nullnull9.3 任意项级数 本节讨论一般的常数项级数, 即各项符号不尽相同的变号级数(任意项级数). 如级数一.交错级数 下面讨论任意项级数的敛散性的判别法.首先讨论其中
的一种各项正负相间的特殊情形 ——交错级数, 它是一种
常见而有实用价值的特殊级数.定义4 正负项相间的级数,称为交错级数.其一般形式为null定理11 (Leibnitz判别法)若交错级数满足条件:则交错级数收敛, 且其和证 因为则序列 单増.则序列余项null则无论n是奇数还是偶数均有于是交错级数收敛, 且其和也是交错级数, 同样满足定理给出的两个条件.从而例14 判定下列交错级数的敛散性.收敛.null 由于任意常数项级数各项的符号不一定同号,因而正
项级数的敛散性的判别法对它来说是不适用的.但当我们定义5 若级数 每项取绝对值构成的级数 收敛,二.任意常数项级数可借助于正项级数的敛散性的判别法来研究它了.绝对收敛; 例如级数是条件收敛的.是绝对收敛的;它的每一项取绝对值后组成的级数——正项级数,便考察收敛, 则称级数则称级数若级数发散, 而级数条件收敛.null定理12 若级数 收敛, 则级数 必定收敛.即绝对收敛的级数必收敛. 证 设收敛.收敛.注1 所有正项级数的收敛都是绝对收敛. 注2 一切判别正项级数的敛散性的判别法都可用来
判定任意常数项级数是否绝对收敛, 从而收敛.null而不能断定它必为发散, (2) 若用比值法和根值法判别级数 , 得出级数 注意:定理13 若任意项级数 满足条件则 (1)当 l < 1时, 级数绝对收敛;(2)当 l > 1时, 级数发散.(1) 当 发散时, 就只能断定此时需进一步用其他方法来判的敛散性.定发散,则可断言级数一定发散.非绝对收敛,null如级数收敛的定义,级数的一些基本性质等进行判别.证则对发散.注3 对于任意项级数①首先判断它是否绝对收敛②再看它是否为交错级数; 是否收敛);(即用正项级数的判别法,判别若是交错级数，就用莱布尼兹判别法判别是否收敛;③若前面方法失效,就考虑用其它方法;null例15 判定下列级数的敛散性:由比较判别法的极限形式知故原级数绝对收敛.发散.收敛.null从而原级数不绝对收敛； 则原级数条件收敛.设但它却是满足莱布尼兹条件的交错级数, 即null故原级数条件收敛.当 x > e 时,单减, 则由根值判别法知 收敛.故原级数绝对收敛.单减； null例16 判定下列级数的敛散性:递减, 则原级数条件收敛.则原级数发散.则原级数绝对收敛.则原级数不绝对收敛.null则原级数条件收敛;而原级数为此两级数的和, 则原级数发散;解 当 时, 级数为当 时,收敛;发散,当 时,将原级数加括号后所得级数为null发散,故原级数发散.从而加括号后所得级数为发散的,
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