(完整word版)量子力学考试知识点(良心出品必属精品)

《量子力学》考试知识点第一章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（一）、经典物理学困难的实例（二）、微观粒子波－粒二象性考核要求：（一）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。第二章：波函数和薛定谔方程考核知识点：（一）、波函数及波函数的统计解释（二）、含时薛定谔方程（三）、不含时薛定谔方程考核要求：（一）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠1加原理（二）、含时薛定谔方程1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理2.简明应用：量子力学的初值问题（三）、不含时薛定谔方程1.领会：定态、定态性质2.简明应用：定态薛定谔方程第三章：一维定态问题一、考核知识点：（一）、一维定态的一般性质（二）、实例二、考核要求：1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、无限深方势阱、线性谐第四章量子力学中的力学量一、考核知识点：（一）、 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示力学量算符的性质2（二）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归一化”（四）、算符的共同本征函数（五）、力学量的平均值随时间的变化二、考核要求：（一）、表示力学量算符的性质1.识记：算符、力学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系（二）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。（三）、连续谱本征函数“归一化”1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系（四）、力学量的平均值随时间的变化1.识记：好量子数、能量－时间测不准关系2.简明应用：力学量平均值随时间变化第五章态和力学量的表象3一、考核知识点：（一）、表象变换，幺正变换（二）、平均值，本征方程和Schrodingerequation的矩阵形式（三）、量子态的不同描述二、考核要求：（一）、表象变换，幺正变换1.领会：幺正变换及其性质2.简明应用：表象变换（二）、平均值，本征方程和Schrodingerequation的矩阵形式1.简明应用：平均值、本征方程和Schrodingerequation的矩阵形式2.综合应用：利用算符矩阵表示求本征值和本征函数（三）、量子态的不同描述第六章：微扰理论一、考核知识点:（一）、定态微扰论（二）、变分法（三）、量子跃迁二、考核要求:4（一）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应用：简并态能级的一级，二级修正及零级近似波函数4.综合应用：非简并定态能级的一级，二级修正、波函数的一级修正。（二）、变分法1.领会：变分原理2.简明应用：用Ritz变分法求体系基态能级及近似波函数（三）、量子跃迁1.识记：跃迁、跃迁几率、自发辐射、受激辐射、费米黄金规则2.领会：跃迁理论与不含时微扰的关系3.简明应用：简单微扰体系跃迁几率的计算、常微扰、周期微扰第七章自旋与全同粒子一、考核知识点：（一）、电子自旋（二）、总角动量5（三）、碱金属的双线结构（四）、自旋单态和三重态（五）、全同粒子交换不变性二、考核要求：（一）、电子自旋1.识记：自旋存在的实验事实、二分量波函数2.领会：电子自旋的内禀磁矩、对易关系、泡利表象、矩阵表示（泡利矩阵）、自旋态的表示3.简明应用：考虑自旋后，状态和力学量的描述、考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程（二）、总角动量1.识记：自旋－轨道耦合222.领会：总角动量、力学量完全集(H,l,j,jz)的共同本征值问题（三）、碱金属的双线结构1.领会：碱金属原子光谱的双线结构及反常塞曼效应的现象及形成原因（四）、自旋单态和三重态1.领会：自旋单态和三重态6?2?2.简明应用：在(S1z,S2z)和(S,Sz)表象中两自旋为12的粒子的自旋波函数（五）、全同粒子交换不变性1.领会：全同粒子体系与波函数的交换对称性、费米子和玻色子体系的描述、泡利不相容原理2.简明应用：两全同粒子体系、全同粒子体系波函数的结构1、波函数与薛定谔方程理解波函数的统计解释，态迭加原理，薛定鄂方程，粒子流密度和粒子数守恒定律定态薛定谔方程。掌握一维无限深势阱，线性谐振子。2、力学量的算符表示理解算符与力学量的关系。掌握动量算符和角动量算符，厄米算符本征函数的正交性，算符的对易关系，两力学量同时有确定值的条件测不准关系，力学量平均值随时间的变化守恒定律。氢原子3、态和力学量的表象理解态的表象，掌握算符的矩阵表示，量子力学 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 的矩阵表述么正变换，了解狄喇克符号，线性谐振子与占有数表象。4、定态近似方法掌握非简并定态微扰理论，简并情况下的微扰理论，理解薛定鄂方程的变分原理及变分法。5、含时微扰论掌握与时间有关的微扰理论，跃迁几率，光的发散和吸收及7选择定则。6、自旋与角动量理解电子自旋，掌握电子的自旋算符和自旋函数。7、全同粒子体系理解两个角动量的耦合，光谱的精细结构和全同粒子的特性。掌握全同粒子体系的波函数，泡利原理，两个电子的自旋函数。了解氦原子（微扰法）。周世勋，《量子力学 教程 人力资源管理pdf成真迷上我教程下载西门子数控教程protel99se入门教程fi6130z安装使用教程 》，高等教育出版社，1979年第1版曾谨言，《量子力学教程》，科学出版社，2003年版参考书目：《量子力学导论》，北京大学出版社，曾谨言我认为考试前要清楚报考单位对《量子力学》这门课的基本要求以及主要考查内容是什么，应当按照其要求出发，有目的性、针对性的进行的复习。中科院《量子力学》考试的重点是要求熟练把握波函数的物理解释，薛定谔方程的建立、基本性质和精确的以及一些重要的近似求解方法，理解这些解的物理意义，熟悉其实际的应用。把握量子力学中一些非凡的现象和问题的处理方法，包括力学量的算符表示、对易关系、不确定度关系、态和力学量的表象、电子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子跃迁及光的发射与吸收的半经典处理方法等，并具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。再者，中科院对量子力学这门课考查主要包括以下9大内容：①波函数和薛定谔方程②一维势场中的粒子③力学量用算8符表示④中心力场⑤量子力学的⑥自旋⑦定态问题的近似方法⑧量子跃迁⑨多体问题，复习过程中应当主要对这些内容下功夫。第一阶段：首先按照中科院硕士研究生入学考试《量子力学》考试大纲中的要求将参考书目看了一遍。中科院《量子力学考试大纲》中指定的参考书目是《量子力学教程》，这本书是由曾谨言编著的。此阶段看书以理解为主，不必纠缠于细节，将不懂的知识点做上记号。第二阶段：我对大纲中要求了解的内容，熟练把握的内容以及理解的内容进行了分类，并且按相关要求对将这门课进行了第二轮复习。另外我认为在这一遍复习中一定要把历年试题弄到手并且仔细分析，因为真题体现了命题单位的出题特点以及出题趋势等。另外，我认为真题要比大纲更有用，因为从大纲中看不出的有价值的东西可以从真题中得到。当然，需要注重的是，单纯把握真题也是不理智的做法，假如一个考生仅仅把握了历年真题的内容，那么考试后他会得出这样一个结论：今年的题真偏。其实，不是题偏，而是他没有把参考书上的东西完全把握好。所以在这个阶段中我仍然以看指定的参考书为主，着重解决了在第一遍复习中留下的疑问和9在做真题中自己不会的题目。对了，此轮复习一定要做一份笔记，将主要内容归纳出一份比较简洁的提纲，以便于下轮复习。第三阶段：将专业课过第三遍，这一轮注重结合上一轮的笔记和提纲有重点的，系统的理解和记忆，由于专业课要求答的深入，所以可以找一些专业方面的期刊杂志来看下，扩大下自己的视野范围。这一阶段大家也可以找些习题集来做下，不断巩固自己把握了的知识点。第四阶段：这一轮要将参考书快速翻几遍，以便对整个知识体系有全面的把握并且牢记于心，同时要进行查缺补漏，不要放过一个疑点，要注重的是此时不能执着于细小的知识点，要懂得抓大放小，把握最重要的知识点。另外可以根据对历年试题的分析以及对本年度的专业考试做出一些猜测，并对考试的时间安排及如何进行考中心理调节做下演练。（中科大2003）一、试证明：（1）投影算符P|nn|是厄密算符；它在任意态|中的平均值是正定的，即|P|0。（2）设|是归一化波函数，对于线性厄密算符A以下等式成10立dAAi[A,H]i。dtt证明：（1）因为P(|nn|)|nn|P所以P是厄密算符***或|P||nn||nn||P|2|P||nn||n||0（2）因为A,A则dAA,A,A,dttttdAA再由S-eq得i[A,H]idtt或因为A*Adx所以dA*AAdx*Adx*dxdtttt1*1**AHAdxAHdxdxiit1A*(AHHA)dx*dxitdAA即i[A,H]idtt二、对于一维谐振子，求消灭算符a的本征态|，将其表示成各能量本征态|n的线性叠加。已知a|n.n|n1。11解：设|Cn|nn0由于a||且利用a|n.n|n1得a|Cna|nCnn|n1Cn|nn0n0n0以n1|左乘上式并利用n|nnn得nCnCn1依次递推得CnC0nn!2n22由归一化条件|CnC01nnn!2n1222i因为eC0ee为实数，可取为0nn!12n所以|e2|nn0n!三、给定(,)方向的单位矢量n(sincos,sinsin,cos)，在z表象中求nn的本征值和归一化本征矢。解：因为nxsincosysinsinzcos所以cossineinn1n的本征值为sineicoscossineiaa由本征方程求得sineicosbb12coscosei/222对于11或1sineisinei/222sinsinei/222对于11或1coseicosei/222四、设一定域电子（作为近似模型，不考虑轨道运动），处于沿x方eB向的均匀磁场B中，哈密顿量为HxLx2ceBL拉莫尔（Larmor）频率2c设t0时，电子自旋“向上”（Sz/2）。求t0时（1）电子自旋态(t)；（2）电子自旋S的平均值。解：（1）方法一a(t)a(0)1令(t)初始条件(0)b(t)b(0)0由薛定谔方程daaiLdtbb得aiLbbiLaabiL(ab)abiL(ab)itit积分得a(t)b(t)[a(0)b(0)]eLeL13itita(t)b(t)[a(0)b(0)]eLeL由此可得a(t)cosLtb(t)isinLtcosLt(t)isinLt方法二体系能量本征态即x的本征态，本征值和本征态分别为11x1EEL2111x1EEL21电子自旋初态11(0)()02T时刻电子自旋态为1cosLt(t)(eiLteiLt)2isinLt（2）电子自旋各分量的平均值01cosLtSx(t)Sx(t)cosLtisinLt0210isinLt0icosLtSy(t)Sy(t)cosLtisinLtsin2Lt2i0isinLt21410cosLtSz(t)Sz(t)cosLtisinLtcos2Lt201isinLt2五、已知系统的哈密顿量为20H02002求能量至二级近似，波函数至一级近似。20解：（1）HH0HH002002000H00000可见所设表象为非H0表象，为将H0对角化，先由H0的本征方程求其本征值和本征矢。(0)(0)(0)求得结果为：本征值E1E22E33101相应本征矢|10|2121011|3021151011（2）利用S020转到h0表象（将H0对角化）210100h0SH0S020003022hSHS0000222(1)(2)|hnm|在h0表象中EnhnnEn(0)(0)mnEnEm(1)hnm(0)n(0)(0)mmnEnEm(1)(1)(1)则E1/2E20E3/222(2)(2)(2)E1E20E388(1)(0)(1)(1)(0)13203144量子力学测试题（2）1、一质量为m的粒子沿x正方向以能量E向x=0处势垒运动。当x03时，势能为零；当x0时，势能为V0E。问在x=0处粒子被反4射的几率多大？1621k110x022解：S-eq为2其中k12mE/2k220x0222k22m(EV0)/k1/4由题意知x0区域既有入射波，又有反射波；x0区域仅有透射波ik1xik1x故方程的解为1erex0ik2x2tex0k1在x=0处，及都连续，得到1rtk1(1r)t由221此解得Rr92注意透射率Tt因为k2k1ikxikxikx将e1，re1，te2分别代入几率流密度公式i**j2mxxk1得入射粒子流密度j0mk12反射粒子流密度jRrm2k2透射粒子流密度jTtmj21由此得反射率RRrj09jk28透射率TT2tRT1j0k19172、计算2（1）[L,r]?（2）设F(x,p)是x,p的整函数，则[p,F]?解：（1）[L,r2][L,xx]x[L,x][L,x]xixxixx0因为将第二项哑标作更换ixxixxixx2所以[L,r]0nn1n（2）先由归纳法证明[p,x]inxix（·）式xkk1n1上式显然成立；设nk时上式成立，即[p,x]ikxk1kkkkk则[p,x][p,x]xx[p,x]ikxixi(k1)x显然，nk1时上式也成立，（·）式得证。mn因为F(x,p)Cmnxpm,n0则mnmnm1n[p,F]Cmn[p,xp]Cmn[p,x]piCmnmxpiFm,nm,nm,nx123、试在氢原子的能量本征态nlm下，计算r和r的平均值。解：处于束缚态nlm下的氢原子的能量422ee1Enannrl122n22an2e2（1）计算r1181方法1相应的维里定理为TnlmVnlm21EnVnlm212En1所以r22eanEnH方法2选Z为参量相应的F-H定理nlme2e2222e1111Hnlmr2ran2ran22（2）计算r22d2el(l1)2等效的一维哈密顿量H2dr2r2r2EnHl取l为参量相应的F-H定理nlm注ll意nnrl122e(2l1)1r2r2an32(l1/2)a2n34、有一个二能级体系，哈密顿量为HH0H，H0和微扰算符H的矩阵表示为E1001H0H0E210其中表征微扰强度，E1E2。用微扰法求H的本征值和本征态。解：由于是对角化的，可见选用表象为H0表象19对于E1E2，由非简并微扰论计算公式2(0)|Hnm|EnEnHnn(0)(0)mEnEm(0)Hmn(0)nn(0)(0)mmEnEm2H2(1)0(2)12得E1E1(0)(0)E1E2E1E2(1)H21(0)01(0)(0)2E1E2E1E212H2(1)0(2)12E2E2(0)(0)E2E1E2E1(1)H12(0)12(0)(0)1E2E1E2E10所以，二级近似能量和一级近似态矢为2102E1，；E2，E1E20E1E21E2E101。1E1E20对于E1E2，由简并微扰论计算得一级近似能量和零级近似态矢为1111E1，；E1，。21215、自旋投影算符Snn，为泡利矩阵，n为单位矢量2（sincos,sinsin,cos）。20（1）对电子自旋向上态(sz/2)，求Sn的可能值及相应几率；（2）对n的本征值为1的本征态，求y的可能值及相应几率。cossinei解：（1）由Sn2sineicoscossineiaams得2sineicosbbcossin221(sn)1(sn)ii2sine2cose221对于电子自旋向上态(sz/2)，Sn取值的几率02分别为22i121cossinecos2220222i121sincosesin22202（2）y的本征值和本征态11111，(y)；1，(y)2i2i电子处于n的本征值为1的本征态(即Sn的本征值为的2本征态1(sn))，2则y的可能值及相应几率为12122cos121(y)1(n)1i(1sinsin)i222sine2122cos121(y)1(n)1i(1sinsin)i222sine26、设质量为m的两个全同粒子作一维运动，它们之间的相互作用12能为a(x1x2)(a0)。2（1）若粒子自旋为0，写出它们的相对运动态的能量和波函数；（2）若粒子自旋s1/2，写出它们的相对运动基态及第一激发态的能量和波函数。解：体系的哈密顿量为222212H22a(x1x2)2mx12mx221引入质心坐标X和相对坐标x：X(x1x2)xx1x22在坐标变换x1,x2X,x下，体系的哈密顿量变为22221Hax2M2mm/22MX22x22相对运动哈密顿量为222222d12d122aHraxx2dx222dx22（1）若粒子自旋为0，则相对运动态的能量和波函数为12x212Ennn(x)NneHn(x)2n0,2,4,限定n0,2,4,是为了保证波函数对交换x1和x2是对称的。（2）若粒子自旋s1/2，则相对运动态的能量和波函数为1Ennn0,1,2,212x22(x,Sz)NneHn(x)|00n0,2,4,|11122x2(x,Sz)NneHn(x)|10n1,3,5,|11其中1|11(1)(2)|10[(1)(2)(2)(1)]21|11(1)(2)|00[(1)(2)(2)(1)]2体系基态能量和波函数122x12E(x,Sz)N0e|002体系第一激发态能量和波函数231|112x232E(x,Sz)N1eH1(x)|102|11量子力学测试题（4）（复旦2002）1、已知一维运动的粒子在态(x)中坐标x和动量px的平均值分别ip0x/为x0和p0，求在态(x)e(xx0)中坐标x和动量px的平均值。解：已知粒子在态(x)中坐标x和动量px的平均值分别为*x(x)x(x)dxx0*px(x)i(x)dxp0x现粒子处在(x)态，坐标x和动量px的平均值**x(x)x(x)dx(xx0)x(xx0)dx*(x)(xx0)(x)dxx0x0024*ip0x/*ip0x/px(x)i(x)dxe(xx0)i[e(xx0)]dxxxip0x/*ip0x/ip0x/e(xx0)[p0e(xx0)ei(xx0)]dxx*p0(x)i(x)dxp0p00x2、一体系服从薛定谔方程22212(12)kr1r2(r1,r2)E(r1,r2)2m2（1）指出体系的所有守恒量（不必证明）；（2）求基态能量和基态波函数。解：（1）体系的哈密顿量为222212H12kr1r22m2m21引入质心坐标R和相对坐标r：R(r1r2)rr1r22在坐标变换r1,r2R,r下，体系的哈密顿量变为222212HRrkrM2mm/22M222容易得知系统的守恒量为E,L,Lz。（中心力场）（2）相对运动哈密顿量为25222122122kHrrkrrr2222相对运动为三维各向同性谐振子，基态能量和波函数为3122r32EN(r)eN0,1,2,23/23、设t=0时氢原子处在态1(r,0)[210021022113211]10（1）求体系能量的平均值；（2）任意t时刻波函数(r,t)；（3）任意t时刻体系处在l1,m1态的几率；（4）任意t时刻体系处在m0态的几率。解：氢原子定态能量和波函数为e2En2nlm(r,,)Rnl(r)Ylm(,)2an22311e（1）EE1E25540a（2）任意t时刻波函数1iE1t/iE2t/(r,t){2e100(r)e[210(r)2211(r)3211(r)]}1026（3）任意t时刻体系处在l1,m1态的几率为1/5；（4）任意t时刻体系处在m0态的几率为1/2。4、一维谐振子受到微扰Hcx2作用，式中c为常数。在粒子数表象中，1/2x(aa)2ma,a分别为湮灭算符和产生算符，满足a|nn|n1a|nn1|n1（1）用微扰论求准确到二级近似的能量值；（2）求能量的准确值，并与微扰论给出的结果相比较。解：（1）由[a,a]1得2c2c22Hcx(aa)[a(a)12aa]22利用a|nn|n1a|nn1|n1计算微扰矩阵元得c22Hmnm|H|nm|[a(a)12aa]|n2c{n(n1)m,n2(2n1)mn(n1)(n2)m,n2}2零级近似能量、一级和二级修正能量分别为(0)1(1)1cEnnEnHnnn2227222(2)Hmnc1cEn(0)(0)23[n(n1)(n1)(n2)]n23mnEnEm8221cc2精确到二级近似的能量值为Enn122224（2）现求能量精确值22p1222p122Hxcx0x22221/222c2c012本征能量1/2112c11/2Enn0n12n12222cn0,1,2,2视为微小量，则21(0)(1)(2)Enn1EnEnEn228(0)1(1)1c其中EnnEnn22282(2)1cEnn2223能量精确解的前三项与分别与零级近似能量、一级和二级修正能量相同。5、设a,a分别为湮灭算符和产生算符，满足对易关系[a,a]1。体系的哈密顿量为HAaaBaaCaaD（1）问A,B,C,D满足什么条件H才是厄密算符？（2）求体系的能量。解：（1）容易得知H是厄密算符的条件是A,B,C,D均为实数，且AB，则HA[a2(a)2]CaaD（1）（2）由（1）式得C1aaa2(a)2(HD)（2）AA令baabaa其中,为待定实数[b,b][aa,aa]2[a,a]2[a,a]已知[a,a]1则得[b,b]22为使b,b与a,a满足相同的对易关系[b,b]1则221292222计算bb(aa)(aa)aa[a(a)]aa利用[a,a]1aa1aa得bb(22)aa[a2(a)2]2222212所以aaa(a)(bb)（3）22C比较（2）式和（3）式，如令则得A112(HD)(bb)AA2由此可得H(bb)D（4）如果已知,，则H的本征值为A2En(n)Dn0,1,2,2222C现在来求,,由于1解之得A2222CC4ACC4A2C24A22C24A2AC24A22222CC4A所以EnC4AnDC2A222C4An0,1,2,30武汉大学2002年度研究生入学考试量子力学试题选解一．名词解释（4分×5题）1．德布罗意假设：微观粒子也具有波粒二象性，粒子的能量E和动量P与波的频率和波长之间的关系，正像光子和光波的关系一样，为：hph/k2.波函数：描述微观体系的状态的一个函数称之为波函数，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。[x?,x?]0[p?,p?]0[x?,p?]i3．基本量子条件：4.电子自旋：电子的内禀特性之一：①在非相对论量子力学中。电子自旋是作为假定由Uhlenbeck和Goudsmit提出的：sz每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2；每个电子具有自旋磁矩Ms，它和自旋角eeMsSMsz动量的关系式：2。②在相对论量子力学中，自旋象粒子的其他性质—样包含在波动方程中，不需另作假定。5.全同性原理：在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。二． 计算题 一年级下册数学竖式计算题下载二年级余数竖式计算题 下载乘法计算题下载化工原理计算题下载三年级竖式计算题下载 （20分×4题）U0,x0U(x)1.粒子以能量E由左向右对阶梯势0,x0入射，求透射系数。讨论如下三种情况：（1）－U00；（3）E>0,但由右向左入射。解：⑴－U00写出分区薛定谔方程为：22d1U01E1,x02dx222d22E2,x02dx322(EU0)2Ek1k222令：，可将上述方程简化为：2d12k110,x0dx22d222k220,x0dx一般解可写为：ik1xik1x1AeAe,x0ik2xik2x2BeBe,x0考虑到没有从右向左的入射波，B’＝0由波函数连接条件，有：1(0)2(0)AAB''2(0)2(0)k1(AA)k2BkkA12Ak1k22kB1Ak1k2解得：据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数k12k12k22J|A|ex,JR|A|ex,JD|B|ex2|J||A|kkEU0EURR(12)2()204|J||A|k1k2EU0E(EU0E)|JD|k2|B|k22k124E(EU0)D()2|J|k1|A|k1k1k2(EU0E)满足R+D＝1可见，尽管E>0，但仍有粒子被反射。⑶E>0,粒子从右向左入射仿⑵，有ik1xik1x1AeAe,x0ik2xik2x2BeBe,x0但B’为入射波系数，B为反射波系数，A’为透射波系数，A＝0.33由波函数的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 条件，有1(0)2(0)ABB''2(0)2(0)k1Ak2(BB)解得：2kA2Bk1k2kkB12Bk1k2据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数k22k22k12J|B|ex,JR|B|ex,JD|A|ex2|JR||B|k1k22EU0E2U0R()()4|J||B|k1k2EU0E(EU0E)|JD|k1|A|k12k224E(EU0)D()2|J|k2|B|k2k1k2(EU0E)满足R+D＝1可见，仍有粒子被反射。11(x,0)0(x)2(x)C4(x)2.一维谐振子在t＝0时处于归一化波函数250(x),2(x),4(x)所描述的态中，式中均为一维谐振子的归一化定态波函数，求：（1）待定系数C；（2）t＝0时，体系能量的可能取值及相应的几率；（3）t>0时，体系的状态波函数(x,t)。x(0),x(t)（4）t＝0与t>0时体系的。解：用Dirac算符11|(x,0)|0|2C|4253C⑴由(x,0)|(x,0)1，可求得10159⑵能量可能取值2，2，234相应的几率1/2，1/5，3/10因为n＝0,2,4都为偶数，故宇称为偶1i1t1i5t3i9t|(x,t)|0e2|2e2|4e2⑶25101x?()2(a?a?)2⑷利用，有1x(0)(x,0)|x|(x,0)()2(x,0)|(a?a?)|(x,0)21113113()2(0|2|4|)(a?a?)(|0|2|4225102510＝01x(t)(x,t)|x|(x,t)()2(x,t)|(a?a?)|(x,t)202r2(a)Ne,a23.若试探波函数取为e，其中N为归一化波函数，为变分参数，试用变分法求氢原子的基态能量与基态波函数。解：先将波函数归一化r222()22a3x221Nea4rdr4N()exdx020a112a34N2()3()N2()322222324N(2)a而氢原子的哈米顿为2?222LeH?[(r)s2r2rr2r2r22(r)2e(r)2E|H?|N2ea[(r2)s]ea4r2dr02r2rrr352(r)2(r)2a2(r)22a23a22a4Ne[(2re)]dr4Neserdr02ra022(r)2a2(r)222a22422a4N2e(3r2r)dr4Neserdr2a0a02222(r)222(r)224N2ea(3r2)dr4N2ea(r4)dr202022a2aa－a2(r)222a4Neserdr02222a313222a5154N23()()4N(2)()()＝2a222－2a22222a214Nes()(1)－2233333322222222222223a2esa23a2esaN5N35313132222a2222a＝＝3222132es2212a2＝a242dE8esa804令d，得到9922224esesesesEmin0.424E00.500所以：3aa，精确解为：2aa8r223()a16490(22)e,a2变分值略大于精确值。基态波函数为9ae4.两个自旋s=1/2的电子束缚在一维无限深方势阱(0≤x≤a)内，忽略两电子间的相互作用，试写出该全同粒子体系基态及第一激发态的能量和状态波函数，并讨论能量的简并度。解：忽略相互作用时，体系的能量本征值为2222EE1E22(n1n2)2a（n1，n2＝1,2,3,⋯）36体系的总波函数是反对称的：(x1,x2)(s1z,s2z)22E2⑴基态n1＝n2＝1，基态能量为a基态波函数为S(x1,x2)A(x1,x2)2x1x2SinSin[1(s)1(s)1(s)1(s)]21z22z21z22zaaa可见基态能级不简并。⑵第一激发态，（n1，n2）＝1,2或（n1，n2）＝2,1522E2激发态能量为2a2x12x22x1x2S(x1,x2)[SinSinSinSin]aaaaa2x12x22x1x2A(x1,x2)[SinSinSinSin]aaaaa(1)S(s1z,s2z)1(s1z)1(s2z)22(2)S(s1z,s2z)1(s1z)1(s2z)22(3)1S(s1z,s2z)[1(s1z)1(s2z)1(s1z)1(s2z)]222221A(s1z,s2z)[1(s1z)1(s2z)1(s1z)1(s2z)]22222(1)(2,3,4)S(x1,x2)A(x1,x2)A(x1,x2)S(x1,x2)单态；三重态：37