关于混合偏导数的注记

关于混合偏导数的注记关于混合偏导数的注记第24卷第4期 2011年8月濮阳职业技术学院学报 JournalofPuyangVocationalandTechnicalCollege Vo1.24No.4 Aug.2011 关于混合偏导数的注记薛凌霄,鄢智强 (1.福建农林大学计算机与信息学院,福建福州350002;2.福建广播电视大学,福建福州 350003) 摘要:高等数学中提到,二元函数的两个二阶混合偏导数在连续的条件下具有无序性.对此结论很多学生的理解出现偏差, 本文给出一些注记,并予以说明. 关...

关于混合偏导数的注记第24卷第4期 2011年8月濮阳职业技术学院学报 JournalofPuyangVocationalandTechnicalCollege Vo1.24No.4 Aug.2011 关于混合偏导数的注记薛凌霄,鄢智强 (1.福建农林大学计算机与信息学院,福建福州350002;2.福建广播电视大学,福建福州 350003) 摘要:高等数学中提到,二元函数的两个二阶混合偏导数在连续的条件下具有无序性.对此结论很多学生的理解出现偏差, 本文给出一些注记,并予以说明. 关键词:二元函数;混合偏导数;求导次序中图分类号:0172文献标识码:A文章编号:1672—9161(2011)04—0132—02 一 ,5I置对于许多二元函数而言,它们的混合偏导数都是相等的,但是有些函数求混合偏导数时,与求导次序有.1设,,y:Jxyx+-Y乒x2+y2;~0xy例1设f(x,y):{.+ 【0,+J,=0 求(0,0)与(o’0) axoy 解:f(x,y)--阶偏导数为 : , X2+y2:~0 ()={—’ Io’+=0 (x,):{!二,2+?.()={产10,x+=0 于是 (0,o)=o)=lim ovoxAy衄’—+u 一一 0 :lim:;一1 ? (o,’0)=…lim m: 缸.+0? 注意本例中f(x,Y1在(0,01点的两个混合偏导数不相等.但当混合偏导数连续时,可以肯定混合偏导数与求导次序无关. 二,定理及注记关于混合偏导数相等的条件有如下定理: 定理1无序性定理(克莱罗(Clairaut)定理):若二元函数Z=f(x,Y)的两个二阶混合偏导数,在区域D内连续,则在D内必有 ,=‘成立. 注1对于三元及三元以上的函数,也可类似地定义高阶偏导数,且在偏导数连续的条件下,高阶混合偏导数与求导顺序也无关(混合偏导数的无序性). 注2定理的条件充分非必要. 注3若fx,fy,fx在点(Xo,Yo)的某邻域内存在, 在点(X0,yo)处连续,则frxo,yo)存在,且fx(xo,Yo)= frxo,yo). 注3告诉我们,二元函数的二阶混合偏导数只要求出一个是连续的,那么另一个不需求出也知道它一定存在,且等于已求出的混合偏导数. 注4若fx,fy在点(X0,Yo)的某邻域内存在,fx在 (X0,Yo)的某去心邻域内存在,且lim,x,Y)存在,则’xo,yo)存在,且xo,yo)=‘xo,yo). 注5若fx,fy在点(X.,Yo)的某邻域内存在且在点(xo,Yo)可微,则fx(xo,Yo):fy(X0,Yo). 注3,注4,注5是比定理1条件弱的两个混合偏导数相等的充分条件. 收稿日期:2011—05一l4 基金项目:福建农林大学青年教师基金项目(2010021). 作者简介:薛凌霄(1982一),女,福建仙游县人,福建农林大学讲师,硕士,主要从事高等数学教学与研究工作. 一 l32— 三,问题及分析以上几个注记可以很好地利用无序性求解混合偏导数.但是,学生课后做了这样一个练习: ~z=xlnxy求,. 学生解题女口下:..’妻_l+砒=,aymx ? . ‘ 混合偏导无序性,先对x后对Y和先对Y后对x一样. . . .皇=o a 事实上,这个理解出现了偏差,如何理解无序性?指的是两个同阶的连续的高阶混合偏导数若要相等,两个混合偏导数对x和对Y的偏导次数一样时,可以通过交换,将对x和y求偏导的先后次序转 a’Zaz ....化为另一个.本题中对x求偏导2 次,对y求偏导1次;与=对x求偏导 CO’ 1次,对y求偏导2次,它们的偏导次数不一样,根本就不相等.但若混合偏导是连续的,则墓啬3z03z axay&~,OxOx 在科学和工程技术的实际应用中,往往认为所出现的偏导数是连续的,所以不介意求偏导的次序.例如就概括了六种不同次序的四阶混合偏导数 fxyy,,yy,fyy,fxyy,fyy,’”. 求高阶偏导数时,只需要逐次地求偏导数就可以了.例2的正确解答如下: 解...’__,1. ? . 一o; az1z1. ? . 一一 Y&OyY’’.’一 Y’ 例3设…(z+…in(…)’求. 分析:本题由2个方程确定,确定了1个二元函数u=u(x,y)和1个一元函数z=z(x),且x与y,z与 Y都是独立的. 解法l(直接法)由所给的两个方程丽边对x 求导,得: 塞y+z+x4-妾一IJJOX 妾…s+zX1+dz(2) 由(2)可得妄=代入(1 all…一. XCOS(X+z)一=1,+Z+——————— 1-cos(x+ 上式对Y求偏导(此时X,z都当成常数),得: 盟:1.一=l 解法2(无序性)Z=sin(x+z)确定了函数z:Z (x),于是u=x(z(x)+Y),此式两边对Y求偏导得: 由连续混合偏导无序性急=意-1 由例2和例3可知混合偏导如何求要视题目而定,有时利用无序性可以减少很多工作量.同样,若f (x,y)在点(x,Y)有直到n阶的连续偏导数,就可简写偏导数为: = okf(. <七<刀,.??七) 无论求导数的顺序如何,只要对X求偏导入次, 对y求偏导k一次即可. 参考文献: 【1】李德新.高等数学(理5-类)【M】.厦门:厦门大学出版社.2007.380—430. 【21裴礼文.教学分析中的典型问题与方法[M】.北京:高等教育出版社,20o1.567—571. 【3】李德新.高等数学学习与解题指导【M】.厦门:厦门大学出版社.2009.321—370. 【4】复旦大学数学系.数学分析( 下册 )【M】.北京:高等教育出版社.1983,144—224. 一 133—

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