《空间中的平面与空间向量》教学设计第二课时教学目标理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题.提升学生的数学抽象素养.教学重难点教学重点：理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题．教学难点：理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题．课前准备PPT课件．教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第40-41页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括
总结
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本节的内容.预设的答案：（1）本节主要学习空间中的平面与空间向量第二课时三垂线定理及逆定理．（2）与原教材只给出三垂线定理的证明不同,新教材同时给出了三垂线定理及其逆定理的证明．在强调二者在证明线线垂直过程中地位是等同的,学生可以根据题目的条件选择三垂线定理或三垂线定理的逆定理进行证明．三垂线定理刻画的是平面内的一条直线、平面的一条斜线及其在平面内的射影这三条线的位置关系,理解该定理的关键是要充分认识定理图形的特点,是平面内一条直线与斜线及其在平面内的射影确定的平面垂直利用三垂线定理及其逆定理,可把判断空间两直线的垂直问题转化为判断平面上两直线的垂直问题,也可以把判断平面上两直线的垂直问题转化为判断空间两直线的垂直问题,它是证明空间中两条直线垂直的重要方法,也是后面学习、研究空间中的角与空间中的距离的重要基础．设计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架探索新知我们知道,已知空间中的平面以及点A,过A作的垂线,设与相交于点,则就是点A在平面内的射影(也称为投影).不难看出,当A不是平面内的点时,如果A的射影为,则与都是平面的一个法向量.空间中,图形F上所有点在平面内的射影所组成的集合,称为图形F在平面内的射影．例如,如图所示,如果△ABC的顶点A在平面内,B与C都在平面外,则分别过B与C作的垂线,设交点分别为,则△ABC就是△ABC在平面内的射影.而且,此时与都是平面的一个法向量．问题2：当平面图形平行于射影平面时,它的射影是什么？当平面图形垂直于射影平面时,它的射影是什么？当平面图形位于射影平面上时,它的射影是什么？师生活动：学生根据上述讲解，老师指导学生总结答案.预设的答案：当平面图形平行于射影平面时,它的射影是与它全等的平面图形(点的射影仍是一个点);当平面图形垂直于射影平面时,它的射影是一条线段(线段垂直于射影面时的射影是一个点);当平面图形位于射影平面上时,它的射影是它本身．设计意图：加深对射影的理解．问题3：已知AB是平面的一条斜线且B为斜足(即AB不垂直于,且AB∩=B),设其中是A在平面内的射影,而是平面内的一条直线,如图所示,判断下列命题是否∠A成立,并用空间向量证明(1)当⊥时,⊥AB;(2)当⊥AB时,⊥师生活动：学生在老师的指导下尝试解答．教师讲解：（1）设则由且，可知，即．如果则又因为,所以，，因此，⊥AB．（2）如果⊥AB，又因为，所以，因此⊥设计意图：通过问题给出了斜线及斜足的概念，便于学生理解概念．教师讲解：上述问题中的两个结论一般称为三垂线定理及其逆定理：垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直．三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．设计意图：利用三垂线定理及其逆定理,可把判断空间两直线的垂直问题转化为判断平面上两直线的垂直问题,也可以把判断平面上两直线的垂直问题转化为判断空间两直线的垂直问题,它是证明空间中两条直线垂直的重要方法,也是后面学习、研究空间中的角与空间中的距离的重要基础．三、初步应用例3：已知是一个正方体，求证：.师生活动：学生先识图，并尝试自行证明，由老师指定学生解答．预设的答案：连接，因为是正方体,所以AB⊥面,因此在平面内的射影为,又因为是正方形,所以⊥,因此根据三垂线定理知⊥设计意图：是对三垂线定理的直接应用,加深对定理的理解．例4：如图所示的三棱锥O-ABC中,CO⊥OA,CO⊥OB,且CD为△CAB的AB边上的高,求证:OD⊥AB师生活动：学生识图并建立坐标系证明，由老师指定学生解答．预设的答案：因为CO⊥OA,CO⊥OB,,所以CO⊥面OAB.因此CD在平面OAB内的射影为OD,又因为CD⊥AB,所以根据三垂线定理的逆定理可知OD⊥AB.设计意图：是对三垂线定理的逆定理的直接应用,证明的关键点都是要找到射影.问题4：结合例题引导学生体会应用三垂线定理及其逆定理解题的思路,并归纳总结应用三垂线定理及其逆定理解题的步骤师生活动：学生同桌交流给出答案，由老师指定学生解答．预设的答案：基本思路:一定平面,二找垂线,三证垂直基本步骤:证明线面垂直一指明斜线与射影一由线线垂直,根据三垂线定理或其逆定理得证．设计意图：注重形成和发展学生数学抽象的素养.四、归纳小结，布置作业问题5：（1）三垂线定理及其逆定理是什么？（2）总结应用三垂线定理及其逆定理解题的步骤是什么？师生活动：在教师的指导下共同讨论．预设的答案：（1）三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直．三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．（2）基本思路:一定平面,二找垂线,三证垂直基本步骤:证明线面垂直一指明斜线与射影一由线线垂直,根据三垂线定理或其逆定理得证．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确三垂线定理及逆定理的的定义布置作业：教科书第41页练习B4,5．五、目标检测设计1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1的中点,则下列与直线CE垂直的是( )A.直线ACB.直线B1D1C.直线A1D1D.直线A1A设计意图：考查学生对三垂线定理的应用．2．如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD．求证：PA⊥BD．设计意图：考查学生对三垂线定理的应用．参考答案：1．解析如图,连接AC,B1D1.则点E在B1D1上,∵点C在平面A1B1C1D1内的射影是C1,∴CE在平面A1B1C1D1内的射影是C1E,∵C1E⊥B1D1,由三垂线定理可得,CE⊥B1D1;在四边形AA1C1C中,C1C⊥AC,易得AC不可能和CE垂直;∵A1D1∥BC,A1A∥C1C,而BC,C1C明显与CE不垂直,∴A1D1,A1A不可能和CE垂直.综上,选B.2．[证明] 如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO．因为PB＝PC，所以PO⊥BC．又平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，所以PO⊥平面ABCD，所以AP在平面ABCD内的射影为AO．在直角梯形ABCD中，由于AB＝BC＝2CD，易知Rt△ABO≌Rt△BCD，所以∠BEO＝∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90°，即AO⊥BD．由三垂线定理，得PA⊥BD．
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