点N，连接DN，推导出DN⊥PC，从而DN⊥平面PAC，进而DN⊥PA，再上PA⊥CD，能证明PA⊥平面PCD；(3)连接AN，由DN⊥平面PAC，知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角，由此能求出直线AD与平面PAC所成角的正弦值．22.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=log3(3x+1)+mx，其定义域为R，函数f(x)=log3(3x+1)+mx是偶函数．则有f(−x)=f(x)，即log3(3x+1)+mx=log3(3−x+1)−mx，变形可得(2m+1)x=0，必有m=−12；(2)根据题意，由(1)的结论，f(x)=log3(3x+1)−12x，函数g(x)=log3(a⋅3x−12a)+12x−f(x)=log3(a⋅3x−12a)+12x−log3(3x+1)+12x=log3(a⋅3x−12a)−log3(3x+1)+x，令g(x)=0，整理得a(3x)2−(12a+1)3x−1=0，其中a(3x−12)>0，令t=3x，则得at2−(12a+1)t−1=0，①当a>0时，3x−12>0，即t>12，所以方程at2−(12a+1)t−1=0在区间(12,+∞)上有唯一解，则方程对应的二次函数m(t)=at2−(12a+1)t−1，恒有m(0)=−1<0，m(12)=−32<0，m(12+3a)=6a>0，所以当a>0时，方程at2−(12a+1)t−1=0在区间(12,+∞)上有唯一解．②当a<0时，3x−12<0，即00或a=−10−46时，g(x)有唯一零点． 【解析】(1)根据题意，由函数奇偶性的定义可得log3(3x+1)+mx=log3(3−x+1)−mx，变形分析可得答案；(2)根据题意，求出g(x)的解析式，令g(x)=0，整理得a(3x)2−(12a+1)3x−1=0，令t=3x，可得at2−(12a+1)t−1=0，分情况讨论函数的零点情况，求出a的值，综合可得答案．本题考查函数的零点与方程根的关系，涉及函数奇偶性的判断，属于中档题．