南京航空航天大学《高等数学》107斯托克斯公式斯托克斯公式环流量与旋度一、斯托克斯(stokes)公式定理设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线,∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面,Γ的正向与∑的侧符合右手规则,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有公式∂R∂Q∂P∂R∂Q∂P()()()∫∫−dydz+−dzdx+−dxdyΣ∂y∂z∂z∂x∂x∂yPdx=∫+Qdy+Rdz斯托克斯公式Γ n右手法则∑Γ是有向曲面Σ的Γ正向边界曲线z证明如图 n∑:z=f(x,y)设Σ与平行于z轴的直线相交不...
斯托克斯公式环流量与旋度一、斯托克斯(stokes)公式定理设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线,∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面,Γ的正向与∑的侧符合右手规则,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有公式∂R∂Q∂P∂R∂Q∂P()()()∫∫−dydz+−dzdx+−dxdyΣ∂y∂z∂z∂x∂x∂yPdx=∫+Qdy+Rdz斯托克斯公式Γ n右手法则∑Γ是有向曲面Σ的Γ正向边界曲线z证明如图 n∑:z=f(x,y)设Σ与平行于z轴的直线相交不多于一点,并Σ取Γ上侧,有向曲线C为Σ的正y向边界曲线Γ在xoy的投oDxy影.且所围区域D.xyxC便于记忆形式dydzdzdxdxdy∂∂∂Pdx=+Qdy+Rdz∫∫∫ΓΣx∂∂y∂zPQR另一种形式cosαβcosγcos∂∂∂dS=Pdx+Qdy+Rdz∫∫∫ΓΣx∂∂y∂zPQR {cos其中n=,αcosβ,γcos}Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.(当Σ是xoy面的平面闭区域时)斯托克斯公式特殊情形格林公式例1计算曲线积分zdx+xdy+,ydz∫Γ其中Γ是平面x+y+z1=被三坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.z1解按斯托克斯公式,有nzdx+xdy+ydz∫Γ0yDxy1=∫∫dydz+dzdx+dxdy1Σx 1∵n={cosα,cosβ,cosγ}={1,1,1}3zdx+xdy+ydz∫ΓD如图dydz=∫∫+dzdx+dxdyxyΣy1=∫∫3dS=3∫∫dσ13ΣDxyD3xyzdx+xdy+=ydzx∫Γ2o1例2计算曲线积分yz()()()−2dx2+z2−x2dy+2x2−ydz∫Γ3其中Γ是平面x+y+z=截立方体:0≤x≤,120≤y≤1,0≤z≤1的表面所得的截痕,若从ox轴的正向看去,取逆时针方向. zn3解取Σ为平面x+y+z=Σ2的上侧被Γ所围成的部分.Γoy 1则n{=1,1,1}x31cos即α=βcosγ=cos=,31113333x+y=∂∂∂D2∴I=∫∫dSxyx∂∂y∂z1Σx+y=y2−z2z2−x2x2−2y243=−x∫∫()y+z+dS(在∵Σx上+y+z)=3Σ2439=−⋅∫∫dS=2−3∫∫dxdy3=−.32ΣDxy2z例y3()()()−dx+x−zdy+x−ydz∫c⎧x2+y2=1其中：c:⎨从正z轴方向x⎩−y+z2=往负z轴方向看是顺时针.解法１将曲线c参数化=x令cos=θ,yθsin=z−,2x+2ycos=θ−θsin+θ:π2→0zy()()()−dx+x−zdy+x−ydz∫c0[2=(cos−θθsin+θθ)θ+3π2cos2−d=sin−]2∫2π解法2化空间曲线积分为平面曲线积分记c为cxoy在平面上的投影，则zy()()()−dx+x−zdy+x−ydz∫c=[(x−2y+)y−dx]+[x−(2x−y+)]dy∫c~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+(x−y)d(2−x+y)~~~~~~~~~~=(2x−2y+dx)+(3x−y−2)dy∫cGreen公式=−(∫∫3−1dxdy)=π−2x2+y2≤1解法3用stokes公式S取x:−y+z2=上以为边界的有限部分。 L其法向量与z轴的正向夹角为钝角.Dx：2+y2为≤1S在面上的投影，则xoyzy()()()−∫dx+x−zdy+x−ydzLdydzdzdxdxdy∂∂∂=∫∫=∫∫2dxdySx∂∂y∂zSz−yx−zx−y=∫∫−2dxdy=π2−D二、环流量与旋度1.环流量的定义:设向量场 Axyz(,,)(,,)(,,)(,,)Pxyzi=+Qxyzj+Rxyzk 则沿场A中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分 AΓd=s∫⋅Pdx=∫+Qdy+RdzC C称为向量场AC沿曲线按所取方向的环流量.利用stokes公式,有 ijk ∂∂∂ 环流量Γ=A⋅ds=d⋅S∫C∫∫Σx∂∂y∂zPQR2.旋度的定义: ijk∂∂∂ 称向量为向量场的旋度().rotAx∂∂y∂zPQR ijk ∂∂∂旋度rot=Ax∂∂y∂zPQR∂R∂Q ∂P∂R ∂Q∂P ()()().=−i+−j+−k∂y∂z∂z∂x∂x∂y斯托克斯公式的又一种形式∂R∂Q∂P∂R∂Q∂P[(∫∫)cos−α(+−)cosβ+−(γdS)cos]Σ∂y∂z∂z∂x∂x∂yP=(∫cosλ+Qμcosν+Rcos)dSΓ其中 Σ的单位法向量为ncos=αi+cosβj+cosγk, Γ的单位切向量为tcos=λi+cosμj+cosνk斯托克斯公式的向量形式 rotA⋅ndS=⋅rotA或t()AdsndS=tAdS∫∫∫Γ∫∫∫ΓΣΣ其中 rot()An=rot⋅An∂R∂Q∂P∂R∂Q∂P()=cos−(α+−)cosβ+−(γ)cos∂y∂z∂z∂x∂x∂y At=An⋅=cosPλ+cosQμ+Rcosν ∴环流量Γrot=Ad⋅s=Ads∫∫∫ΓtΣStokes公式的物理解释: 向量场 A沿有向闭曲线Γ的环流量等于向量场A的旋度场通过Γ所张的曲面的通量.(Γ的正向与Σ的侧符合右手法则)小结cosαβcosγcos∂∂∂斯托克斯公式∫∫dS=Σx∂∂y∂zPQRdydzdzdxdxdy∂∂∂Pdx=+Qdy+Rdz∫∫∫ΓΣx∂∂y∂zPQR rot=An⋅dS=⋅Atds∫∫∫ΓΣ斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式的物理意义
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