南京航空航天大学《高等数学》114函数展开成幂级数下载_在线阅读_26

问题的提出泰勒级数函数展开成幂级数一、问题的提出∞给定一个幂级数n已讨论它∑a(nx−)0x,§3n=0的收敛半径,,收敛区间并用它的分析性质求和函数。现在研究反过来的问题。问题的提出：已知一函数f()x，将其表成幂∞级数n即用一无穷级数来表达函数∑a(),nx−0x.n=0问题:1.在什么条件下函数才能展开成幂级数?2.如果能展开,an是什么?3.展开式是否唯一?二、泰勒级数1.复习泰勒公式若f()x在0的某个邻域内有直到xn+1阶导数则,f(x)=f(x)0+f'(0x−)(x0+x)f()n()x　　　　+(x0−x)n+(R)x−(1)n!0np=()()nx+Rnxf(n+1())ξ其中:()Rx=()(,)x−xn+1ξ在xx之间n(n+1)!002.泰勒级数概念若f()x在所讨论的邻域内具有任意阶导数形式上:泰勒公式(1的右边总可写成幂级数):?f(x)＝f''()xf(x)+f'(x)(−xx+)0()x−x2+000n!0f()n()x+(0x−)xn+(−2)n!0—称为f(x)的泰勒级数3.函数展开成泰勒级数的充要条件问题(:2是否收敛)?,若收敛和函数是否就是f()?x(2若)收敛于f(x那么),f就可表示成它的x()Talor级数,()即fx可展成幂级数(2).定理设f()x在点0的某个邻域xU()0x内任意阶可导,f()x在该区间内能展开成泰勒级数⇔f()x的泰勒公式的余项：limRxn(=)∀0x∈U0(x)→n∞证明f()x的泰勒公式：f()()()x=Sn+1x+nRxf()n()xS(x)=f(x+)f'(x−)(x+x)+0()x−xnn+1000n!0R()()()xn=fx−n+1Sx对于U()0x内的一切xlimSn+1(x=)f(x)→n∞⇔limRn(x=)0→n∞(故在U)内,0xlim当Rnx(=时，)0→n∞f()x的泰勒级数收敛且和函数就为f()x故函数f()x就可表达成泰勒级数,即f(x)f=(x)0+f'(0x−)(0x+x)f()n()x　　　　+(0−x)xn+,xU(∈)x—(3)n!00当x=0时0"f(0)(f)x=(f0)+f'(0x+)x2+2!f()(n0)　　　+xn+(4)n!—f()x的麦克劳林级数4.展开式的唯一性能2nf要证x:()=a+0a1x+a2+xn+a(x+5)(5)式称为fx(的麦克劳林级数)(4，)f()(n0)即,系数a=nn!事实上:∵(5在收敛区间内可逐项求)导2n−1fx'⎧=(a)+1a2x2+a33x++nnax+⎪f"x⎪(=)a2+!⋅a3x+2(+n1n)−n−2a+x∴⎨23n⎪⎪()nf(x⎩)=n!a(n+n1+)n(n−1)n+1+2ax"f(0)将x=0代入得a(=f0)a='f(0)=a0122!f()(n0),a=,nn!重要结论:fx()在x−0x<内能展成点Rx0的泰勒级数⇔limRxn=()x0−0x<,且展开式是唯一的。R→n∞f"()xf(x)=f(x)+f'(x−)(x+x)0()x−x2+000n!0f()n()x　　　+0()x−xn+n!0特别当:x0=0时"f(0)()f(x0=)+f'(0−x)(+0()x−02)+n!f()(n0)　　　+(x−0n)+n!三、函数展开成幂级数1.直接展开法(1)作出fx(泰勒级数)()n(,求f()x0=n0,1,写出泰勒级数2,)(2确定收敛半径)R(3考察)x−x0<内R(n+1)f()ξn+1limRn(x)=lim(x−x0)=0→n∞→n(∞n+1)!在(ξx0与x之间)例1f将()x=ex按的幂展开成幂级数。x(或在x0=0处的泰勒级数或麦克劳林级数)解(1f)()nx(=(0))xe()nf1(=n=0,1,2)f()x的麦克劳林级数111+1x+x2+3x++xn+2!3n!an!(2)limn+1=lim=0R=+∞→n∞→n∞an(n+1)!eξ(3R)(x=)xn+10ξxn(n+1)!对任何指定的x∵0 方法展开与直接法有相同结果,而我们可以避免直接研究余项的工作,计算也是简单的.例3f将(x)=cosx在=x0处展成泰勒级数解注意到cosx=(sinx)'111(−1n−)1∵=xsinx−x+35x−7x++x2n−1+3!5!7!(2n−1)!将上式两边对x求导:111∴cosx=−1x2+x4−6x+2!4!6!(−1k−1)x2k−(2−1k)x2k　　　　++(+4∈)x−∞(,+∞)(2k−2)!(2k)!例4(将f)x=ln(+x1展开成)x的幂级数1∞解(ln(∵+1x=))'=∑(−1n−1)xn−11+xn=1　　　　　　(−1

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