高中数学常见难题高中数学常见难题PAGEPAGE5高中数学常见难题已知正三棱锥S－ABC的高SO为3，底面边长为6，过A向它所对侧面SBC作垂线，垂足为O′，在AO′上取一点P，使AP︰PO′=8，求经过P点且平行底面的截面的面积．分析：本题的关键在于求出过P平行于底的截面到顶点的距离与底面到顶点的距离之比．解答：如图10．13，因S－ABC是正三棱锥，所以O是正三角形ABC的中心．连结AO延工交BC于D，则D是BC的中点，故BC⊥AD，BC⊥SD，因而BC⊥平面SAD，从而平面ASD⊥平面SBC．又AO′⊥平面SBC，故SO′在平面SAD内，因而O′在SD上，于是由设过P作平行于底的平面与SD的交点为O1，则于是故所求截面面积设正三棱锥P—ABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将正三棱锥截成上、下两部分，试求两部分体积之比．分析：设过AM且平行BC的平面交平面PBC于EF（E∈PB，F∈PC），要求两部分体积之比，只要求VP—ABC=S△PEF︰S△PBC．解答：如图10．14，过设AM且平行BC的平面与棱PB、PC分别交于E、F．则EF//BC．连结AO并延长交BC于D，则D为BC的中点，连结PD交EF于G，则因A到平面PEF的距离即为A到平面ABC的距离，所以在△PAD中，过O作PD的平行线，交AG于N．因为M为PO的中点，故|ON|=|PG|，，故，因而，故所求上下两部分体积之比为3、四面体ABCD被平面α所截，对棱AB，CD都与α平行且与α等距，设α截得截面四边形的面积为S，对棱AB与CD的距离为h，求这个四面体ABCD的体积．分析：利用“等底、等高的两个四面体的体积相等”将四面体添加几个等体积的四面体，构成一个平行六面体来计算．解答：过四面体ABCD的各棱分别作与其对棱平行的平面，六个平面相交得一平行六面体AC1BD1－A1CB1D（如图10．15）．此时VABCD等于平行六面体的体积V减去四个彼此等积的三棱锥的体积，这四个三棱锥分别是A－A1CD，B－B1DC，C－C1AB，D－D1AB．因为这四个三棱锥的底面积为平行六面体底面积的，其高与平行六面体的高相等，故每一个三棱锥的体积等于于是由于AB，CD与截面α等距，如图10．15可知K，L，M，N分别是AA1，CC1，BB1，DD1的中点，易知，而h就是平面AC1BD1与平面A1CB1D的距离，所以说明：利用“等积”进行割补，是解决多面体体积问题的一个有效
方法
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．例1、已知x、y∈R＋，求证：
证明
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：∵∴这三者可视为如图中AB、BC、CD三条线段的长度．显然|AB|＋|BC|＋|CD|≥|AD|=．所以．评述：二次根式内是一个二次式，常构造图形，利用余弦定理证明．同法可证：例3、函数f(x)在[0，1]上有定义，f(0)=f(1)．如果对于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|．求证：对于任意明：不妨设0≤x1≤x2≤1．（1）若，则．命题成立．（2）若，根据条件f(0)=f(1)得|f(x2)－f(x1)|=|f(1)－f(x2)＋f(x1)－f(0)|≤|f(1)－f(x2)|＋|f(x1)－f(0)|<1－x2＋x1－0=1－(x2－x1)<．命题同样得证．综上命题成立． 例5、已知n≥2，证明：．证明：（1）显然是n的增函数．∴．（2）思路分析：易猜出时，，A、B、C中任两者不等时，．证明：我们先假定C是常量，于是A＋B=π－C也是常量．．显然，当A=B时，上式达到最大值．因此，只要A、B、C中任意两个不等，
表
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达式sinA＋sinB＋sinC就没有达到最大值．因而，当时，sinA＋sinB＋sinC取到最大值，不等式得证．评述：不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相应表达式的最值．类似可证：△ABC中，锐角△ABC中，tanA＋tanB＋tanC≤3．
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