【doc】关于一个整除性的问题

【doc】关于一个整除性的问题 关于一个整除性的问题 四川大学(自抖学版, ;;O'LLmalofSichuanUnis~rsltyNaturalScienceEdi~tioaVo!.26No.4l,89 关于一个整除性的问题 李曙光 (数学系) 摘要 1984年,孙琦教授提出是否对每一整数n>1,都存在n个整数x.>1 (i_1,2…,n),使得每个x,是J…XjN1.{J…x1的真匾子?为方便起觅, 我们以下简称此问题为S问题.本文给出了s问题的一个完整的答案,证明了 当n4时,S问题的解数)>0|当=2.3时.x(n)---0.同时我f1还给出 了S问题舳一个构造性结果,并且对几个具体的",计算了x(吣白辱值. 美蕾词初等数论,Diophantine方程,整数,真因子,解数. 设口】,…,为非零整数,如果满足条件…..一+i…一l,则易见有一基本性质. (口,,口,)=1,l?<?,所以,我们不妨设l<I<x2<…<,(,,xi):l,l?i <,?.如果(I,x2,…,)是一组满足s问题所设条件的整数,则称(l,,…, )为S问题的一个解. 引曩1.设,s为固定的正整数,s>l,则不定方程 上 X1+专+…+一}=一矗1<…<托I…' 至多有有限多个整数解. 证明设(,,-??,,)是不定方程 —L+—L+…++ xLxzxr】2…X =,1<I<2<…<,(1) 的解,我们丹j归纳法证明:对1??s,x,至多取有限多个正整数,从而就证明了方程 的解数有限.由于 :上+上+…+j一+一?!?. XI2XlX2…XXl 半, 所以至多取有限多个正整数,即结论对i=1成立?一般地,设结论对?i<s成立,由 一 寺一专…一之,一=一}+一币X2?专竿,I2,,+1.l…xxI+l 奉文干1988年2月11J】收到 第4期关于一个整除性的问题397 +1? 一一 亡…一?' 知x}+i对固定的,,…,x.取值有限多个,由归纳法xi,2,…,x,分别取有限 多值,所以x.+I也至多取有限个正整数,即结论对+1成立.由归纳法,结论对每个 ?(1?穗;s)成立. 对方程 _一十...+?一,:1<1<2<…<玑(2)1212……, 的解数的有限性可类似证明,故引理1成立. 引理2设,>i(=1,2,…,,)及均为正整数,如果(口1,2,…,)是 方程 ——一+——一+…+L+一一___l】——: XI2X_l2…" 的解,则(l,.2,…,lI,12…一1)是方程 ——L+l1+…+_J…1一: XlX2+1lX2…Xn十I 的解. 引理2可直接验证. 引理0设整数,>1(=1,2,…,),则(目1,2,…,口)满足 — ?1O(m.d,),=1,2,…,,(3) 当且仅当(I,2,…,)满足方程 {I去"+?6r-一,口2H1口2…_ 其中是某个正整数. 证明只对(3)式中取加号的情况证明(取减号的情况完全类似).设对每个2 (=】,2,…,")有,1.+1.注意到(,,=1,{,我们有ala2,,,o. i套+?故有整数使击+去+…+亡+i=,显然>0' 反之亦然,故引理3成立. 引理?(见[3J)当?3时,有I(+1)?01()+口I(一1),其中,A1(), 口】()分别表示方程 +jI X'2 "+-一矗_l,1<…<【…x_" 398四川大学(自感科学版)198'阜 —L+J_一十…+_1一+l2虮…=1,l<l<<…<, 的解数. 在铪出主要定,前,我们引^几个记号:设,xz,…,x为磕数, x_jx1…x一lx.}l…一I(1??),1<xl<…<x1, 的数组(,,…,)的个数记为G().满足条件 xxL…x一1x+L..-+1(1???),1<x<…<x, 的数组】,x2,…,)的个数记为日(),这里>1.由引理3易见, G()=?(),日():.(),一 1?】 其中A(),()分别为方程 上+一1_+…+上一 X】X2 ?丢+{+..+.上++l X】X2…n 2-. 满足身滞 (4, (5) =,1<】<…<,(6) ?,1<t<…<(7, 因此,当>1为固定整数时,()和D()至多对有限多个值不为零.又由引理1, A()和n()均为有限非负整数,所以,G(),H()都是有限非负整数.于是我们有 定理1当?4对,x()=G()一H(一1). 证明设(l,d,-",)是S问题的一个解,则 I{I2…口. 一 1?0(rood),=1,2,…,", 从而(口-,.:,…,)是(4)的一个解,即它满足(4)中的条件.又设(1,,…,)是 (4)的解,但非S问题的解,必有?使bbjb2…b一 1.如果k<n,则 =b】…b.一 l b+-b一1?2b?l—l>+l, 矛盾.所以=blb2-"b一一1.于是由引理3,存在正整数'使 ,=击+-.一去+七一 —. 1. b1' b1…b一】一1 b】…b一】(b1."b一l一1) (8) 一 一 , L 由 数 解 的 1一十一 + + 1^j + 1 —2 ?一 + +L < 由 幕{期关于一个整除性的问题399 . 责"b:=『, 再由引理3知,(b,b2,-_-|.-)是(5)式对一1个整数情形的一个解.嗣此'4)式的 G()个解中,非S问题的解至多为/4(—I)个.反之,对每一个这样的(b-,b2,…,.I), 由引理2及引理3,均可得(4)式的解(b1..?,b1.-?b1-l—1),而此解非S问题的解, 所以,盖()=G()一tl(n一1). 定曩2当n=2,3时X(n)=0,当?4时()>0. 证明由定理l,当?4时 盟)=G()一1-1(一1) =(A(n)一(—I), 由引理2,A()?—1),为整数,由引理4,当?4时, Al()一口I(—1)?1(一2). 熟知",当?4时,n】o一2)>0,所以,当?4时,()?l(H)一(—1)>0. 当=2时,若s问题有解(,x2),1<xt<xz,由引理3有正整数使 上 Xl + 七一上XlX2,X2 <?+专《丢+号<,, 矛盾,故取n)=0. 当=3时,设(xl,x2,xD是方程 七+去+专,XlX2,<XlX2X3X3 的解,此处t是正整数, <寺+专+专?号+{+{= 尝有t:i.若xl?3,则 <?+?+??号+三4+5=罟,x2x3jOu 矛盾,故有x1=2,于是, 去+七一{? 若x2?4,则 专+专?+11? (9) (10) 四川大学(自然科学版)l989.q- 矛盾,所以x2=3.将X2:3代入(1O)得=5,所以(2,3,5)是方程(9)的唯一解. 由引理3,n=3时s问题的解必为方程(9)的解,但(2,3,s)非s问题当=3 时的解,所以X(3)=0. 定理8设s(>1)个整数,…,满足 寺+."+专+,l<<…<也 其中正整数.如果整数pl,2满足 l=(^…)一1,1<】<, 则,…,,?+】,?^+P2)为S问题当"=s+2时的解. 证明由定理3所设条件,我们可直接得到 奇+.--+专+1+瓦 一—毫1...1巧F—2)=. 由引理3,(x…,x,…+l,…+PO满足(4)式.又 x…(…+I)一1=(x???)一1+?一l =2+…^I=I(...?+2)^...?+2. 因为l<<…<<<…+<?^+,如果...晴?^4-l' … x+P2)不是s问题的解,与定理l的征明中对(8)的证明类似,必有 x…x+2=^…(^…+1)一l, 矛盾,所以定理3成立.. 档定理3中取l=xx:一l,2=^+l便得 推论设x,…,同定理3,则(, =+2时的解. ,2…^?一l,2…^+1)是s问题当 显然号了1+.3=1,由推论,(2,3,11,13)是s问题的一个解.我们|可. 以证明,这是s问题当=4时的唯一解. 证明先考虑方程. 寺+去+,+七一,(11l2lx3 (,xj)=l,i车i,1<】<…<x" 的解,由 <?+专+上A"3+亡?2+号++5:,1扎3.4.6U 必有=1.若X1寺2,则 击+击++寺?{+{++吉<, 矛盾.曲=2.代^(11) 筝期关于一个整除性的问题401 七+}+一击一1X,(12)342x42', 与上面类似,可见3?2?5.由(x2,I)=1知4. 若X2=,则因(3,1)=, 寺++寺?+<{, 矛盾,故只有x2=3.代入(12)得 (‰一6)(4,6)=35,3<4.(13) 解得确=7,=41和x3=11,=13.所以方程(11)的全部解为 (xl,X2,a,xD=(2,3,7,41),(2,3,1l,12). 由引理3,当=4时,S问题的解为方程(11)的解,但(2,3,7,41)不是S问题的 解,所以=时S问题只有一组解 (I,2,3,4)=(2,3,l1,13). 利用上述方法,可计算出(5)=2.而且=5时,S问题的全部解为(2,3,儿, l7,59),(2,3,7,83.8j).对(6),设(x1,,,,5,B)是S问题的 一 个解,则由引理3,对某个整数有 寺+寺+古+古+七+r0丽112x|如‰2x5 l<l<x2<3<<<6. 因此 <号+专+丢+{+丢+号<z. 必有=l,熟知t,方程(I4)的全部解共17组,即 (2,3,7143,1807,3263441)(2,3,7,43,1811,654133) (2,3,7,审3,1819,252701)(2,3,7,43,1825,l73471) (2,3,7,43,l945,25271)(2,3,7,43,1871,51785) (2,3,7,43,1901,36139)(2,3,7,43,2053,15011) (2,3,7,43,2167,10841)(2,3,7,43,2501,6499) (2,3,7,43,3041,4447)(2,3,7,43,3611,3613) (2,3,7,43,395,779729)(2,3,7,47,481,2203) (2,3,7,53,27J,799)(2,3,7,71,103,61429) (2,3,l】,23,31,47057) 经验算,其中S问题的解只有14-I,(其中的11个解可由定理3给出),所以,我们 计算出X(16):14. 作者对孙琦教授的悉?指导表示衷的感谢. 402四J目大学<自然科学版)l9^q点 参考文献 ,关于Znam问题,四川大学(自然科学弃叵),4(1983),9一I2. fIJ孙琦 [2J孙琦,曹珍实,关于方程1一+…+,一.至.主1囊其应用,科学遢曩?3o?《l期5), i… 155. 【3]柯召,孙琦,关于单位分数表l的问题,I~J11大学(自然辩擘】蕾),】【弘),13—2'. f4J孙琦,教学研究与评论.'4(1986),149--一154. ONADIVISIBIL1TYPR0BLEMINlNTIEGERS LiShuguang (Departmentofmathematics) ABSTRACT inthisicapex-wesolvethefollowingproblemposedbyprofessorSunQiontheNational ConferenceofNumb~Theoryin1984that,foreacht%盱n>1Iifthere~dwaysexistn integers>1(=1,2,…,n)suchthateachisaproperfactorofteger…x_-LXi~L… _一 17Weprovethatitistrueonlywhen4,andgiveacoustructivesolutiontothe problem. KeyWordselementarynumbertheory-Diophantineequation,integer,perfactor' sOlutionnumber. (1980AMSSubjectClassifieation10Bil5j