2020年中考数学复习三角形综合专题训练Word版

2020年中考数学复习：《三角形综合》专题训练1．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题．方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题．，根据自己的解题经验或参考小明BD＝AB+AC（1）根据阅读材料，任选一种方法证明的方法，解决下面的问题；+∠DAE2，∠DCB＝∠B，∠EDEABC是中，4）如图（2，四边形ABCDE上一点，＝之间的数量关系，并证明．BE、CE、DC°，探究90＝B．2．如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，以AC为边作等边△ACD，连接BD．BCD的面积；＝4，求△1，若∠ACB＝90°，AB（1）如图BC⊥CE，延长、AECE，且AE2，若∠ACB＜90°，点E为BD中点，连接）如图（2．°，求证AEAF，使得∠F＝30至点F，连接．△ABCAB为腰在第三象限作等腰RtAOA＝2，OB＝4，以点为顶点、3．如图1，点的坐标；C（1）求为顶P点向y轴负半轴向下运动时，以，P为y轴负半轴上一个动点，当P（2）如图2的值；OP﹣DEx轴于E点，求点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥轴的负半轴上沿负方向y在G23，已知点F坐标为（﹣，﹣2），当）如图（3（G轴负半轴交于点90°，FG与y＝△运动时，作RtFGH，始终保持∠GFH轴的负半轴上沿负方y点在，当）G0nH轴正半轴交于点x与FH），0m，（，并求出其值．+向运动时，求证mn为定值，．让同学们进行探究．AB＝AC1，张老师在黑板上画出了一个△ABC，其中4．如图．请直接写ADBC为边在△ABC内部作等边△BDC，连接（1）探究一：如图2，小明以ADB的度数出∠；（2）探究二：如图3，小彬在（1）的条件下，又以AB为边作等边△ABE，连接CE．判断CE与AD的数量关系，并说明理由；（3）探究三：如图3，小聪在（2）的条件下，连接DE．若∠DEC＝60°，DE＝2，求AE的长．5．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；（2）当∠BQD＝30°时，求AP的长；（3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．，H是BC边的中点，连结DH6．如图，CD，BE是△ABC的两条高线，且它们相交于F，．G，已知CD＝BDDH与BE相交于点．）求证BF＝AC（1平分∠）若BEABC．（2求证：DF＝DG．①，求BG的长．8②若AC＝120°．CDE，CD＝DE，∠CDE＝7．已知等边△ABC和等腰△的中点，连接AD，PD，则线段AB在DBC上，点E在上，P是BE1（1）如图，点；PD之间的数量关系为AD与（2）如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，P是BE的中点，连接AD，PD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点D在△ABC内部，点E和点B重合，点P在BC下方，且PB+PC为定值，当PD最大时，∠BPC的度数为．8．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD、CE交于点F，CE＝BE，且∠BEC+∠BDC＝180°．求证：AC＝BF．小明经探究发现，在AB上取一点G（不与E点重合），使CE＝CG，连接CG（如图2），从而可证△BEF≌△CGA，使问题得到解决．（1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程；参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：（2）如图3，等腰△ABC中，AB＝AC，D、F在直线BC上，DE＝BF，连接AD，过点E作EG∥AC交FG于点G，∠DFG+∠D＝∠BAC，请在图中找出一条和线段AD相等的线段，并证明．°的角，角的120边的中点，以BCD为顶点作一个9．如图，△ABC是等边三角形，D是的度（∠MDND为中心旋转∠MDN、AC于MN两点．以点两边分别交直线AB、直线．BD+CN＝垂直时（如图①所示），易证BM数不变），当DM与ABCN＝AC上时，BM+M在边AB上，点N在边AB1（）如图②，当DM与不垂直，点BD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；CN+的延长线上时，BMACN，点在边上AB在边M不垂直，点AB与DM当③）（2如图，之间的数量关系，不用证明．BDCNBM是否仍然成立？若不成立，请写出＝BD，，10．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，以D为直角顶点的Rt△DEF的另两个顶点E，F分别落在边AC，CB（或它们的延长线）上．互相，ACBC与△ABC的两条直角边Rt△DEF的两条直角边DE，DF1（1）如图，若AC边的长；S＝2垂直，则时，S，求当S＝CEFABCDEF△△△不垂AC，BC，DF与△ABC的两条直角边△（2）如图2，若RtDEF的两条直角边DESS直，是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出ABC△，S，S之间的数量关系；ABCCEFDEF△△△（3）如图3，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂的延长线上SCB是否成的延长线上，点E直，且点在ACF在ABC△立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S，S，S之间的数量关ABCDEFCEF△△△系．页的部分内容9411．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第．线段垂直平分线2MN我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线对MNAB沿直线PA、PB，将线段MN是线段AB的垂直平分线，P是上任一点，连结完全重合，由此即有：PB与称，我们发现PA线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．线段垂直平分线的性质定理上的任意一点．MN，点P是直线CMN⊥AB，垂足为点，AC＝BC已知：如图，PB＝．求证：PAPA，只要证明这两个三角形全等，便可证明APC和BPC分析：图中有两个直角三角形PB．＝，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整定理证明：请根据教材中的分析，结合图①的证明过程．定理应用：的nm、BC、AC的垂直平分线，直线，在△（1）如图②ABC中，直线m、n分别是边BH．H．求证：AH＝作OOH⊥AB于点O交点为．过点的垂BC于点D，边AC，边中，③，在△ABCAB＝BCAB的垂直平分线l交）如图（2．的长为DE，则15＝AC°，120＝ABC．若∠E于点AC交k直平分线2＝5|+|mmn满足（﹣n）﹣n，12．已知，在平面直角坐标系中，A（m0）、B（0，），m、0DE＝PD，是x轴正半轴上一点，且PO的中点，．C为ABP是线段AB上一动点，DE．⊥AB于的数量关ABPE与OAAB上运动时，点D恰在线段上，则在线段1（1）如图，当点P系为（2）如图2，当点D在点A右侧时，（1）中结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由！（3）设AB＝5，若∠OPD＝45°，直接写出点D的坐标．13．（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD＝CE，②∠DCE＝120°；（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：①∠DCE的度数；②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；②连结BE，若BE＝10，BC＝6，直接写出AE的长．．E，FABC的三边上，分别取点D，14．已知在等边三角形EFC；DEB＝CF，求证：△≌△，若（1）如图1AD＝BE的CEAB＝15，求，且BCF⊥DFAC于，FE⊥于E，ABED，若2（）如图2⊥于点D长；为等边三角形．DEFEFEDCFAD，若3（）如图3＝，＝，求证：△15．已知△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°．（1）若D为AB上一动点时（如图1），①求证：△ACD≌△BCE．②试求线段AD，BD，DE间满足的数量关系．（2）当点D在△ABC内部时（如图2），延长AD交BE于点F．①求证：AF⊥BE．②连结BD，当△BDE为等边三角形时，直接写出△DCE与△ABC的边长之比．参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 1．（1）证明：方法一：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△BAD和△EAD中∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，∵∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∴BD＝EC，∴AC＝AB+BD；（2）DC、CE、BE之间的数量关系是BE＝DC+CE，证明：在EB上截取EF，使得EF＝DC，连接AF，ED，∵EA＝EDA，∴∠EAD＝∠°，＝∠AED＝180∴2∠DAE＝90°，B∵∠DAE+∠180°，DAE∠+2∠B＝∴2，B＝∠C∠∴∠AED＝2，DAE＝∠∵∠BEDCDE+∠＝∠CDE，AEB∴∠中EDC和△AEF在△．），≌△EDC（SAS∴△AEFB，＝2∠EC＝AF∠AFE＝∠C∴BAF，B+∠∵∠AFE＝∠BAF，∴∠ABF＝∠，BF＝AF∴，BF＝CE∴．DC+CE∴BE＝，H，交BC延长线于点1，过点D作DH⊥BC（2．解：1）如图4，90°，AB＝∵∠ABC＝30°，∠ACB＝AC，＝2＝AB＝2，BC＝∴AC是等边三角形，∵△ACD＝60°，＝CD＝AD2，∠ACD∴AC＝30°，＝180°﹣∠ACB﹣∠ACD∴∠DCH＝30°，CH，∠DCH＝，∵DC＝2DH⊥，∴DH＝1；＝×2×＝1∴△BCD×的面积BC×DH，N于AF⊥CN作C，过点DH，连接AB＝AH，使H至BA，延长2）如图2（．30°，°，∠F＝∵∠ABC＝30°，BAF＝120，∠∴∠ABC＝∠F°，HAF＝60∴AB＝AF，∠是等边三角形，∵△ACD，60°＝∠HAF＝AC，∠CAD＝∴AD，＝∠CAF∴∠HAD，＝ACAB＝AH，AD又∵AF＝）（SAS∴△DAH≌△CAF30°，＝∠，∠HF＝∴DH＝CFDE，AH，BE＝∵AB＝DH，，AE∴AE∥＝DH°，H＝30，∠CF＝2AEBAE＝∠∴°，EAF＝90∴∠，°＝∠EAF＝∵∠AEC90，∥EC∴AF90°，ANC＝∠AEC＝，且ACE＝∠CANAC＝AC，∠∴∠）CNA≌△（AAS∴△AEC，AN＝EC∴30°，F⊥AF，∠＝CN∵，2CN＝∴NF＝CN，CF，CN∴AE＝，NF∴＝AE+AE．＝EC∴AF＝AN+NF3．解：（1）过C作CM⊥x轴于M点，如图1，AB，OACM⊥，AC⊥∵°＝90OAB+∠OBA°，∠∴∠MAC+∠OAB＝90OBA＝∠则∠MACOBA和△中，在△MAC，）≌△OBA（AAS∴△MAC，OB＝4＝OA＝2，MA＝∴CM2）；C∴点的坐标为（﹣6，﹣点，QDQ⊥OP于2（2）如图，过D作°POE＝90，∠∵DQ⊥OP，DE⊥OEOEDQ∴四边形是矩形，OQ，DE∴OE＝QD，＝，＝DE+PQPQ∴OP＝+OQ＝90°，OAP+°，∠＝∠APO∵∠+QPD90APO∠，OAP＝∠QPD∴∠．在△AOP和△PDQ中，，），PDQ（AAS∴△AOP≌△2，＝AO＝∴QP2；﹣DE＝∴OP（3）结论②是正确的，m+n＝﹣4，理由如下：如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，FGT，，∠FHS＝∠HFT＝∠∴FS＝FT＝2FTG中，在△FSH和△，）≌△FTG（AAS∴△FSH，∴GT＝HS2），，点F坐标为（﹣2，﹣，又∵G（0，m）H（n，0）n，＝﹣m，OH＝，∴OT═OS＝2OG＝|m|+2＝n，，﹣2HS＝OH+OS＝﹣＝∴GTOG﹣OTm+2，n∴﹣2﹣m＝．＝﹣m+n4∴BDC是等边三角形，（4．解：1）探究一：∵△＝60°，BDCDCBD∴＝，∠中，ADC和△ADB在△．，，（SSS）≌△∴△ADBADC，ADB＝∠ADC∴∠°，360°﹣60∵∠ADB+∠ADC＝°，ADB＝150∴∠°．故答案为：150．＝AD（2）探究二：结论：CE都是等边三角形、△ABE理由：∵△BDC．＝DC＝BE，BD∴∠ABE＝∠DBC＝60°，ABDBEDBC﹣∠ABE﹣∠DBE＝∠∴∠EBC，∴∠ABD＝∠EBC中在△ABD和△，．SASEBC（）∴△ABD≌△．AD＝CE∴，ABD≌△EBC（3）探究三：∵△°，＝150∴∠BDA＝∠ECB°，＝60∵∠BCD90°，∴∠DCE＝60°，∵∠DEC＝30°，∴∠CDE＝，DE＝2∵，＝1∴CE，由勾股定理得＝，BD＝°＝+3090°，DE2°＝．∵∠BDE60．＝由勾股定理得是等边三角形ABE∵△．＝．AE＝BE∴5．（1）证明：过P作PF∥QC交AB于F．则△AFP是等边三角形，∵P、Q同时出发，速度相同，即BQ＝AP，∴BQ＝PF，在△DBQ和△DFP中，，，AAS）∴△DBQ≌△DFP（．＝DP∴DQ（2）解：∵△DBQ≌△DFP，∴BD＝DF，∵∠DBC＝∠BQD+∠BDQ＝60°，∠BQD＝30°∴∠BQD＝∠BDQ＝∠FDP＝∠FPD＝30°，＝AB＝2FA＝PF＝，∴BD＝DF∴AP＝2；（3）解：由（2）知BD＝DF，∵△AFP是等边三角形，PE⊥AB，∴AE＝EF，∴DE＝DF+EF+BFFA＝＝AB＝3为定值，即DE的长不变．的两条高线，ABC是△BE，CD）证明：∵1（．6．∴∠CEF＝∠ADC＝∠BDF＝90°，∵∠CFE＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DBF，∵CD＝BD，∴△ACD≌△FBD（ASA），∴BF＝AC；（2）解：①∵∠BDC＝90°，CD＝BD，∴△BDC是等腰直角三角形，∵H是BC边的中点，∴DH⊥BC，∴∠HGB+∠HBG＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠HBG＝∠FBD，∵∠DFB+∠DBF＝90°，∴∠DFG＝∠BGH，∵∠BGH＝∠DGF，∴∠DFG＝∠DGF，∴DF＝DG；②过G作GH⊥BD于P，则△DPG是等腰直角三角形，∴DP＝GP，x，＝x，则GP设DP＝AC＝8，∵8，＝∴BF＝AC，，⊥BDFD⊥BD∵GP∥∴GPFD，∽△BFD，∴△BGP，∴＝，∴＝∴．BG＝47．解：（1）结论：AD＝2PD．理由：如图1中，是等边三角形，∵△ABC°，＝60∴∠B120°，∵∠EDC＝60°，180°﹣120°＝∴∠EDB＝60°，＝∠BED＝∴∠B＝∠EDBBDE是等边三角形，∴△，BP＝PE∵，DP⊥AB∴°，APD＝90∴∠，＝DBDE＝DC，DE∵，＝CD∴BD60°，AC，∠BAC＝∵AB＝°，BAC＝30∴∠PAD∠＝．2PD＝∴AD2（）结论成立．，连DE＝DM，使得M到ED，延长EN，BN，连接PD＝PN，使得N到DP理由：延长接BD，BM，CM．60°，＝180°﹣∠EDC＝DC∵DE＝＝DM，∠MDCDCM是等边三角形，∴△60°，DCM＝∠ACB＝∵CA＝CB，CM＝CD，∠，∴∠BCM＝∠ACD，ACD（SAS）∴△BCM≌△，AD＝BM∴，PD＝PN∵PB＝PE，BNED是平行四边形，∴四边形＝DE，∴BN∥DE，BNDM，DE∵＝DM，＝DM，BN∥∴BN是平行四边形，∴四边形BNDM，DN＝2PD∴BM＝2＝PD．∴AD．PK，CK，连接BDC＝∠＝120°，且PD＝PKPDK3）如图（3中，作∠，PDK＝∠BDC，∠DK＝DP，DC＝DB∵．∴∠BDP＝∠CDK，∴△PDB≌△KDC（SAS），∴PB＝CK，∵PB+PC＝PC+CK＝定值，∴P，C，K共线时，PK定值最大，此时PD的值最大，此时，∠DPB＝∠DKP＝∠DPK＝30°，∠PBC＝∠DPB+∠DPK＝60°．故答案为60°．8．（1）证明：过点C作CG＝CE，交AB与点G，如图2所示：则∠CEG＝∠CGE，∴∠BEF＝∠CGA，∵CE＝BE，∴BE＝CG，∵∠BEC+∠BDC＝180°，∠BEC+∠CEG＝180°．∴∠BDC＝CEG，∵∠BDC＝∠A+∠EBF，∠CEG＝∠EFB+∠EBF，∴∠A＝∠EFB，在△BEF和△CGA中，，）CGA（AAS，∴△BEF≌△BF；∴AC＝FG，理由如下：）解：AD＝（2延长FG分别交AC、AD于点H、M，如图3所示：∵∠AMF＝∠DFG+∠D，∠DFG+∠D＝∠BAC，∴∠AMF＝∠BAC，∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD，∠AHF＝∠CAD+∠AMF，∴∠BAD＝∠AHF，在EG的延长线上取点N，使FN＝GF，则∠FGN＝∠AHF，∵EG∥AC，，ACB＝∠NEF，∠FGN＝∠AHF∴∠．∴∠BAD＝∠N，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠NEF＝∠ABC，∵DE＝BF，∴DE+BE＝BF+BE，即BD＝EF，在△ABD和△NEF中，，）（≌△NEFAAS，∴△ABDNF，∴AD＝FG．∴AD＝成立，理由如下：BDBM+CN＝：9．解（1）结论，于EAB交∥D，过点如图②作DEAC是等边三角形，ABC∵△．∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，），≌△EDM（ASA∴△CDNEM，∴CN＝；BM+CNBM＝BE＝+EM＝∴BD；理由如下：＝BDBD，之间的数量关系为：BM﹣CN（2）上述结论不成立，BM，CNE，AB于DE③，过点D作∥AC交如图是等边三角形，∵△ABC°，C＝60∴∠A＝∠B＝∠°，＝120∴∠NCDAC，∵DE∥60°，＝∠60°，∠BDEC＝＝＝∠∴∠BEDA°，60＝BDE＝∠BED＝∠B∴∠．∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，，（ASA）∴△CDN≌△EDM，CN＝EM∴，﹣CNBM﹣EM＝BM∴BD＝BE＝．＝BD∴BM﹣CNBC，AC，DF⊥）∵∠（1ACB＝90°，DE⊥10．解：DECF是矩形，∴四边形90°，∵∠ACB＝AC，∴BC⊥，DE∵⊥AC，DE∥BC∴边的中点，为AB∵D的中位线，是△ABC∴DEAC，＝∴DEBC同理2＝CE，AC，BC，∵AC＝，DE＝DF∴是正方形，∴四边形DECFDE，CF＝DF＝＝CE∴2＝DF，?2＝S＝S∵＝DEDFCEFDEF△△，2＝DF∴．∴CE＝2，∴AC＝2CE＝4；＝S成+S立（2）SABCCEFDEF△△△，理由如下：连接CD；如图2所示：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，＝AB＝BD，45°，CD⊥AB，CD∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，S＝2S，BCDABC△△∵∠EDF＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，在△CDE和△BDF中，，，）（∴△CDE≌△BDFASA．＝SDE＝DF．S∴BDFCDE△△＝S；S＝S+∴S+S＝SABCCDFCEFBCDDEFCDE△△△△△△S；理由如下：3）不成立（ABC△连接CD，如图3所示：同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°，∴S＝S，DBFECDEF△五边形＝S+S，DBCCFE△△+S，＝SABCCFE△△＝SS．∴S﹣ABCDEFCFE△△△∴S、S、S的关系是：S﹣S＝S．ABCCEFDEFCEFABCDEF△△△△△△11．解：定理证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．又∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PAC≌△PBC（SAS），∴PA＝PB．定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．的垂直平分线，是边BC∵直线m＝OC，∴OBAC的垂直平分线，n∵直线是边，＝∴OAOCOB＝∴OA⊥AB，∵OH；＝∴AHBH．BE，BD中，连接③）如图2（．∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴DA＝DB，EB＝EC，∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，∵AC＝15＝AD+DE+EC＝3DE，∴DE＝5，故答案为：5．2+|m﹣5|＝0，）：（1）∵（m﹣n解12．∴m﹣n＝0，m﹣5＝0，∴m＝n＝5，∴A（5，0）、B（0，5），∴AC＝BC＝5，∴△AOB为等腰直角三角形，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，∵PO＝PD，∴∠POD＝∠PDO，∵D是x轴正半轴上一点，∴点P在BC上，∵∠POD＝45°+∠POC，∠PDO＝45°+∠DPE，∴∠POC＝∠DPE，中，DPE和△POC在△．，），DPE（AAS∴△POC≌△PE，∴OC＝的中点，为AB∵C，＝2OC∴AB．＝2PE∴AB．＝2PE故答案为：AB）成立，理由如下：（2中点，AB∵点C为，⊥ABBOC＝45°，OC∴∠AOC＝∠，＝PD∵PO，＝∠PDO∴∠PODDPE，PDO＝45°﹣∠∵∠POD＝45°﹣∠POC，∠DPE，∴∠POC＝∠DPE中，在△POC和△，，（AAS）∴△POC≌△DPE，OC＝PE∴°＝45又∠AOC＝∠BAOAB＝＝AC∴OCPE；∴AB＝25AB＝，3（）∵∴OA＝OB＝5，∵OP＝PD，＝＝67.5＝∠PDO°，POD∴∠∴∠APD＝∠PDO﹣∠A＝22.5°，∠BOP＝90°﹣∠POD＝22.5°，，BOP＝∠APD∴∠．在△POB和△DPA中，，），DPAPOB≌△（SAS∴△PB，5，DA＝∴PA＝OB＝5＝，5﹣∴DA＝PB55﹣（﹣DA，＝∴OD＝10﹣5）＝﹣OA5510﹣D，0）．的坐标为（∴点13．证明：（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠ACB＝∠B＝60°，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，），≌△ACE（SAS∴△ABDCE；∴BD＝ACE，∵△ABD≌△②°，60＝∠B＝∴∠ACE°；+60°＝120+∠ACB＝60°∴∠DCE＝∠ACE222DE+CD．°，（2）∠DCE＝90BD＝90°，BAC＝∠DAE＝证明：如图2，∵∠，DAE﹣∠DAC﹣∠∴∠BACDAC＝∠，＝∠CAE即∠BADACE中，与△在△ABD，），SASABD∴△≌△ACE（，CE＝BD°，45＝ACE＝∠B∴∠．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，222，DE+CD∴Rt△DCE中，CE＝222；DE+CD∴BD＝（3）①（2）中的结论还成立．理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，，SAS）∴△ABD≌△ACE（，BD＝CE＝∠ACE＝45°，∴∠ABC°，＝90＝∠ACE+∠ACBACB∴∠ABC+∠，°＝∠ECD∴∠BCE＝90222DE+CD，∴Rt△DCE中，CE＝222CD；＝∴BDDE+6，，BC＝BCE∵Rt△中，BE＝10②＝＝8，∴CE＝BD＝CE＝8，∴﹣，6＝2∴CD＝8＝，DCE中＝∴Rt△∵△ADE是等腰直角三角形，∴．（．为等边三角形，141）解：∵△ABCBC，60＝°，AB＝C∴∠＝∠B°．ADF＝120AFD∴∠+∠，BC﹣BE＝﹣∵ABAD．CE＝BD∴．在△DEB和△EFC中，，）．EFC（SAS∴△DEB≌△，于BCE于F，FE⊥⊥（2）∵EDAB于点D，DF⊥AC°，FEC＝90∴∠AFD＝∠BDE＝∠°，C＝60∵∠A＝∠B＝∠°，ADF＝30∴∠BED＝∠EFC＝∠，﹣xx，BE＝15CE＝x，则AD＝30﹣4设．∴，+AD＝15∵BD﹣∴3015+x＝4．解得：x＝5．∴CE＝5；（3）延长AB至M，使BM＝AD，连接ME，延长BC至点N，使CN＝BE，连接FN，°，＝∠ACB＝60ABC∵∠°，FCN＝120MBE∴∠＝∠＝CF，BM∵），NCF∴△EBM≌△（SAS．＝∴MEFNEF，＝＝∵DM＝ABBCEN，DESSS），（≌△∴△DEMEFN，FEC＝∠EDB∴∠．∵∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝60°+∠EDB，∴∠DEF＝60°，又∵DE＝EF，∴△DEF为等边三角形．15．（1）①证明：如图1，＝90°．ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD∵△ABC和△DCB，﹣∠DCB＝∠ECD﹣∠＝CE，∠A＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∴ACBC，CDBCE，∴∠ACD＝∠．（≌△BCESAS）∴△ACD．解：∵△ACD≌△BCE②°，A＝45，∠∴AD＝BECBE＝∠°，DBE＝90∴∠222222DE+AD，∴BD+BE＝＝DE，即BD2，2）①证明：如图（°．＝∠ECD＝90∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB≌△ACDBCE．∴由（1）易知△＝∠CBE，∴∠DAC90＝ABC＝∠+∠BACDAC+∠ABCBAF+∠ABCBAF+∴∠ABF∠＝∠+CBE∠＝∠+BAF∠°．°，90＝AFB∴∠．即AF⊥BE．②如图3，∵△BDE为等边三角形，DF⊥BE，60°，∴∠DEF＝a，，则DE＝2设EF＝BF＝aa，∴，DC＝CE，∵BD＝BE的垂直平分线，DE是∴BC，，BNa＝a∴NE＝．∴BC＝．∴ABCDCE与△的边长之比为即△．