高考数学（浙江专用）专题四 三角函数4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式高考数学（浙江专用）考点三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式考点清单考向基础1.象限角第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合 终边落在x轴上的角的集合{α|α=kπ,k∈Z}终边落在y轴上的角的集合 终边落在坐标轴上的角的集合 终边与角α终边相同的角的集合{β|β=α+2kπ,k∈Z}2.终边相同的角3.弧度制(1)角度制与弧度制的互化1°=① rad;1rad=② .(2)弧长及扇形面积公式弧长公式:③ l=|α|r .扇形面积公式:④ S= lr= |α|r2 ,其中|α|为圆心角弧度数的绝对值,r为扇形半径.°设角α终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为r,则⑤ sinα= ,cosα= ,tanα= .5.三角函数值在各象限的符号 上述符号可简记为:一全正,二正弦,三正切,四余弦.4.任意角的三角函数的定义6.三角函数线各象限内的三角函数线如下
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: 当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线分别变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在,此时角α的余弦值为0,正切值不存在.7.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:⑥ sin2α+cos2α=1 ;角的终边所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形 (2)商数关系:⑦ tanα= . 函数角 正弦余弦正切-α-sinαcosα-tanαπ-αsinα-cosα-tanαπ+α-sinα-cosαtanα2π-α-sinαcosα-tanα2π+αsinαcosαtanα -αcosαsinα +αcosα-sinα -α-cosα-sinα +α-cosαsinα8.诱导公式 角“ ±α(k∈Z)”的三角函数的记忆口诀为“奇变偶不变,符号看象限”.【知识拓展】1.由三角函数线得出的重要结论(1) 2.两个常用结论当α∈ 时,(1)sinα<α
1.3.常用同角三角函数公式的变形(1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;(3)(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα;(4)sinα=cosαtanα;(5)sin2α= = ;(6)cos2α= = .(2)4.正确理解“奇变偶不变,符号看象限”“奇”“偶”指的是k· +α(k∈Z)中的整数k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是相对于奇偶关系而言的,sinα与cosα对偶.“符号看象限”指的是在k· +α(k∈Z)中,将α看成锐角时,k· +α(k∈Z)的终边所在的象限.考向突破考向一 三角函数的定义例1 (2018浙江镇海中学单元检测,11)已知角α终边上一点P(-4,3),则 的值为 .解析 = =tanα=- .答案 - 考向二 同角三角函数的关系式与诱导公式例2 (2018浙江名校协作体期初,13)已知sin ·cos = ,且0<α< ,则sinα= ,cosα= .解析 依题意得-cosα·(-sinα)= ,即cosα·sinα= .∵0<α< ,∴cosα>sinα>0,则cosα+sinα= = ,①cosα-sinα= = ,②由①②得sinα= ,cosα= .答案 ; 方法1 定义法求三角函数值定义法求三角函数值有两种情况:(1)已知角α的终边上一点P的坐标,则可先求出P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解; (2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上的一点坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题.若直线的倾斜角为特殊角,则可直接写出角α的三角函数值.方法技巧例1 (2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,13)已知角α的始边与x轴非负半轴重合,终边经过直线y=x- 与圆x2+y2=1的交点,则cosα-sinα= , = .解析 联立 解得 或 即 或 所以cosα-sinα= , = =2sinαcosα=- .答案 ;- 方法2 同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用方法1.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握三角函数诱导公式与同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形用.同角三角函数的基本关系本身就是一个恒等式,但也可以看作一个方程,当已知同角三角函数的另外一个关系式时,可以和同角三角函数的基本关系组成方程组,通过解方程组达到解决问题的目的.2.对于sinα+cosα,sinα·cosα,sinα-cosα这三个式子,已知其中一个式子的值,可以求出其余两个式子的值,如:(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα;(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2.3.利用诱导公式求解问题的关键是先观察角,后看函数名.一般是先将负角化成正角,再化为0°~360°的角,最后化成锐角求其函数值.在化简过程中牢记“奇变偶不变,符号看象限”的原则.例2 (2017浙江镇海中学阶段性测试,15)已知3sinα+4cosα=5,则tanα= .解析 解法一:由题易知3sinα=5-4cosα,两边平方得9sin2α=25-40cosα+16cos2α,即25cos2α-40cosα+16=0,得cosα= ,则sinα= ,故tanα= .解法二:把等式平方得(3sinα+4cosα)2=25,即9sin2α+24sinαcosα+16cos2α=25(sin2α+cos2α),两边同时除以cos2α,整理得16tan2α-24tanα+9=0,解得tanα= .解法三:设4sinα-3cosα=x,则x2+25=(4sinα-3cosα)2+(3sinα+4cosα)2=25,从而有x=0,则tanα= .解法四:因为3sinα+4cosα=5sin(α+φ),其中cosφ= ,sinφ= .易知sin(α+φ)=1,有α+φ=2kπ+ (k∈Z),则sinα=sin =cosφ= (k∈Z),cosα=cos =sinφ= (k∈Z),故tanα= .答案 方法3 齐次式问题的求解方法若已知正切值,求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值,可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂,将其转化为一个关于正切的分式,代入正切值解题.例3 (2015四川,13,5分)已知sinα+2cosα=0,则2sinαcosα-cos2α的值是 .解题导引 解析 由sinα+2cosα=0得tanα=-2.2sinαcosα-cos2α= = = = =-1.答案 -1
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