理论力学（第三版）第1章部分作业讲解

理论力学（第三版）第1章部分作业讲解理论力学（第三版）第1章部分作业讲解例1(质点运动学)由光滑钢丝弯成竖直平面里的一条曲线,质点穿在此钢丝上,可沿着它滑动(图).已知其切向加速度为－gsin,是曲线切向与水平方向的夹角.试求质点在各处的速度.解:取直角坐标系如图.令ds为质点移动的弧长,在y方向上投影为dy=dssin.这里只用到切向加速度由此积分例2(质点运动方程)小雨点与大雨点相比,在空中哪个降落的比较快?空气阻力为f阻=CSv2.S为雨点表面积,v为雨点速度,C是常数.解:当雨点在云层形成以后,即在重力作用下加速降落.随着雨点速度的加大...

理论力学（第三版）第1章部分作业讲解例1(质点运动学)由光滑钢丝弯成竖直平面里的一条曲线,质点穿在此钢丝上,可沿着它滑动(图).已知其切向加速度为－gsin,是曲线切向与水平方向的夹角.试求质点在各处的速度.解:取直角坐标系如图.令ds为质点移动的弧长,在y方向上投影为dy=dssin.这里只用到切向加速度由此积分例2(质点运动方程)小雨点与大雨点相比,在空中哪个降落的比较快?空气阻力为f阻=CSv2.S为雨点表面积,v为雨点速度,C是常数.解:当雨点在云层形成以后,即在重力作用下加速降落.随着雨点速度的加大,空气阻力由0加大到与雨点的重力mg抗衡此后它将不再受力,以一定的速度作匀速直线运动.雨点最后的速度叫终极速度.令终极速度为故大雨点比小雨点下落得快!例3(非惯性系:科里奥利力)如图在盘D1上沿径向开一个细槽,槽内放个小球.球被细线牵着,细线跨过位于盘心的一个滑轮,与固联在底座D2中心的一个弹簧相连.当小球在盘心时,弹簧处于自然长度l0.整个装置固定在底座D2上,D2可绕中心竖直轴自由旋转.设所有接触处都是光滑的.(1)当底座带着整套装置以匀角速旋转时,弹簧的劲度系数k为多少可以使小球处于平衡?(2)如果此时给小球一个径向初速度v,它将作怎样的运动?(3)在小球运动中,槽边给小球的力f为多少?解:(1)当整个装置旋转时,在随动的旋转参考系看来,小球受到一个惯性离心力mr2(m为小球质量),这里小球到圆心的距离r也就是弹簧的伸长量l.所以两力平衡条件是(2)以上平衡条件与r无关,这意味着小球在距圆心任何径向位置都不受力.故当它有径向速度v时,将相对于圆盘作匀速直线运动.(3)槽帮对小球的力属于束缚力,只能从小球在静止参考系(惯性系)中的加速度安过来求得.设t=0时刻小球在圆盘上的位置为A,t时间后到达B,(图).在静止系看来,小球最初具有两个速度分量:径向分量vr=v和角向分量v=r.t时间后圆盘转过角度=t,v分量使小球走到.如果没有加速度,此速度分量与vr分量合成,把小球带到点.然而质点实际上到达了B点.位移B是由加速度引起的.利用在静止系观察OAB另一方面,由图可以看出所以这加速度是槽边给小球的约束力造成的.所以例4(势能曲线)桌面上一个边长为a的方块,试研究平衡与稳定性.解:设方块平放时其势能V=0得到显然在极值点(平衡点)=/4,=/4,不稳定性常识是=0稳定,为什么找不到?最小点.例5(势能曲线)圆柱面上一个边长为a的方块,试研究平衡与稳定性.Or解:设圆柱中心势能V=0,则方块的势能为一阶导数为由作图我们知道平衡位置是=0.在这一位置,二阶导数为=0.a>2r=0.a<2r=0.a=2r部分作业讲解1.3)曲柄OA以匀角速绕定点O转动.此曲柄借连杆AB使滑块B沿直线Ox运动.求连杆上C点的轨道方程及速度.设AC=CB=a,AOB=,ABO=.解:研究对象为C,建立直角坐标系如图,则C点的坐标从图中可以得出轨道方程xyArOBCaa1.6)一质点沿矢径及垂直于矢径初速度分别为r及,式中及是常数.试证其沿矢径及垂直于矢径的加速度为1.11)质点沿着半径为r的圆周运动,其加速度矢量与速度矢量间的夹角保持不变.求质点的速度随时间而变化的规律.已知初速度为v0.解:at沿切线与v同向,由at,an确定a,a与at夹角1.16)宽度为d的河流,其流速与到河岸的距离成正比.在河岸处,水流速度为零,在河流中心处其值为c.一小船以相对速度u沿垂立于水流的方向行驶,求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点.解:设船为动点,河水为动系,岸为静止系.沿一岸为x坐标轴方向向右,则相对速度vy=u,牵连速度vx=2cy/d,或者vx=2c(d-y)/d.xydcu1.18)一质点自倾角为的斜面的上方O点,沿一光滑斜槽OA下降.如欲使此质点到达斜面上所需的时间为最短,问斜槽OA与竖直线所成之角应为何值?解:过O作OBDA,令OB=h要使质点达到斜面上需要的时间最短,上式必须有极值.即OABhDC1.19)将质量为m的质点竖直抛上入有阻力的介质中.设阻力与速度平方成正比,即R=mk2gv2.如上掷时的速度为v0,试证此质点又落至投掷点时的速度为证:将运动分为上抛和下落两个阶段1.24)质量为m与2m的两质点,为一不可伸长的轻绳所联结,绳挂在一光滑的滑轮上.在m的下端又用固有长度为a、劲度系数k为mg/a的弹性绳挂上另外一个质量为m的质点.在开始时,全体保持竖直,原来的非弹性绳拉紧,而有弹性的绳则处在固有长度上.由此静止状态释放后,求证这运动是简谐的,并求出其振动周期τ及任何时刻两段绳中的张力T及T′.证:取坐标轴向下为正.对应三点表示如图1.31)假定单摆在有阻力的介质中振动,并假定振幅很小,故阻力与成正比,且可写为R=2mkl,式中m是摆锤的质量,l为摆长,k为比例常数.试证当k2＜g/l时．单摆的振动周期为Rvmg解:设g/l=02为固有频率,在k2h2(h=r2),求点的轨道方程.设当r=r0时,=0.解:在极坐标中证(1):设地球半径为R,故近日点距离为R/n.由题意彗星轨道是圆锥曲线,所以7近日点两轨道交点为地球轨道半径处又由半角公式在地球轨道停留时间地球绕太阳一周的时间对(2)可以通过对t找极大值来解决.通过求二阶导数知道n=2是极大值位置.

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