圆锥曲线结论

第PAGE13页数学椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭圆必背的经典结论点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.椭圆(＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点三角形的面积为.椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,(,).设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴的一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即.若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.14.椭圆的光学特性.双曲线点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.若在双曲线（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(,当在右支上时，,.当在左支上时，,设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）椭圆椭圆会推导的经典结论椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.过椭圆(a＞0,b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.若M为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点，F1、F2是焦点,,，则.设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记,,，则有.若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.]P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.椭圆与直线有公共点的充要条件是.已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.已知椭圆（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则.设P点是椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2).设A、B是椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，,,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2).(3).已知椭圆（a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）2椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.3椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结）双曲线双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,,，则（或）.设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记,,，则有.若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.已知双曲线（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则或.设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2).设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，,,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).(2).(3).已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.有关抛物线焦点弦问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的探讨过抛物线(p>0)的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于A、B两点结论1：结论2：若直线L的倾斜角为，则弦长证:(1)若时,直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径,(2)若时,设直线L的方程为：即代入抛物线方程得由韦达定理由弦长公式得结论3：过焦点的弦中通径长最小的最小值为,即过焦点的弦长中通径长最短.结论4：结论5：(1)(2)x1x2=证结论6：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AA1，过B点作准线过M点作准线的垂线MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知故结论得证结论7：连接A1F、B1F则A1FB1F同理A1FB1F结论8：（1）AM1BM1（2）M1FAB（3）（4）设AM1与A1F相交于H，M1B与FB1相交于Q则M1，Q，F，H四点共圆（5）证：由结论（6）知M1在以AB为直径的圆上AM1BM1为直角三角形，M1是斜边A1B1的中点M1FABAM1BM1所以M1，Q，F,H四点共圆，结论9：（1）O、B1三点共线（2）B，O，A1三点共线（3）设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于X轴（4）设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行于X轴证：因为，而所以所以三点共线。同理可得（2）（3）（4）结论10：证：过A点作AR垂直X轴于点R，过B点作BS垂直X轴于点S，设准线与轴交点为E,则同理可得结论11：(4)x1x2=假设深化1：性质5中，把弦AB过焦点改为AB过对称轴上一点E（a,0），则有．证：设AB方程为my=x-a，代入．得：，∴．深化2：焦点弦AB不垂直于x轴，AB的中垂线交x轴于点R，则　　证明：设AB的倾斜角为a，直线AB的方程为：，　　代入得：，　　即：．　　由性质1得，又设AB的中点为M，则，　　∴，∴．总结：基础回顾1.以AB为直径的圆与准线相切；;;;;;;A、O、三点共线；B、O、三点共线；；（定值）；；；垂直平分；垂直平分；；；；；;;.切线方程高考资源网www.ks5u.com性质深究一)焦点弦与切线过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论1：交点在准线上当弦轴时，则点P的坐标为在准线上．结论2切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．2、上述命题的逆命题是否成立？结论4过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点．结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．3、AB是抛物线（p＞0）焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，，，过A，B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M．则有结论6PA⊥PB．结论7PF⊥AB．结论8M平分PQ．结论9PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA．结论10结论11二)非焦点弦与切线思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时，也有与上述结论类似结果：结论12①，结论13PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA．结论14结论15点M平分PQ结论161．2．标准方程：3．4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.5．PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.9．椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.10．若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.11．若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.12．AB是椭圆的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则.13．若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.14．若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.15．若PQ是椭圆（a＞b＞0）上对中心张直角的弦，则.16．若椭圆（a＞b＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为,则(1) ;(2) .17．给定椭圆：（a＞b＞0）, ：,则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M(.(ii)对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点.18．设为椭圆（或圆）C: (a＞0,.b＞0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦P0P1,P0P2斜率存在，记为k1,k 2, 则直线P1P2通过定点的充要条件是.19．过椭圆 (a＞0,b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.20．椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为， .21．若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,F 2是焦点, , ，则.22．椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,( , ).23．若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.24．P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.25．椭圆（a＞b＞0）上存在两点关于直线：对称的充要条件是.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P是椭圆（a＞b＞0）上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是.29．设A,B为椭圆上两点，其直线AB与椭圆相交于,则.30．在椭圆中，定长为2m（o＜m≤a）的弦中点轨迹方程为,其中,当时, .31．设S为椭圆（a＞b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动，记|AB|=，是AB中点，则当时，有,);当时，有,.32．椭圆与直线有公共点的充要条件是.33．椭圆与直线有公共点的充要条件是.34．设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.35．经过椭圆（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2，则.36．已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.37．MN是经过椭圆（a＞b＞0）过焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦，则.38．MN是经过椭圆（a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦，则.39．设椭圆（a＞b＞0）,M(m,o) 或(o,m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1,A2为对称轴上的两顶点)的交点N在直线：(或)上.40．设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.41．过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.42．设椭圆方程,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线：的共轭直线上,而且.43．设A、B、C、D为椭圆上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则.44．已知椭圆（a＞b＞0）,点P为其上一点F1,F 2为椭圆的焦点，的外（内）角平分线为，作F1、F2分别垂直于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是().45．设△ABC内接于椭圆，且AB为的直径，为AB的共轭直径所在的直线，分别交直线AC、BC于E和F，又D为上一点，则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF的中点.46．过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.47．设A（x1 ,y1）是椭圆（a＞b＞0）上任一点，过A作一条斜率为的直线L，又设d是原点到直线L的距离, 分别是A到椭圆两焦点的距离，则.48．已知椭圆（ a＞b＞0）和（ ），一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.50．设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .51．设过椭圆的长轴上一点B（m,o）作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN：于M，N两点,则.52．L是经过椭圆（ a＞b＞0）长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点，若，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.53．L是椭圆（ a＞b＞0）的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点，e是离心率，，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.54．L是椭圆（ a＞b＞0）的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点，,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且或（当且仅当时取等号）.55．已知椭圆（ a＞b＞0），直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F1连结起来，则（当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号）.56．设A、B是椭圆（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .57．设A、B是椭圆（ a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且、的横坐标，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则.58．设A、B是椭圆（ a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，（若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称），且，则点A、B的横坐标、满足；（2）若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且,则点A、B的横坐标满足.59．设是椭圆的长轴的两个端点，是与垂直的弦，则直线与的交点P的轨迹是双曲线.60．过椭圆（ a＞b＞0）的左焦点作互相垂直的两条弦AB、CD则.61．到椭圆（ a＞b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.62．到椭圆（ a＞b＞0）的长轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.63．到椭圆（ a＞b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（e为离心率）.64．已知P是椭圆（ a＞b＞0）上一个动点，是它长轴的两个端点,且,，则Q点的轨迹方程是.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆（ a＞b＞0）长轴的端点为,是椭圆上的点过P作斜率为的直线，过分别作垂直于长轴的直线交于,则（1）.（2）四边形面积的最小值是.67．已知椭圆（ a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.68．OA、OB是椭圆（ a＞0,b＞0）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）直线AB必经过一个定点.(2) 以OA、OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是.69．是椭圆（a＞b＞0）上一个定点，PA、PB是互相垂直的弦，则（1）直线AB必经过一个定点.（2）以PA、PB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是(且).70．如果一个椭圆短半轴长为b，焦点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，那么（1），且F1、F 2在 同侧直线L和椭圆相切.（2），且F1、F2在L同侧直线 和椭圆相离，（3），或F1、F2在L异侧直线L和椭圆相交.71．AB是椭圆（a＞b＞0）的长轴，是椭圆上的动点，过的切线与过A、B的切线交于、两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是.72．设点为椭圆（ a＞b＞0）的内部一定点，AB是椭圆过定点的任一弦，当弦AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时.当弦AB垂直于长轴所在直线时, .73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).  注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知椭圆(包括圆在内)上有一点,过点分别作直线及的平行线，与直线分别交于,为原点，则：.（1）；（2）.90. 过平面上的点作直线及的平行线，分别交轴于，交轴于.（1）若，则的轨迹方程是.(2)若，则的轨迹方程是.91. 点为椭圆(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与的面积为，则：.   92. 点为第一象限内一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与的面积为，已知，则的轨迹方程是.1．2．标准方程：3．4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.5．PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8．设A1、A2为双曲线的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.9．双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.10．若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.11．若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.12．AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则.13．若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.14．若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.15．若PQ是双曲线（b＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则.16．若双曲线（b＞a ＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为,则(1) ;(2) .17．给定双曲线：（a＞b＞0）, ：,则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M.(ii)对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点.18．设为双曲线（a＞0,b＞0）上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦P0P1,P0P2斜率存在，记为k1,k2, 则直线P1P2通过定点的充要条件是.19．过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.     20．双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为， .21．若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F 2是焦点, , ，则（或）.22．双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( , 当在右支上时，,.当在左支上时，,.23．若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.24．P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.25．双曲线（a＞0,b＞0）上存在两点关于直线：对称的充要条件是.26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P是双曲线（a＞0，b＞0）上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是.29．设A,B为双曲线（a＞0,b＞0，）上两点，其直线AB与双曲线相交于,则.30．在双曲线中，定长为2m（m）0）的弦中点轨迹方程为,其中,当时, .31．设S为双曲线（a＞0,b＞o）的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线上移动，记|AB|=，是AB中点，则当时，有,);当时，有.32．双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.33．双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.34．设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.35．经过双曲线（a＞0,b＞0）的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和P2，则.36．已知双曲线（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.37．MN是经过双曲线（a＞0,b＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行于MN的弦，则.38．MN是经过双曲线（a＞b＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦，则.39．设双曲线（a＞0,b＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与双曲线相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1,A2为两顶点)的交点N在直线：上.40．设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.41．过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.42．设双曲线方程,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线：的共轭直线上,而且.43．设A、B、C、D为双曲线（a＞0,b＞o）上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为，直线AB与CD相交于P,且P不在双曲线上,则.44．已知双曲线（a＞0,b＞0）,点P为其上一点F1,F 2为双曲线的焦点，的外（内）角平分线为，作F1、F2分别垂直于R、S，当P跑遍整个双曲线时，R、S形成的轨迹方程是().45．设△ABC三顶点分别在双曲线上，且AB为的直径，为AB的共轭直径所在的直线，分别交直线AC、BC于E和F，又D为上一点，则CD与双曲线相切的充要条件是D为EF的中点.46．过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.47．设A（x1 ,y1）是双曲线（a＞0,b＞0）上任一点，过A作一条斜率为的直线L，又设d是原点到直线 L的距离, 分别是A到双曲线两焦点的距离，则.48．已知双曲线（a＞0,b＞0）和（ ），一条直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.49．已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则或.50．设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .51．设过双曲线的实轴上一点B（m,o）作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN：于M，N两点,则.52．L是经过双曲线（a＞0,b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是双曲线实轴的两个焦点，e是离心率,点，若，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.53．L是经过双曲线（a＞0,b＞0）的实轴顶点A且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线的准线与x轴交点,点，e是离心率，，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.54．L是双曲线（a＞0,b＞0）焦点F1且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线准线与x轴交点，H是L与x轴的交点，点，,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且或（当且仅当时取等号）.55．已知双曲线（a＞0,b＞0），直线L通过其右焦点F2,且与双曲线右支交于A、B两点，将A、B与双曲线左焦点F1连结起来，则（当且仅当AB⊥x轴时取等号）.56．设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .57．设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的两点，且、的横坐标，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则；（2）若过B引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则.58．设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，（若BP交双曲线这一支于两点，则P、Q不关于x轴对称），且，则点A、B的横坐标、满足；（2）若过B点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，且,则点A、B的横坐标满足.59．设是双曲线的实轴的两个端点，是与垂直的弦，则直线与的交点P的轨迹是双曲线.60．过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点作互相垂直的两条弦AB、CD,则.61．到双曲线（a＞0,b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.62．到双曲线（a＞0,b＞0）的实轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.63．到双曲线（a＞0,b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（e为离心率）.64．已知P是双曲线（a＞0,b＞0）上一个动点，是它实轴的两个端点,且,，则Q点的轨迹方程是.65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.66．设双曲线（a＞0,b＞0）实轴的端点为,是双曲线上的点过P作斜率为的直线，过分别作垂直于实轴的直线交于,则（1）.（2）四边形面积的最小值是.67．已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.68．OA、OB是双曲线（a＞0,b＞0,且）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）直线AB必经过一个定点.(2) 以OA、OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是.69．是双曲线（a＞0,b＞0）上一个定点，PA、PB是互相垂直的弦，则（1）直线AB必经过一个定点.（2）以PA、PB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是(且).70．如果一个双曲线虚半轴长为b，焦点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，那么（1），且F1、F 2在 同侧直线L和双曲线相切,或是双曲线的渐近线.（2），且F1、F2在L同侧直线 和双曲线相离，（3），或F1、F2在L异侧直线L和双曲线相交.71．AB是双曲线（a＞0,b＞0）的实轴，是双曲线上的动点，过的切线与过A、B的切线交于、两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是.72．设点为双曲线（a＞0,b＞0）的内部(（含焦点的区域）)一定点，AB是双曲线过定点的任一弦.(1)如,则当弦AB垂直于双曲线实轴所在直线时.(2)如,则当弦AB平行（或重合）于双曲线实轴所在直线时, .73．双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切.74．双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点.75．双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与a-c.76．双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).    注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.78．双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.79．双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.80．双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长.84．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点.85．双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86．双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线.87．双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线.88．双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.   89. 已知双曲线上有一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于，交轴于， 为原点，则：  （1）； （2）.90. 过平面上的点作直线及的平行线，分别交轴于，交轴于.（1）若，则的轨迹方程是.(2)若，则的轨迹方程是.91. 点为双曲线在第一象限的弧上任意一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与的面积为，则：.92. 点为第一象限内一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于,记 与的面积为，已知，则的轨迹方程是或.