随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征【基本要求】理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算方法；掌握计算随机变量函数的数学期望方法；掌握二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差；了解协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法。【本章重点】数学期望与方差的概念、性质与计算方法；求随机变量函数的数学期望的方法；二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差。【本章难点】数学期望与方差的概念计算方法；随机变量函数的数学期望的计算方法；协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法【学时分配】7-9学时分布函数:——全面描述随机变量X取值的统计规律。但是，在实际问题中分布函数的确定并不是一件容易的事，而且有时我们也不需要知道分布函数，只需知道随机变量的某些数字特征就够了。例如：   评价粮食产量，只关注平均产量；    研究水稻品种优劣，只关注每株平均粒数；评价某班成绩，只关注平均分数、偏离程度；    评价射击水平，只关注平均命中环数、偏离程度。描述变量的平均值的量——数学期望，描述变量的离散程度的量——方差。§4.1数学期望教学目的：使学生理解掌握随机变量的数学期望的实际意义及概念，会计算具体分布的数学期望；使学生理解掌握随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。教学重点、难点：数学期望的概念及其计算；随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。教学过程：(一) 数学期望的概念先看一个例子:一射手进行打靶练习,规定射入e2区域得2分,射入区域得1分,脱靶即射入区域得0分.设射手一次射击的得分数X是一个e1e0随机变量，而且X的分布律为P{X=k}=,k=0,1,2现射击N次，其中得0分次，得1分次，得2分次，++=N.则他射击N次得分的总和为0+1+2,他平均一次射击的得分数为，因为当N充分大时,频率。所以当N充分大时,平均数。显然,数值完全由随机变量X的概率分布确定,而与试验无关，它反映了平均数的大小。定义:1.离散型随机变量的数学期望:设离散型随机变量X的分布律为，…若级数绝对收敛，则称级数为随机变量X的数学期望，记为,即＝。2.连续型随机变量的数学期望:设连续型随机变量X的密度函数为，若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量X的数学期望，记为。即＝。数学期望简称期望，又称为均值。(二) 数学期望的计算关键是：求出随机变量的分布律或者密度函数。1、离散型——若 则＝（绝对收敛）2、连续型——若X～密度函数，则＝ （绝对收敛）甲、乙两个工人，生产同一种产品，在相同条件下，生产100件产品所出的废品数分别用X、Y 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，它们的概率分布如下：X01230.70.10.10.1Y01230.50.30.20问这两个工人谁的技术好?解:＝,＝甲工人生产出废品的均值较小，甲的技术好。例2有5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命Xk(k=1,2，3，4，5)服从同一指数分布，其概率密度为，，(1)若将这5个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命（以小时记）N的数学期望。(2)若将这5个电子装置并联连接组成整机，求整机寿命（以小时记）M的数学期望。分析:5个电子装置串联，整机寿命，并联，整机寿命，要求N，M的数学期望，关键求N,M的密度函数解: (1)的分布函数为。因为5个电子装置串联，所以整机寿命的分布函数为，因而N的概率密度为，于是N的数学期望为,。(2)因为5个电子装置并联，所以整机寿命的分布函数为，因而N的概率密度为，于是N的数学期望为。我们可以看到，即5个电子装置并联联接工作的平均寿命是串联联接工作的平均寿命的11.4倍。例3按规定，某车站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一辆客车到站，但到站的时间是随机的，且两者到站的时间相互独立。其规律为到站时刻8:108:308:509:109:309:50概率1/63/62/6一旅客8:20到站，求他候车时间的数学期望。 分析  ：     第一车8:30到站10分钟,第一车8:50到站30分钟解 设旅客候车的时间为X(以分记)，则X的的可取值为10、30、50、70、90.且P{X=10}=P“第一班车8：30到站”=.P{X=30}=P“第一班车8：50到站”=.P{X=50}=P“第一班车8：10到站，且第二班车9：10到站”=P{X=70}=P“第一班车8：10到站，且第二班车9：30到站”= P{X=90}=P“第一班车8：10到站，且第二班车9：50到站”=即X的分布列为X1030507090Pk X的数学期望为 所以若旅客8:20到站，则他候车时间的数学期望为27.22(分)。 例4一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验N个人的血，可以用两种方法进行。（1）将每个人的血分别去验，这就需验N次。（2）按k个人一组进行分组.把k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液显阴性反应，就说明k个人的血都显阴性反应，这样，这k个人的血就只需验一次。若显阳性，则再将对这k个人的血液分别进行化验，这样，这k个人的血总共要化验k+1次,假设每个人化验显阳性的概率为p，且这些人的试验反应是相互独立的。试说明当p较小时，选取适当的k，按第二种方法可以减少化验的次数。并说明k取什么值时最适宜。解 若按第二种方法，以k个人为一组进行化验，记1-p=q，设组内每个人化验的次数为X，则X的可取值为.由于各人是否显阴性是相互独立的，所以：P{}=P“k个人的混合血显阴性”=P“k个人的血都显阴性”=P{}=P（k个人的混合血显阳性）=P（k个人的混合血不阴性）=故每个人化验次数X的期望值为：    当时，在普查中平均每人的化验次数就小于1，从而第二种方法可以减少化验的次数。显然，p愈小这种方法愈有利。当p已知时，可选定使达最大即达最小，以个人为一组进行化验，将能最大限度地减少化验次数。例如p=0.1即q=0.9时可用赋值法求函数的最大值：  k 2     3     4     5     6     7   … 0.31  0.39   0.40  0.39   0.37   0.33 …可见，当k=4时，函数有最大值0.4，说明以4个人为一组进行化验能减少40%的工作量。（三）随机变量函数的数学期望1、已知X的分布，求Y=g(X)的数学期望E(Y)我们经常需要求随机变量的函数的数学期望，例如飞机机翼受到压力W=kV2（V是风速，k>0是常数）的作用，需要求W的数学期望，这里W是随机变量V的函数。这时，可以通过下面的定理来求W的数学期望。定理设Y是随机变量X的函数，（是连续函数）X是离散型随机变量，它的分布律为，＝1，2，3，…，若绝对收敛，则有X是连续型随机变量，它的概率密度为，若绝对收敛，则有证明：设X是连续型随机变量，且y=g(x)满足第二章§5中定理的条件。由第二章§5中的（5.2）式知道随机变量Y=g(X)的概率密度为于是，E（Y）=当恒>0时，E（Y）=当恒<0时，E（Y）=综合上两式，（1.4）得证。上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。给出如下结论：设Z是二维随机变量的函数,其中是二元连续函数，（1）设是离散型，其分布律为，＝1，2，3，…，则当级数绝对收敛时，有设是连续型，密度函数为，则当积分绝对收敛时，有例5设风速V在（0，a）上服从均匀分布，即具有概率密度又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数：（V是风速，k>0是常数），求W的数学期望。解：由（1.4）式有E（W）=例6设二维随机变量（X,Y）的概率密度为，试求XY的数学期望。解：例7按季节出售的某种应时商品，每售出一公斤获利润b元。如到季末尚有剩余商品，则每公斤净亏损元.设某商店在季度内这种商品的销售量X(以公斤计)是一随机变量，在区间(s1，s2)上服从均匀分布。为使商店所获得利润的数学期望最大，问商店应进多少货?解：以s（公斤）表示进货数，易知应取，进货s所得的利润记为，则是随机变量，且有X的概率密度为，由于=，令=0，得，即当（公斤）时获得利润的数学期望最大。（四）数学期望的性质现在来证明数学期望的几个重要性质（以下设所遇到的随机变量的数学期望存在）设是常数，则有。设是一个随机变量，是常数，则有3设、是两个随机变量，则有这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况。设、是相互独立的随机变量，则有这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况。证：证3和4，设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)，其边缘概率密度为fX(x),fY(y)，E(X+Y)==E（X）+E（Y），3得证。又若X,Y相互独立，E（XY）===，4得证例11一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车。如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求E（X）（设每位旅客在各个车站下车是等可能的并设各旅客是否下车相互独立）。解：引入随机变量i=1,2,…，10易知X=X1+X2+……+X10，现在来求E（X）按题意，任一旅客在第i站不下车的概率为，因此20位旅客都不在第i站下车的概率为，在第i站有人下车的概率为1—，也就是P{X=0}=，P{Xi=1}=1—,i=1,2,…，10由此，E（Xi）=1—,i=1,2,…，10进而E（X）=E（X1+X2+……+X10）=E（X1）+E（X2）+……+E（X10）=10[1—]=8.784（次）本题是将X分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望的，这种处理方法具有一定的普遍意义。例12设一电路中电流I（A）与电阻R（Ω）是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为：试求电压V=IR的均值。解E（V）=E（IR）=E（I）E（R）==。（五）一些常用分布的数学期望计算可得一些常用分布的数学期望1．0—1分布X011－二项分布泊松分布，则计算：均匀分布X～U[]，则指数分布X服从参数为的指数分布，则。计算如下：正态分布X～这里计算了一些，没计算的由学生自己计算。（六）小结描述变量的平均值的量—数学期望1、离散型——若X～则＝ （绝对收敛）2、连续型——若X～密度函数 ，则＝（绝对收敛）数学期望描述随机变量取值的平均大小，要掌握数学期望的性质，会计算数学期望，掌握几种常用分布的数学期望。 (七)课堂练习P1394、8、14、15。布置作业  P138 1、2、3，9、10§4、2方差教学目的：使学生理解掌握随机变量的方差概念及性质，会计算具体分布的方差，熟记常见分布的方差;使学生理解掌握方差的性质，能熟练计算具体分布的方差，进一步熟记常见分布的方差。教学重点、难点：方差的性质、具体分布的方差的计算;随机变量的方差概念及性质、具体分布的方差的计算。教学过程：上节课，我们研究了随即变量的重要数字特征——数学期望。它描述了随机变量一切可能取值的平均水平。但在一些实际问题中，仅知道平均值是不够的，因为它有很大的局限性，还不能够完全反映问题的实质。例如，某厂生产两类手表，甲类手表日走时误差均匀分布在-10~10秒之间；乙类手表日走时误差均匀分布在-20~20秒之间，易知其数学期望均为0，即两类手表的日走时误差平均来说都是0。所以由此并不能比较出哪类手表走得好，但我们从直觉上易得出甲类手表比乙类手表走得较准，这是由于甲的日走时误差与其平均值偏离度较小，质量稳定。由此可见，我们有必要研究随机变量取值与其数学期望值的偏离程度——即方差。（一）  方差的概念1、定义 设是一个随机变量，若存在，则称为的方差，记为或。即。并称为的标准差或均方差。随机变量的方差表达了的取值与其均值的偏离程度。按此定义，若是离散型随机变量，分布律为…,则若是连续型随机变量，密度函数为，则方差常用下面公式计算：事实上设随机变量具有数学期望，方差，记，则解;称为的标准化变量。注意：这里不一定是正态随机变量。对正态随机变量，结论也成立。例2   设随机变量X具有（0-1）分布，其分布律为：P{X=0}=1-p,P{X=1}=p，求D（X）。解 :E（X）=0·(1-P）+1·p=p ，E（X2）=02·(1-p)+12·p=pD（X）=E（X2）-[E（X）]2=p-p2=p(1-p)例3 设X~π(λ)，求D（X）。解:X的分布律为：，k=1,2,…，λ>0.上节例6已算得E（X）=λ，而E(X2)=E[X(X-1)+X]=E[X(x-1)]+E(X)==所以方差：D（X）=E（X）-[E（X）]2=λ由此可知，泊松分布的数学期望与方差相等，都等于参数λ，因为泊松分布只含一个参数λ，只要知道它的数学期望或方差就能完全确定它的分布了。例4 设X~U（a,b），求D（X）。     解:X的概率密度为：  而，方差为例5 设随机变量X服从指数分布，其概率密度为 其中θ>0，求E（X），D（X）解 : 于是 即有   ， （二）  方差的几个重要性质：10 设C是常数，则D（C）=0。20 设X是随机变量，C是常数，则有：D（CX）=C2D（X）30 设X，Y是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y)).特别，若X，Y相互独立，则有：D（X+Y）=D（X）+D（Y）这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。40 设D（X）=0的充要条件是X以概率1取常数C，即P{X=C}=1，显然这里C=E(X).证明10 D(C)=E{[C-E(C)]2}=020 D(CX)=E{[CX-E(CX)]2}=C2E{[X-E(X)]2}=C2D(X).30 D(X+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]2}=E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))]2}         =E{(X-E(X))2}+E{(Y-E(Y))2}+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}         =D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}上式右端第三项:2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=2E{XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)}=2{E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)}=2{E(XY)-E(X)E(Y)}若X,Y相互独立,由数学期望的性质40知道上式右端为0,于是D(X+Y)=D(X)+D(Y).例6 设X~b(n,p)，求E(X),D(X).解 ：由二项分布的定义知，随机变量X是n重伯努利试验中事件A发生的次数，Xk01pk1-pp且在每次试验中A发生的概率为p，引入随机变量：易知  X=X1+X2+…+Xn     (2.7)由于Xk只依赖于第k次试验，而各次试验相互独立，于是X1，X2，…，Xn相互独立，又知Xk，k=1,2,……，n服从同一（0-1）分布： (2.7)表明以n,p为参数的二项分布布变量，可分解成为n个相互独立且都服从以p为参数的（0-1）分布的随机变量之和。由例2知E(Xk)=p,D(Xk)=p(1-p),k=1,2,…，n，故知又由于X1，X2，…，Xn相互独立，得例7 ：设X~N（μ，σ2），求E（X），D（X）。解：先求标准正态变量：的数学期望和方差。Z的概率密度为因X=μ+σZ，即得E（X）=E（μ+σZ）=μ；D（X）=D（μ+σZ）=E{[μ+σZ-E（μ+σZ）]2}=E（σ2Z2）=σ2E（Z2）=σ2D（Z）=σ2这就是说，正态分布的概率密度中的两个参数μ和σ分别就是该分布的数学期望和均方差，因而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定。再者，由上一章§5中例1知道，若XI~N（μ,σi2），i=1,2,…，n,且它们它们独立，则它们的母性组合：C1X1+C2X2+…+CnXn（C1，C2，…，Cn是不全为0的常差的性质知道：数）仍然服从正态分布，于是由数学期望和方差的性质知道：…～这是一个重要的结果。例8：设活塞的直径（以cm计），气缸的直径，、相互独立。任取一只活塞，任取一只气缸，求活塞能装入气缸的概率。解按题意需求由于故有（三）切比雪夫（Chebyshev）不等式下面介绍一个重要的不等式.定理 设随机变量X具有数学期望E(X)=,方差D(X)=，则对于任意正数，不等式  成立。这一不等式称为切比雪夫（Chebyshev）不等式。证 ：就连续型随机变量的情况来证明。设X的概率密度为f(x)，则有（如下图） 切比雪夫（Chebyshev）不等式也可以写成如下的形式：   （2.10）这个不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下事件{|X-μ|<ε}概率的下限的估计。例如，在（2.10）式中分别取ε=3σ，4σ得到：P{|X-|<3}≥0.8889，P{|X-|<4}≥0.9375在书末附表1中列出了多种常用的随机变量的数学期望和方差，供读者查用。(四)小结：方差描述随机变量与它自己的数学期望的偏离程度；我们常用公式计算方差,注意和的区别。记住几种重要分布的方差（1）0——1分布（2）二项分布（3）泊松分布（4）均匀分布（5）指数分布（6）正态分布(五)课堂练习：P140 16、17、19，P141 21、23课后作业：P141 18、20，22§4、3 协方差及相关系数教学目的：使学生理解掌握协方差及相关系数的定义及性质，熟记相关系数的含义。教学重点、难点：协方差及相关系数的定义及性质。教学过程：对于二维随机变量，我们除了讨论与的数学期望与方差外，还需要讨论描述与之间相互关系的数字特征——协方差与相关系数。定义称为随机变量与的协方差。记为,即＝而称为随机变量与的相关系数。协方差的性质（1）＝,（2）我们常用这一式子计算协方差。（3）（4）相关系数的性质（1）（2）的充要条件是，存在常数，使的大小表征着与的线性相关程度。当较大时，则与的线性相关程度较好；当较小时，则与的线性相关程度较差。当时，称与不相关。当与相互独立时，与不相关。反之，若与不相关，与却不一定相互独立,该性质说明，独立性是比不相关更为严格的条件。独立性反映与之间不存在任何关系，而不相关只是就线性关系而言的，即使X与Y不相关，它们之间也还是可能存在函数关系的。相关系数只是X与Y间线性相关程度的一种量度。关于不相关有如下定理：对于X,Y，下列等价：①E(XY)=E(X)E(Y)②D(X+Y)=D(X)+D(Y)③cov(X,Y)=0④X,Y不相关，即=0设（X，Y）的分布律为Y       X-2    -1    1    2P{Y=i}140    1/4   1/4   01/4   0     0  1/41/21/2P{X=i}1/4   1/4   1/4 1/41易知，E（X）=0，E（Y）=5/2，E（XY）=0，于是=0，X，Y不相关。这表示X，Y不存在线性关系。但，P{X=-2，Y=1}=0≠P{X=-2}P{Y=1}，知X，Y不是相互独立的。事实上，X和Y具有关系：Y=X2，Y的值完全可由X的值所确定。设连续型随机变量的概率密度为，求。解又所以课堂练习P141 24、26课后作业P141 28、29§4、4矩、协方差矩阵教学目的：使学生理解矩、协方差矩阵的定义及n维正态变量的性质。教学重点、难点：矩、协方差矩阵的定义及n维正态变量的性质。教学过程：（一）  矩设X,Y是随机变量（1）若E(Xk),k=1,2…，存在，则称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。（2）若E{[X-E(X)]k},k=2,3…，存在，则称它为X的k阶中心矩。（3）若E(XkYl),k,l=1,2…，存在，则称它为X和Y的k+l阶混合矩。（4）若E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]l},k,l=1,2…，存在，则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。的一阶原点矩即为数学期望，二阶中心矩即为方差；的二阶混合中心矩即为协方差。n维随机变量的协方差矩阵(covariancematrix)（1）二维随机变量（X1,X2）有四个二阶中心矩（设它们都存在），分别记为=E{[X1-E(X1)]2},           =E{[X1-E(X1)][X2-E(X2)]}=E{[X2-E(X2)][X1-E(X1)]}, =E{[X2-E(X2)]2}.则称矩阵C=为（X1,X2）的协方差矩阵。（2）设n维随机变量（X1,X2,…,Xn）的二阶混合中心矩: =Cov(Xi,Xj)=E{[Xi-E(Xi)][Yj-E(Yj)]},i,j=1,2,…,n 都存在,则称矩阵C=为（X1,X2,…,Xn）的协方差矩阵。显然C是一个对称矩阵。(二) n维正态随机变量的概率密度（1）   二维正态随机变量（X1,X2）的概率密度因为所以（X，Y）的协方差矩阵C==记X=,则(X，Y)的概率密度可写成(2)n维正态随机变量（X1,X2,…,Xn）的概率密度记X=,,n维正态随机变量（X1,X2,…,Xn）的概率密度定义为:其中C是X1,X2,…,Xn）的协方差矩阵。(三) n维正态随机变量的性质（1）   n维正态变量（X1,X2,…,Xn）的每一个分量Xi,i=1,2,…,n都是正态分量；反之，若X1,X2,…,Xn都是正态分量，且相互独立，则（X1,X2,…,Xn）是n维正态变量。（2）   n维随机变量（X1,X2,…,Xn）服从正态分布的充要条件是X1,X2,…,Xn的任意的线性组合k1X1+k2X2+…+knXn服从一维正态分布（其中k1,k2,…,kn不全为零）。（3）   若（X1,X2,…,Xn）服从n维正态分布，设Y1,Y2,…,Yk是Xj(j=1,2,…,n)的线性函数，则（Y1,Y2,…,Yk）也服从多维正态分布.（4）   设（X1,X2,…,Xn）服从n维正态分布，则“相互独立与“X1,X2,…,Xn两两不相关”是等价的。课堂练习:P141 31、33课后作业：P141 30、32