21版32高中同步新教材必修第一册人A数学教参

第一章　集合与常用逻辑用语１　　　　教材过关第一章　集合与常用逻辑用语１．１　集合的概念第１课时　集合的含义课标解读课标 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 核心素养１．通过实例了解集合的含义．２．掌握集合中元素的三个特性．（重点）３．体会元素与集合的关系，记住常用数集的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示符号并会应用．（难点）１．通过集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养．２．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养．见学用１页　　一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是，他请教一位数学家：“尊敬的先生，请您告诉我，集合是什么？”但是集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民．有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动．数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”问题１：数学家说的集合是指什么？ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 　网中的鱼的全体．问题２：网中的“大鱼”能构成集合吗？答案　不能．１．元素与集合的概念　　ａ是集合Ａ的元素———ａ属于集合Ａ，记作ａ∈Ａａ不是集合Ａ的元素———ａ不属于集合Ａ，记作ａ∉Ａ{　　２．集合元素的特性确定性：一个元素是否属于一个集合的元素必须是　　　　④确定的互异性：集合中的元素一定是⑤不同的无序性：集合中的元素是不存在⑥前后顺序的ìîíïïïï　　思考１：地球的七大洲能构成一个集合吗？提示　能．　　思考２：英语单词ｇｏｏｄ的所有字母能否组成一个集合？如果能组成一个集合，该集合中有几个元素？提示　能，三个元素．　　判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否具有明确的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ，即给定的对象是“模棱两可”还是“确定无疑”．另外，元素可以是人、物、数、点、不等式、集合等．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　　３．集合相等　　构成两个集合的元素是⑦一样的，我们就称这两个集合是相等的．　　４．常见的数集及表示符号数集非负整数集（自然数集）正整数集⑧整数集有理数集⑨实数集符号⑩Ｎ􀃊􀁉􀁓Ｎ∗或Ｎ＋Ｚ􀃊􀁉􀁔ＱＲ􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋见学用１页探究一　集合的基本概念　　例１　（多选）观察下列每组对象，能构成集合的是（　　）　　Ａ．中国各地美丽的乡村Ｂ．直角坐标系中横、纵坐标相等的点Ｃ．不小于３的自然数Ｄ．２０１８年第２３届冬季奥运会金牌获得者答案　ＢＣＤ　　一般地，确认一组对象ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ（ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ均不相同）能否构成集合的过程如下：􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋２　　　　　数学　必修　第一册　人教Ａ版１．判断下列每组对象能否组成一个集合．（１）参加２０１８年俄罗斯世界杯足球赛的所有国家；（２）参加２０１８年俄罗斯世界杯足球赛的所有实力较强的球队；（３）参加２０１８年五四青年节联欢晚会的所有同学；（４）直角坐标系中接近原点的点．解析　（１）中“所有国家”，（３）中“所有同学”都有确定的“属性”，能组成集合；（２）中“实力较强的球队”没有明确的标准，（４）中“接近原点”界限不明，都不能组成集合．综上可知，（１）（３）能组成集合，（２）（４）不能组成集合．探究二　元素与集合的关系　　例２　（１）（多选）下列所给关系正确的是（　　）Ａ．π∈ＲＢ．６∉ＱＣ．０∈Ｎ∗Ｄ．｜－５｜∉Ｎ∗（２）集合Ａ中的元素ｘ满足６３－ｘ∈Ｎ，且ｘ∈Ｎ，则集合Ａ中的元素为　　　　．答案　（１）ＡＢ　（２）２，１，０解析　（１）Ａ中π是实数，所以π∈Ｒ正确；Ｂ中６是无理数，所以６∉Ｑ正确；Ｃ中０不是正整数，所以０∈Ｎ∗错误；Ｄ中｜－５｜＝５为正整数，所以｜－５｜∉Ｎ∗错误．故选ＡＢ．（２）由题意可得，３－ｘ可以为１，２，３，６，且ｘ为自然数，因此ｘ的值为２，１，０．因此Ａ中的元素为２，１，０．　　判断元素与集合关系的两种方法直接法（１）使用前提：集合中的元素是直接给出的（２）判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可推理法（１）使用前提：某些不便直接表示的集合（２）判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么共同特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的共同特征即可􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋２．（１）已知集合Ａ中的元素ｘ满足２ｘ＋ａ＞０，常数ａ∈Ｒ，若１∉Ａ，２∈Ａ，则（　　）Ａ．ａ＞－４Ｂ．ａ≤－２Ｃ．－４＜ａ＜－２Ｄ．－４＜ａ≤－２（２）用符号“∈”或“∉”填空：设集合Ｄ是所有满足方程ｙ＝ｘ２的有序数对（ｘ，ｙ）的集合，则－１　　　　Ｄ，（－１，１）　　　　Ｄ．２．答案　（１）Ｄ　（２）∉；∈解析　（１）∵１∉Ａ，２∈Ａ，∴２×１＋ａ≤０，且２×２＋ａ＞０，解得－４＜ａ≤－２．（２）因为集合Ｄ中的元素是满足方程ｙ＝ｘ２的有序数对（ｘ，ｙ），所以－１∉Ｄ，（－１，１）∈Ｄ．探究三　集合中元素的特性及应用　　例３　（易错题）已知集合Ａ含有两个元素１和ａ２，若ａ∈Ａ，求实数ａ的值．　　易错辨析：常因忘记验证集合中元素的互异性而失分．解析　由题意可知，ａ＝１或ａ２＝ａ，若ａ＝１，则ａ２＝１，这与ａ２≠１矛盾，故ａ≠１．若ａ２＝ａ，则ａ＝０或ａ＝１（舍去），又当ａ＝０时，Ａ中含有元素１和０，符合题意．综上可知，实数ａ的值为０．　　由集合中元素的特性求解字母的取值（范围）的步骤􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋３．（１）（变条件）本例若去掉条件“ａ∈Ａ”，其他条件不变，求实数ａ的取值范围；（２）（变条件）已知集合Ａ含有两个元素ａ和ａ２，若１∈Ａ，求实数ａ的值．解析　（１）由集合中元素的互异性可知ａ２≠１，即ａ≠１且ａ≠－１．（２）若１∈Ａ，则ａ＝１或ａ２＝１，即ａ＝±１．当ａ＝１时，集合Ａ有重复元素１，所以ａ≠１；当ａ＝－１时，集合Ａ含有两个元素１，－１，符合集合中元素的互异性，所以ａ＝－１．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋见学用２页１．已知集合Ａ由所有满足ｘ＜１的数构成，则有（　　）Ａ．３∈ＡＢ．１∈ＡＣ．０∈ＡＤ．－１∉Ａ答案　Ｃ　∵０＜１，∴０是集合Ａ中的元素，故０∈Ａ．２．（多选）下列各项中，可以组成集合的是　（　　）Ａ．所有的正数Ｂ．等于２的数Ｃ．接近于０的数Ｄ．不等于０的偶数答案　ＡＢＤ　集合中的元素满足三要素：确定性、互异性、无序性．“接近于０的数”是不确定的元素，故接近于０的数不能组成集合，故选ＡＢＤ．３．有下列说法：①集合Ｎ与集合Ｎ∗是同一个集合；②集合Ｎ中的元素都是集合Ｚ中的元素；③集合Ｑ中的元素都是集合Ｚ中的元素；④集合Ｑ中的元素都是集合Ｒ中的元素．其中正确的有　　　　（填序号）．答案　②④解析　因为集合Ｎ∗表示正整数集，Ｎ表示自然数集，Ｚ表示整数集，Ｑ表示有理数集，Ｒ表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第一章　集合与常用逻辑用语３　　　　４．方程ｘ２－２ｘ－３＝０的解集与集合Ａ相等，若集合Ａ中的元素是ａ，ｂ，则ａ＋ｂ＝　　　　．答案　２解析　∵方程ｘ２－２ｘ－３＝０的解集与集合Ａ相等，且集合Ａ中的元素是ａ，ｂ，∴ａ，ｂ是方程ｘ２－２ｘ－３＝０的两个根，∴ａ＋ｂ＝２．５．已知集合Ａ含有两个元素ａ－３和２ａ－１，若－３∈Ａ，试求实数ａ的值．解析　∵－３∈Ａ，∴－３＝ａ－３或－３＝２ａ－１，①若－３＝ａ－３，则ａ＝０，此时集合Ａ中含有两个元素－３，－１，符合题意；②若－３＝２ａ－１，则ａ＝－１，此时集合Ａ中含有两个元素－４，－３，符合题意．综上所述，ａ＝０或ａ＝－１．数学抽象———元素与集合的概念的理解和应用设集合Ａ中的元素均为实数，且满足条件：若ａ∈Ａ，则１１－ａ∈Ａ（ａ≠１）．求证：（１）若２∈Ａ，则Ａ中必还有另外两个元素；（２）集合Ａ不可能是单元素集．审：若ａ∈Ａ，则１１－ａ∈Ａ（ａ≠１）．两问求证，先证第一问，第二问假设Ａ是单元素集，利用归谬法得出结论．联：由元素与集合的关系知，若元素属于集合，则元素必然满足集合要求．解：（１）若ａ∈Ａ，则１１－ａ∈Ａ．因为２∈Ａ，所以１１－２＝－１∈Ａ．因为－１∈Ａ，所以①１１－（－１）＝１２∈Ａ．因为１２∈Ａ，所以②１１－１２＝２∈Ａ．所以Ａ中必还有另外两个元素－１，１２．（２）若Ａ为单元素集，则③ａ＝１１－ａ，即ａ２－ａ＋１＝０，但是此方程无实数解，所以ａ≠１１－ａ，所以集合Ａ不可能是单元素集．思：涉及元素与集合关系问题时，谨记若元素属于集合，则元素必然满足集合所给条件或等式，反之亦然．　设集合Ａ中含有三个元素３，ｘ，ｘ２－２ｘ．（１）求实数ｘ应满足的条件；（２）若－２∈Ａ，求实数ｘ的值．解析　（１）由集合中元素的互异性可知，ｘ≠３，ｘ≠ｘ２－２ｘ，且ｘ２－２ｘ≠３，解得ｘ≠－１，ｘ≠０，且ｘ≠３．（２）∵－２∈Ａ，∴ｘ＝－２或ｘ２－２ｘ＝－２．当ｘ２－２ｘ＝－２，即ｘ２－２ｘ＋２＝０时，Δ＝（－２）２－４×１×２＝－４＜０，∴此方程无解，∴ｘ＝－２．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋课时达标训练见学用《作业本》１５５页　１．下列各组对象不能构成一个集合的是（　　）Ａ．不超过２０的非负实数Ｂ．方程ｘ２－９＝０在实数范围内的解Ｃ．３的近似值的全体Ｄ．某校身高超过１７０厘米的同学的全体答案　Ｃ　Ａ项，不超过２０的非负实数，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．Ｂ项，方程ｘ２－９＝０在实数范围内的解，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．Ｃ项，３的近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个集合．Ｄ项，某校身高超过１７０厘米的同学，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．故选Ｃ．２．下列各组中集合Ｐ与Ｑ表示同一个集合的是（　　）Ａ．Ｐ是由元素１，３，π构成的集合，Ｑ是由元素π，１，｜－３｜构成的集合Ｂ．Ｐ是由π构成的集合，Ｑ是由３．１４１５９构成的集合Ｃ．Ｐ是由２，３构成的集合，Ｑ是由有序数对（２，３）构成的集合Ｄ．Ｐ是满足不等式－１≤ｘ≤１的自然数构成的集合，Ｑ是方程ｘ２＝１的解集答案　Ａ３．集合Ｍ是由大于－２且小于１的实数构成的，则下列关系式正确的是（　　）Ａ．５∈ＭＢ．０∉ＭＣ．１∈ＭＤ．－π２∈Ｍ答案　Ｄ　５＞１，故Ａ错；－２＜０＜１，故Ｂ错；１不小于１，故Ｃ错；－２＜－π２＜１，故Ｄ正确．４．已知集合Ω中的三个元素ｌ，ｍ，ｎ分别是△ＡＢＣ的三边边长，则△ＡＢＣ一定不是（　　）Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．等腰三角形答案　Ｄ　因为集合中的元素是互异的，所以ｌ，ｍ，ｎ互不相等，即△ＡＢＣ不可能是等腰三角形，故选Ｄ．５．（多选）下面几个命题中正确的命题有（　　）Ａ．集合Ｎ∗中最小的数是１Ｂ．若－ａ∉Ｎ∗，则ａ∈Ｎ∗Ｃ．若ａ∈Ｎ∗，ｂ∈Ｎ∗，则ａ＋ｂ的最小值是２Ｄ．ｘ２＋４＝４ｘ的解集中有２个元素答案　ＡＣ　Ｎ∗是正整数集，最小的正整数是１，故Ａ正确；当ａ＝０时，－ａ∉Ｎ∗，且ａ∉Ｎ∗，故Ｂ错误；若ａ∈Ｎ∗，则ａ的最小值是１，又ｂ∈Ｎ∗，ｂ的最小值也是１，当ａ和ｂ都􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋４　　　　　数学　必修　第一册　人教Ａ版取最小值时，ａ＋ｂ取最小值２，故Ｃ正确；ｘ２＋４＝４ｘ的解集为｛２｝，故Ｄ错误．故ＡＣ正确．６．已知ａ，ｂ是非零实数，代数式｜ａ｜ａ＋｜ｂ｜ｂ＋｜ａｂ｜ａｂ的值组成的集合是Ｍ，则下列判断正确的是（　　）Ａ．０∈ＭＢ．－１∈ＭＣ．３∉ＭＤ．１∈Ｍ答案　Ｂ　当ａ，ｂ全为正数时，代数式的值是３；当ａ，ｂ全是负数时，代数式的值是－１；当ａ，ｂ是一正一负时，代数式的值是－１．综上可知Ｂ正确．７．已知集合Ａ是由全体偶数组成的，集合Ｂ是由全体奇数组成的，若ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ，则ａ＋ｂ　　　　Ａ，ａｂ　　　　Ａ（填“∈”或“∉”）．答案　∉；∈解析　∵ａ是偶数，ｂ是奇数，∴ａ＋ｂ是奇数，ａｂ是偶数，故ａ＋ｂ∉Ａ，ａｂ∈Ａ．８．若集合Ａ中有两个元素－１和２，集合Ｂ中有两个元素ｘ，ａ２，若Ａ与Ｂ相等，则ｘ＝　　　　，ａ＝　　　　．答案　－１；±２解析　由集合相等的概念可知ｘ＝－１，ａ２＝２，即ａ＝±２．９．设集合Ａ是由１，ｋ２为元素构成的集合，则实数ｋ的取值范围是　　　　　　　．答案　ｋ≠１且ｋ≠－１解析　∵１∈Ａ，ｋ２∈Ａ，结合集合中元素的互异性可知ｋ２≠１，解得ｋ≠１且ｋ≠－１．１０．已知－３是由ｘ－２，２ｘ２＋５ｘ，１２三个元素构成的集合中的元素，求ｘ的值．解析　由题意知ｘ－２＝－３或２ｘ２＋５ｘ＝－３．当ｘ－２＝－３，即ｘ＝－１时，集合中的三个元素为－３，－３，１２，不满足集合中元素的互异性，所以ｘ＝－１舍去．当２ｘ２＋５ｘ＝－３，即ｘ＝－３２或ｘ＝－１（舍去）时，集合中的三个元素为－７２，－３，１２，满足集合中元素的互异性．综上可知ｘ＝－３２．１１．已知集合Ｍ是方程ｘ２－ｘ＋ｍ＝０的解组成的集合，若２∈Ｍ，则下列判断正确的是（　　）Ａ．１∈ＭＢ．０∈ＭＣ．－１∈ＭＤ．－２∈Ｍ答案　Ｃ　由２∈Ｍ可知，２为方程ｘ２－ｘ＋ｍ＝０的一个解，所以２２－２＋ｍ＝０，解得ｍ＝－２．所以方程为ｘ２－ｘ－２＝０，解得ｘ１＝－１，ｘ２＝２．故方程的另一个解为－１．选Ｃ．１２．由实数ｘ，－ｘ，｜ｘ｜，ｘ２，－３ｘ３所组成的集合，其元素的个数最多为（　　）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５答案　Ａ　当ｘ＞０时，ｘ＝｜ｘ｜＝ｘ２，－３ｘ３＝－ｘ，此时集合中共有２个元素；当ｘ＝０时，ｘ＝｜ｘ｜＝ｘ２＝－３ｘ３＝－ｘ，此时集合中共有１个元素；当ｘ＜０时，ｘ２＝｜ｘ｜＝－３ｘ３＝－ｘ，此时集合中共有２个元素．综上，此集合中最多有２个元素，故选Ａ．１３．已知关于ｘ的不等式ｘ－ａ≥０的解组成的集合为Ａ，若３∉Ａ，则实数ａ的取值范围是　　　　．答案　ａ＞３解析　因为３∉Ａ，所以３是不等式ｘ－ａ＜０的解，所以３－ａ＜０，解得ａ＞３．１４．已知集合Ａ含有三个实数，分别为ａ２，ｂａ，ａ，若０∈Ａ且１∈Ａ，则ａ２０２０＋ｂ２０２０＝　　　　．答案　１解析　由０∈Ａ，“０不能做分母”可知ａ≠０，故ａ２≠０，所以ｂａ＝０，即ｂ＝０．由１∈Ａ，可知ａ２＝１或ａ＝１．当ａ＝１时，得ａ２＝１，由集合中元素的互异性，知ａ＝１不符合题意；当ａ２＝１时，解得ａ＝－１或ａ＝１（舍去）．故ａ＝－１，ｂ＝０，所以ａ２０２０＋ｂ２０２０的值为１．１５．集合Ａ中共有３个元素－４，２ａ－１，ａ２，集合Ｂ中也共有３个元素９，ａ－５，１－ａ，已知９∈Ａ，且集合Ｂ中再没有其他元素属于Ａ，根据上述条件求出实数ａ的值．解析　∵９∈Ａ，∴２ａ－１＝９或ａ２＝９，①若２ａ－１＝９，则ａ＝５，此时Ａ中的元素为－４，９，２５，Ｂ中的元素为９，０，－４，显然－４∈Ａ且－４∈Ｂ，与已知矛盾，故舍去．②若ａ２＝９，则ａ＝±３．当ａ＝３时，Ａ中的元素为－４，５，９，Ｂ中的元素为９，－２，－２，Ｂ中有两个－２，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去；当ａ＝－３时，Ａ中的元素为－４，－７，９，Ｂ中的元素为９，－８，４，符合题意．综上所述，ａ＝－３．１６．已知集合Ｍ中有两个元素ｘ，２－ｘ，若－１∉Ｍ，则下列说法一定错误的是　　　　．（填序号）①２∈Ｍ；②１∈Ｍ；③ｘ≠３．答案　②解析　依题意得ｘ≠－１，２－ｘ≠－１，ｘ≠２－ｘ，{解得ｘ≠－１，ｘ≠１且ｘ≠３，当ｘ＝２或２－ｘ＝２，即ｘ＝２或ｘ＝０时，集合Ｍ中的元素为０，２，故①正确；当ｘ＝１或２－ｘ＝１，即ｘ＝１时，集合Ｍ中的元素为１，１，不满足集合中元素的互异性，故②不正确；③显然正确．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第一章　集合与常用逻辑用语５　　　　第２课时　集合的表示法课标解读课标要求核心素养针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言（列举法、描述法）刻画集合．（重点、难点）１．通过学习利用描述法表示集合，培养数学抽象的素养．２．借助描述法转化为列举法时的运算，培养数学运算的素养．见学用３页　　观察下列集合：（１）中国古典长篇小说四大名著组成的集合；（２）２０的所有正因数组成的集合；（３）大于１小于４的实数组成的集合．问题１：（１）（２）两个集合中的元素能一一列举出来吗？如何表示这两个集合中的元素？答案　能．集合（１）中的元素为《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》，集合（２）中的元素为１，２，４，５，１０，２０．问题２：集合（３）中的元素能一一列举出来吗？如何表示集合（３）？答案　不能．用描述法表示．（１）列举法：把集合的所有元素①一一列举出来，并用花括号“｛　｝”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为｛ａ，ｂ，ｃ，…｝．　　列举法表示的集合的结构：􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　　（２）描述法：一般地，设Ａ是一个集合，我们把集合Ａ中所有具有②共同特征Ｐ（ｘ）的元素ｘ所组成的集合表示为③｛ｘ∈Ａ｜Ｐ（ｘ）｝，这种表示集合的方法称为描述法．思考：观察下列三个集合：①Ａ＝｛ｘ｜ｙ＝ｘ２＋１｝；②Ｂ＝｛ｙ｜ｙ＝ｘ２＋１｝；③Ｃ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｙ＝ｘ２＋１｝．它们是相同的集合吗？它们各自的含义分别是什么？提示　它们不是相同的集合．集合Ａ＝｛ｘ｜ｙ＝ｘ２＋１｝的代表元素是ｘ，且ｘ∈Ｒ，所以｛ｘ｜ｙ＝ｘ２＋１｝＝Ｒ，即Ａ＝Ｒ；集合Ｂ＝｛ｙ｜ｙ＝ｘ２＋１｝的代表元素是ｙ，满足条件ｙ＝ｘ２＋１的ｙ的取值范围是ｙ≥１，所以｛ｙ｜ｙ＝ｘ２＋１｝＝｛ｙ｜ｙ≥１｝；集合Ｃ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｙ＝ｘ２＋１｝的代表元素是（ｘ，ｙ），是满足ｙ＝ｘ２＋１的数对．可以认为集合Ｃ是由坐标平面内满足ｙ＝ｘ２＋１的点（ｘ，ｙ）构成的．　　描述法表示的集合的结构：􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋见学用４页探究一　用列举法表示集合　　例１　用列举法表示下列集合：（１）小于１０的质数组成的集合Ａ；（２）方程ｘ２－２ｘ－３＝０的实数根组成的集合Ｂ；（３）一次函数ｙ＝ｘ＋２与ｙ＝－２ｘ＋５的图象的交点组成的集合Ｄ．解析　（１）因为小于１０的质数包括２，３，５，７，所以Ａ＝｛２，３，５，７｝．（２）方程ｘ２－２ｘ－３＝０的实数根为３，－１，所以Ｂ＝｛３，－１｝．（３）由ｙ＝ｘ＋２，ｙ＝－２ｘ＋５{得ｘ＝１，ｙ＝３，{所以一次函数ｙ＝ｘ＋２与ｙ＝－２ｘ＋５的图象的交点为（１，３），所以Ｄ＝｛（１，３）｝．　　用列举法表示集合的３个步骤（１）求出集合的元素；（２）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；（３）用花括号括起来．提醒：二元方程组的解集、函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开，如｛（２，３），（５，－１）｝．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１．用列举法表示下列集合：（１）满足－２≤ｘ≤２且ｘ∈Ｚ的实数组成的集合Ａ；（２）方程（ｘ－２）２（ｘ－３）＝０的解组成的集合Ｍ；（３）方程组２ｘ＋ｙ＝８，ｘ－ｙ＝１{的解组成的集合Ｂ；（４）１５的正约数组成的集合Ｃ．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋６　　　　　数学　必修　第一册　人教Ａ版解析　（１）满足－２≤ｘ≤２且ｘ∈Ｚ的实数有－２，－１，０，１，２，故Ａ＝｛－２，－１，０，１，２｝．（２）方程（ｘ－２）２（ｘ－３）＝０的解为ｘ＝２或ｘ＝３，∴Ｍ＝｛２，３｝．（３）解２ｘ＋ｙ＝８，ｘ－ｙ＝１{得ｘ＝３，ｙ＝２，{∴Ｂ＝｛（３，２）｝．（４）１５的正约数有１，３，５，１５，故Ｃ＝｛１，３，５，１５｝．探究二　用描述法表示集合　　例２　用描述法表示下列集合：（１）不等式２ｘ－３＜１的解组成的集合Ａ；（２）被３除余２的正整数组成的集合Ｂ；（３）Ｃ＝｛５，１０，１５，２０｝；（４）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合Ｄ．解析　（１）不等式２ｘ－３＜１的解组成的集合为Ａ，则集合Ａ中的元素是数，设代表元素为ｘ，则ｘ满足２ｘ－３＜１，则Ａ＝｛ｘ｜２ｘ－３＜１｝，即Ａ＝｛ｘ｜ｘ＜２｝．（２）设被３除余２的正整数为ｘ，则ｘ＝３ｎ＋２，ｎ∈Ｎ，所以被３除余２的正整数组成的集合Ｂ＝｛ｘ｜ｘ＝３ｎ＋２，ｎ∈Ｎ｝．（３）Ｃ＝｛ｘ｜ｘ＝５ｎ，ｎ≤４，ｎ∈Ｎ∗｝．（４）易知平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即ｘ＜０，ｙ＞０，故平面直角坐标系中第二象限内的点的集合Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ＜０，且ｙ＞０｝．　　用描述法表示集合时需注意的三点（１）用描述法表示集合，应先弄清楚集合中元素的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素．（２）用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，则需对新字母 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 其含义或取值范围．（３）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋２．用描述法表示下列集合：（１）比１大又比１０小的实数组成的集合Ａ；（２）直线ｙ＝２ｘ＋３上所有点组成的集合Ｂ；（３）正奇数集Ｍ．解析　（１）比１大又比１０小的实数有无数个，设ｘ∈Ａ，易知ｘ∈Ｒ，故用描述法表示为Ａ＝｛ｘ∈Ｒ｜１＜ｘ＜１０｝．（２）易知集合Ｂ是点集，设（ｘ，ｙ）∈Ｂ，故用描述法可表示为Ｂ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｙ＝２ｘ＋３｝．（３）设ｘ∈Ｍ，故全体奇数可用式子ｘ＝２ｎ＋１，ｎ∈Ｚ表示，但此题要求为正奇数，故ｎ∈Ｎ，所以正奇数集Ｍ＝｛ｘ｜ｘ＝２ｎ＋１，ｎ∈Ｎ｝．探究三　集合表示方法的综合应用　　例３　（易错题）集合Ａ＝｛ｘ｜ｋｘ２－８ｘ＋１６＝０｝，若集合Ａ中只有一个元素，求实数ｋ的值组成的集合．易错辨析：解答本题易出现的失误为想当然地认为方程ｋｘ２－８ｘ＋１６＝０为二次方程，漏掉ｋ＝０的情况．解析　①当ｋ＝０时，方程ｋｘ２－８ｘ＋１６＝０变为－８ｘ＋１６＝０，解得ｘ＝２，满足题意；②当ｋ≠０时，要使集合Ａ＝｛ｘ｜ｋｘ２－８ｘ＋１６＝０｝中只有一个元素，则使方程ｋｘ２－８ｘ＋１６＝０有两个相等的实数根，所以Δ＝６４－６４ｋ＝０，解得ｋ＝１，此时集合Ａ＝｛４｝，满足题意．综上所述，ｋ＝０或ｋ＝１，故实数ｋ的值组成的集合为｛０，１｝．　　（１）若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例３集合Ａ中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．（２）在学习过程中要注意数学思想的培养，如本例中用到了等价转化和分类讨论的思想．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋３．（１）（变条件）若将例３中的条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数ｋ的值组成的集合；（２）（变条件）若将例３中的条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数ｋ的值组成的集合．解析　（１）由题意可知，方程ｋｘ２－８ｘ＋１６＝０有两个不等实根，故ｋ≠０，且Δ＝６４－６４ｋ＞０，即ｋ＜１，且ｋ≠０．所以实数ｋ的值组成的集合为｛ｋ｜ｋ＜１，且ｋ≠０｝．（２）由题意可知，方程ｋｘ２－８ｘ＋１６＝０至少有一个实数根．①当ｋ＝０时，由－８ｘ＋１６＝０得ｘ＝２，符合题意；②当ｋ≠０时，要使方程ｋｘ２－８ｘ＋１６＝０至少有一个实数根，则Δ＝６４－６４ｋ≥０，即ｋ≤１，且ｋ≠０．综合①②可知，实数ｋ的值组成的集合为｛ｋ｜ｋ≤１｝．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋见学用５页１．集合｛ｘ∈Ｎ∗｜ｘ－３＜２｝的另一种表示法是（　　）Ａ．｛０，１，２，３，４｝Ｂ．｛１，２，３，４｝Ｃ．｛０，１，２，３，４，５｝Ｄ．｛１，２，３，４，５｝答案　Ｂ　∵ｘ－３＜２，ｘ∈Ｎ∗，∴ｘ＜５，ｘ∈Ｎ∗，∴ｘ＝１，２，３，４．∴集合的另一种表示法为｛１，２，３，４｝．２．（多选）由大于－３且小于１的偶数所组成的集合是（　　）Ａ．｛－３，－２，－１，０，１｝Ｂ．｛－２，０｝Ｃ．｛ｘ｜－３＜ｘ＜１，ｘ＝２ｋ｝Ｄ．｛ｘ｜－３＜ｘ＜１，ｘ＝２ｋ，ｋ∈Ｚ｝答案　ＢＤ　由题意可知，大于－３且小于１的偶数为－２和０，所以集合用列举法可表示为｛－２，０｝，用描述法可表示为｛ｘ｜－３＜ｘ＜１，ｘ＝２ｋ，ｋ∈Ｚ｝，故选ＢＤ．３．设集合Ａ＝｛１，２，３｝，Ｂ＝｛１，３，９｝，若ｘ∈Ａ且ｘ∉Ｂ，则ｘ＝　　　　．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第一章　集合与常用逻辑用语７　　　　答案　２解析　∵ｘ∈Ａ，∴ｘ的可能取值为１，２，３．又∵ｘ∉Ｂ，∴ｘ的值不可能是１，３，９，故ｘ＝２．４．图中阴影部分（含边界）所表示的点的集合用描述法表示为　　　　　　　　．答案　（ｘ，ｙ）０≤ｘ≤３２，０≤ｙ≤１{}５．设集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ２－３ｘ＋ａ＝０｝，若４∈Ａ，试用列举法表示集合Ａ．解析　∵４∈Ａ，∴１６－１２＋ａ＝０，∴ａ＝－４，∴Ａ＝｛ｘ｜ｘ２－３ｘ－４＝０｝＝｛－１，４｝．逻辑推理———集合中元素的特性的理解和应用已知集合Ａ＝｛ａ＋３，（ａ＋１）２，ａ２＋２ａ＋２｝，若１∈Ａ，求实数ａ的值．审：若１∈Ａ，则集合Ａ中的三个元素ａ＋３，（ａ＋１）２，ａ２＋２ａ＋２都可能等于１，所以要分三种情况讨论，分别求出实数ａ的值．联：集合中的元素具有互异性，即求出的实数ａ的值应使三个元素互不相同，所以求出实数ａ的值后要注意检验．解：（１）若ａ＋３＝１，则ａ＝－２，此时Ａ＝｛１，１，２｝，不符合集合中元素的互异性，舍去．（２）若（ａ＋１）２＝１，则ａ＝０或ａ＝－２．①当ａ＝０时，Ａ＝｛３，１，２｝，符合题意；当ａ＝－２时，由（１）知不符合题意，故舍去．（３）若ａ２＋２ａ＋２＝１，则ａ＝－１，此时Ａ＝｛２，０，１｝，符合题意．综上所述，②实数ａ的值为－１或０．思：解题过程中要注意其中隐含条件的应用，如集合中元素应满足确定性、互异性和无序性，特别注意的是互异性，要注意检验．　设－５∈｛ｘ｜ｘ２－ａｘ－５＝０｝，则集合｛ｘ｜ｘ２＋ａｘ＋３＝０｝可用列举法表示为　　　　．答案　｛１，３｝解析　由题意知，－５是方程ｘ２－ａｘ－５＝０的一个根，所以（－５）２＋５ａ－５＝０，解得ａ＝－４，则方程ｘ２＋ａｘ＋３＝０即ｘ２－４ｘ＋３＝０，解得ｘ＝１或ｘ＝３，所以｛ｘ｜ｘ２－４ｘ＋３＝０｝＝｛１，３｝．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋课时达标训练见学用《作业本》１５６页　１．如果集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ＞－１｝，那么（　　）Ａ．－２∈ＡＢ．｛０｝∈ＡＣ．－３∈ＡＤ．０∈Ａ答案　Ｄ　∵ｘ＞－１，∴０∈Ａ，故选Ｄ．２．用列举法表示集合｛ｘ｜ｘ２－２ｘ＋１＝０｝为（　　）Ａ．｛１，１｝Ｂ．｛１｝Ｃ．｛ｘ＝１｝Ｄ．｛ｘ２－２ｘ＋１＝０｝答案　Ｂ　方程ｘ２－２ｘ＋１＝０有两个相等的实数解１，根据集合中元素的互异性知Ｂ正确．３．已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ（ｘ－１）＝０｝，那么下列结论正确的是（　　）Ａ．０∈ＡＢ．１∉ＡＣ．－１∈ＡＤ．０∉Ａ答案　Ａ　∵Ａ＝｛ｘ｜ｘ（ｘ－１）＝０｝＝｛０，１｝，∴０∈Ａ．４．方程组ｘ＋ｙ＝１，ｘ２－ｙ２＝９{的解集是（　　）Ａ．（－５，４）Ｂ．（５，－４）Ｃ．｛（－５，４）｝Ｄ．｛（５，－４）｝答案　Ｄ　解方程组ｘ＋ｙ＝１，ｘ２－ｙ２＝９，{得ｘ＝５，ｙ＝－４，{故解集为｛（５，－４）｝．５．用符号“∈”或“∉”填空：（１）集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ２－ｘ＝０｝，则１　　　　Ａ，－１　　　　Ａ；（２）（１，２）　　　　｛（ｘ，ｙ）｜ｙ＝ｘ＋１｝．答案　（１）∈；∉　（２）∈解析　（１）易知Ａ＝｛０，１｝，故１∈Ａ，－１∉Ａ．（２）将ｘ＝１，ｙ＝２代入ｙ＝ｘ＋１，等式成立．６．集合｛ｘ｜ｘ＝２ｍ－３，ｍ∈Ｎ∗，ｍ＜５｝用列举法表示为　　　　．答案　｛－１，１，３，５｝解析　集合中的元素满足ｘ＝２ｍ－３，ｍ∈Ｎ∗，ｍ＜５，则满足条件的ｘ值：ｍ＝１，ｘ＝－１；ｍ＝２，ｘ＝１；ｍ＝３，ｘ＝３；ｍ＝４，ｘ＝５．则集合为｛－１，１，３，５｝．７．所有能被２整除的正整数的集合，用描述法可表示为　　　　　　　　　　　　．答案　｛ｘ｜ｘ＝２ｎ，ｎ∈Ｎ∗｝解析　正整数中所有的偶数均能被２整除．８．选择适当的方法表示下列集合．（１）由方程ｘ（ｘ２－２ｘ－３）＝０的所有实数根组成的集合；（２）大于２且小于６的有理数；（３）由直线ｙ＝－ｘ＋４上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．解析　（１）方程的实数根为－１，０，３，故该集合可以用列举法表示为｛－１，０，３｝，也可以用描述法表示为｛ｘ｜ｘ（ｘ２－２ｘ－３）＝０｝．（２）由于大于２且小于６的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为｛ｘ∈Ｑ｜２＜ｘ＜６｝．（３）用描述法表示该集合为｛（ｘ，ｙ）｜ｙ＝－ｘ＋４，ｘ∈Ｎ，ｙ∈Ｎ｝．９．（多选）下列命题中正确的是（　　）Ａ．集合｛ｘ∈Ｒ｜ｘ２＝１｝中有两个元素Ｂ．集合｛０｝中没有元素Ｃ．１３∈｛ｘ｜ｘ＜２３｝Ｄ．｛１，２｝与｛２，１｝是同一集合􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋８　　　　　数学　必修　第一册　人教Ａ版答案　ＡＤ　｛ｘ∈Ｒ｜ｘ２＝１｝＝｛１，－１｝；集合｛０｝中，有一个元素，这个元素是０；｛ｘ｜ｘ＜２３｝＝｛ｘ｜ｘ＜１２｝，１３＞１２，故１３∉｛ｘ｜ｘ＜２３｝；根据集合中元素的无序性可知，｛１，２｝与｛２，１｝是同一个集合．所以选ＡＤ．１０．设集合Ａ＝｛１，２，３｝，Ｂ＝｛４，５｝，Ｍ＝｛ｘ｜ｘ＝ａ＋ｂ，ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ｝，则Ｍ中的元素的个数为（　　）Ａ．３Ｂ．４Ｃ．５Ｄ．６答案　Ｂ　当ａ＝１，ｂ＝４时，ｘ＝５；当ａ＝１，ｂ＝５时，ｘ＝６；当ａ＝２，ｂ＝４时，ｘ＝６；当ａ＝２，ｂ＝５时，ｘ＝７；当ａ＝３，ｂ＝４时，ｘ＝７；当ａ＝３，ｂ＝５时，ｘ＝８．由集合中元素的互异性知，Ｍ中共有４个元素．１１．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集．集合Ａ＝｛－１，１，２｝　　　　（填“是”或“不是”）可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集　　　　．答案　不是；１，２，１２{}（答案不唯一）解析　由于２的倒数１２不在集合Ａ中，故集合Ａ不是可倒数集．若集合中有三个元素，则必有一个元素ａ＝１ａ，即ａ＝±１，故可取的集合有１，２，１２{}，－１，３，１３{}等．１２．已知集合Ａ＝｛ｘ｜ａｘ２－３ｘ＋２＝０｝．（１）若集合Ａ中只有一个元素，求实数ａ的值；（２）若集合Ａ中至少有一个元素，求实数ａ的取值范围；（３）若集合Ａ中至多有一个元素，求实数ａ的取值范围．解析　（１）当ａ＝０时，原方程可化为－３ｘ＋２＝０，得ｘ＝２３，符合题意．当ａ≠０时，方程ａｘ２－３ｘ＋２＝０为一元二次方程，由题意得，Δ＝９－８ａ＝０，得ａ＝９８．所以当ａ＝０或ａ＝９８时，集合Ａ中只有一个元素．（２）由题意得，当ａ≠０，Δ＝９－８ａ＞０，{即ａ＜９８且ａ≠０时，方程有两个实根，又由（１）知，当ａ＝０或ａ＝９８时，方程有一个实根．所以ａ的取值范围是ａａ≤９８{}．（３）由（１）知，当ａ＝０或ａ＝９８时，集合Ａ中只有一个元素．若集合Ａ中没有元素，则ａ≠０，Δ＝９－８ａ＜０，{解得ａ＞９８．综上，ａ的取值范围是{ａａ≥９８或ａ＝０}．１３．已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ＝３ｎ＋１，ｎ∈Ｚ｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ＝３ｎ＋２，ｎ∈Ｚ｝，Ｍ＝｛ｘ｜ｘ＝６ｎ＋３｝，ｎ∈Ｚ｝．（１）若ｍ∈Ｍ，则是否存在ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ，使ｍ＝ａ＋ｂ成立？（２）对于任意ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ，是否一定存在ｍ∈Ｍ，使ａ＋ｂ＝ｍ成立？解析　（１）∵ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ，∴分别存在ｎ１、ｎ２∈Ｚ使得ａ＝３ｎ１＋１，ｂ＝３ｎ２＋２，∴ａ＋ｂ＝３（ｎ１＋ｎ２）＋３，若ｍ∈Ｍ，则ｍ＝６ｎ＋３＝３·２ｎ＋３，∴要使ｍ＝ａ＋ｂ，则ｎ１＋ｎ２＝２ｎ，即当ｎ１＋ｎ２为偶数时，存在ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ，使ｍ＝ａ＋ｂ成立．（２）由（１）知，当ｎ１＋ｎ２为奇数时，不存在ｍ∈Ｍ，使ａ＋ｂ＝ｍ成立，∴不一定存在ｍ∈Ｍ，使ａ＋ｂ＝ｍ成立．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１．２　集合间的基本关系课标解读课标要求核心素养１．理解集合之间包含与相等的含义．（重点、难点）２．能识别给定集合的子集．（难点）１．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养．２．通过子集和真子集的求解，培养数学运算素养．见学用６页　　草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑．如果草原上的枣红马组成集合Ａ，草原上的所有马组成集合Ｂ．问题１：集合Ａ中的元素与集合Ｂ中的元素的关系是怎样的？答案　集合Ａ中的元素都是集合Ｂ中的元素．问题２：集合Ａ与集合Ｂ又存在什么关系？　　答案　集合Ａ包含在集合Ｂ中．１．Ｖｅｎｎ图的优点及其表示（１）优点：形象直观．（２）表示：通常用平面上①封闭曲线的②内部代表集合．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第一章　集合与常用逻辑用语９　　　　　　２．子集、真子集、集合相等的相关概念　　思考１：任意两个集合之间是否有包含关系？提示　不一定．如集合Ａ＝｛０，１，２｝，Ｂ＝｛－１，０，１｝，这两个集合之间就没有包含关系．　　符号“∈”与“⊆”的区别：符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　　３．空集（１）定义：不含⑧任何元素的集合叫做空集，记为⑨⌀．（２）规定：空集是任何集合的⑩子集．　　思考２：｛０｝与⌀相等吗？提示　｛０｝表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素０；而⌀中不含有任何元素，故｛０｝≠⌀．　　４．集合间关系的性质（１）任何一个集合都是它本身的子集，即Ａ⊆Ａ．（２）对于集合Ａ，Ｂ，Ｃ，若Ａ⊆Ｂ，且Ｂ⊆Ｃ，则Ａ⊆Ｃ；若Ａ⫋Ｂ，Ｂ⫋Ｃ，则Ａ⫋Ｃ．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋见学用６页探究一　集合间关系的判断　　例１　判断下列各组中集合之间的关系：（１）Ａ＝｛ｘ｜ｘ是１２的约数｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ是３６的约数｝；（２）Ａ＝｛ｘ｜ｘ＝２ｋ－１，ｋ∈Ｎ｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ＝２ｋ＋１，ｋ∈Ｎ｝，Ｃ＝｛ｘ｜ｘ＝４ｋ＋１，ｋ∈Ｎ｝；（３）Ａ＝｛ｘ｜－１＜ｘ＜４｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ＜５｝．解析　（１）若ｘ是１２的约数，则ｘ必是３６的约数，反之不成立，所以Ａ⫋Ｂ．（２）易知集合Ａ＝｛－１，１，３，５，…｝，集合Ｂ＝｛１，３，５，７，…｝，集合Ｃ＝｛１，５，９，…｝．所以Ｃ⫋Ｂ⫋Ａ．（３）易知Ａ中的元素都是Ｂ中的元素，但存在Ｂ中的元素不属于Ａ，如－２∈Ｂ，但－２∉Ａ，故Ａ⫋Ｂ．　　判断集合间关系的方法（１）观察法：一一列举观察．（２）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合间的关系．（３）数形结合法：利用数轴或Ｖｅｎｎ图．提醒：若Ａ⊆Ｂ和Ａ⫋Ｂ同时成立，则Ａ⫋Ｂ更能准确表达集合Ａ，Ｂ之间的关系．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１．下列关系中，正确的个数是（　　）①｛０｝∈｛０，１，２｝；②｛０，１，２｝⊆｛２，１，０｝；③⌀⊆｛０，１，２｝；④⌀⫋｛０｝；⑤｛０，１｝＝｛（０，１）｝；⑥０＝｛０｝．Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４答案　Ｃ　对于①，是集合与集合的关系，应为｛０｝⫋｛０，１，２｝，故①错误；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集，故②正确；对于③，空集是任何集合的子集，故③正确；对于④，｛０｝是含有单元素０的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以⌀⫋｛０｝，故④正确；对于⑤，｛０，１｝是含有两个元素０与１的集合，而｛（０，１）｝是以有序实数对（０，１）为元素的单点集，所以｛０，１｝与｛（０，１）｝不相等，故⑤错误；对于⑥，０与｛０｝是“属于与否”的关系，所以０∈｛０｝，故⑥错误．故正确的个数为３．探究二　求子集、真子集（的个数）　　例２　（１）集合｛ａ，ｂ，ｃ｝的所有子集为　　　　　　　　，其中真子集有　　　　个．（２）写出满足｛３，４｝⫋Ｐ⊆｛０，１，２，３，４｝的所有集合Ｐ．答案　（１）⌀，｛ａ｝，｛ｂ｝，｛ｃ｝，｛ａ，ｂ｝，｛ａ，ｃ｝，｛ｂ，ｃ｝，｛ａ，ｂ，ｃ｝；７解析　（１）集合｛ａ，ｂ，ｃ｝的子集：⌀，｛ａ｝，｛ｂ｝，｛ｃ｝，｛ａ，ｂ｝，｛ａ，ｃ｝，｛ｂ，ｃ｝，｛ａ，ｂ，ｃ｝，其中除｛ａ，ｂ，ｃ｝外，都是｛ａ，ｂ，ｃ｝的真子集，共７个．（２）由题意知，集合Ｐ中一定含有元素３，４，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合Ｐ：｛０，３，４｝，｛１，３，４｝，｛２，３，４｝，｛０，１，３，４｝，｛０，２，３，４｝，｛１，２，３，４｝，｛０，１，２，３，４｝．　　１．求集合子集、真子集个数的３个步骤２．与子集、真子集个数有关的４个结论假设集合Ａ中含有ｎ个元素，则（１）Ａ的子集有２ｎ个；（２）Ａ的非空子集有２ｎ－１个；（３）Ａ的真子集有２ｎ－１个；（４）Ａ的非空真子集有２ｎ－２个．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋２．已知集合Ａ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ＋ｙ＝２，ｘ，ｙ∈Ｎ｝，试写出Ａ的所有子集．解析　因为Ａ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ＋ｙ＝２，ｘ，ｙ∈Ｎ｝，所以Ａ＝｛（０，２），（１，１），（２，０）｝．所以Ａ的所有子集：⌀，｛（０，２）｝，｛（１，１）｝，｛（２，０）｝，｛（０，２），（１，１）｝，｛（０，２），（２，０）｝，｛（１，１），（２，０）｝，｛（０，２），（１，１），（２，０）｝．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１０　　　　数学　必修　第一册　人教Ａ版探究三　集合间关系的应用　　例３　（易错题）已知集合Ａ＝｛ｘ｜－２≤ｘ≤５｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｍ＋１≤ｘ≤２ｍ－１｝，若Ｂ⫋Ａ，求实数ｍ的取值范围．易错辨析：解答本题易出现的失误为漏掉讨论Ｂ＝⌀的情况．事实上，当Ｂ⫋Ａ时，Ｂ可能为空集．解析　由题意可知，①当Ｂ≠⌀时，如图所示．∴ｍ＋１≥－２，２ｍ－１＜５，２ｍ－１≥ｍ＋１{或ｍ＋１＞－２，２ｍ－１≤５，２ｍ－１≥ｍ＋１，{解这两个不等式组，得２≤ｍ≤３．②当Ｂ＝⌀时，由ｍ＋１＞２ｍ－１，得ｍ＜２．综上可得，ｍ的取值范围是｛ｍ｜ｍ≤３｝．　　利用集合的关系求参数问题（１）利用集合的关系求参数的取值范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合（含参数），另一个为静集合（具体的），解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．（２）空集是任何集合的子集，因此在解Ａ⊆Ｂ（Ｂ≠⌀）的含参数的问题时，要注意讨论Ａ＝⌀和Ａ≠⌀两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面的现象．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋３．（１）（变条件）若本例中的条件“Ａ＝｛ｘ｜－２≤ｘ≤５｝”改为“Ａ＝｛ｘ｜－２＜ｘ＜５｝”，其他条件不变，求ｍ的取值范围；（２）（变条件）若本例中的条件“Ｂ⫋Ａ”改为“Ａ⊆Ｂ”，其他条件不变，求ｍ的取值范围．解析　（１）由题意可知，①当Ｂ＝⌀时，由ｍ＋１＞２ｍ－１，得ｍ＜２．②当Ｂ≠⌀时，如图所示．∴ｍ＋１＞－２，２ｍ－１＜５，ｍ＋１≤２ｍ－１，{解得ｍ＞－３，ｍ＜３，ｍ≥２，{即２≤ｍ＜３．综上可得，ｍ的取值范围是｛ｍ｜ｍ＜３｝．（２）当Ａ⊆Ｂ时，如图所示，此时Ｂ≠⌀．∴２ｍ－１＞ｍ＋１，ｍ＋１≤－２，２ｍ－１≥５，{即ｍ＞２，ｍ≤－３，ｍ≥３，{∴ｍ不存在，即ｍ的取值范围是⌀．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋见学用８页１．已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ２－１＝０｝，则有（　　）Ａ．１⊆ＡＢ．０⊆ＡＣ．⌀⫋ＡＤ．｛０｝⫋Ａ答案　Ｃ　由已知得，Ａ＝｛１，－１｝，所以选项Ａ，Ｂ，Ｄ都错误；因为⌀是任何非空集合的真子集，所以Ｃ正确．故选Ｃ．２．下列四个集合中，是空集的是（　　）Ａ．｛０｝Ｂ．｛ｘ｜ｘ＞８，且ｘ＜５｝Ｃ．｛ｘ∈Ｎ｜ｘ２－１＝０｝Ｄ．｛ｘ｜ｘ＞４｝答案　Ｂ　选项Ａ中有元素０，选项Ｃ中有元素１，选项Ｄ中含有无数个元素，例如５，而选项Ｂ中无元素，故选Ｂ．３．集合Ａ＝｛－１，０，１｝，Ａ的所有子集中，含有元素０的子集共有　　（　　）Ａ．２个Ｂ．４个Ｃ．６个Ｄ．８个答案　Ｂ　根据题意，在集合Ａ的所有子集中，含有元素０的子集有｛０｝，｛０，１｝，｛０，－１｝，｛－１，０，１｝，共４个，故选Ｂ．４．已知集合Ａ＝｛－１，３，ｍ｝，Ｂ＝｛３，４｝，若Ｂ⊆Ａ，则实数ｍ＝　　　　．答案　４解析　∵Ｂ⊆Ａ，∴元素３，４必为Ａ中元素，∴ｍ＝４．５．已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ－７≥２｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ≥５｝，试判断集合Ａ，Ｂ的关系．解析　∵Ａ＝｛ｘ｜ｘ－７≥２｝＝｛ｘ｜ｘ≥９｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ≥５｝，∴Ａ⫋Ｂ．数学抽象———利用分类讨论思想解决集合间的关系已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ２－４ｘ＋３＝０｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｍｘ－３＝０｝，且Ｂ⫋Ａ，求实数ｍ的所有取值组成的集合．