4.5.1　函数的零点与方程的解

一二三一、函数的零点1.已知函数f(x)=2x+6.(1)求方程f(x)=0的解;提示:由2x+6=0,解得x=-3.(2)求函数f(x)的图象与x轴的交点坐标.提示:交点坐标A(-3,0).(3)方程的解与函数图象与x轴的交点的横坐标之间是怎样的关系?提示:相等.一二三2.填空:函数的零点(1)定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)几何意义:函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数y=f(x)的零点.3.函数y=f(x)的零点是点吗?为什么?提示:不是.函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根,因此,函数的零点不是点,而是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,函数值为零.4.你能说出函数①y=lgx;②y=lg(x+1);③y=2x;④y=2x-2的零点吗?提示:①y=lgx的零点是x=1;②y=lg(x+1)的零点是x=0;③y=2x没有零点;④y=2x-2的零点是x=1.探究一探究二探究三思想方法随堂演练解:令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.(1)当方程有一个正解和一个负解时,f(x)对应的草图可能如图①,②所示.解得0<a<1.所以当0<a<1时,方程有一个正解和一个负解.探究一探究二探究三思想方法随堂演练(2)因为方程的一个解大于1,一个解小于1.f(x)的草图可能如图⑤,⑥所示.所以当a>0时,方程的一个解大于1,一个解小于1.一二三5.做一做:函数f(x)=x2-1的零点是(　　)A.(±1,0) B.(1,0)C.0 D.±1解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函数f(x)=x2-1的零点是±1.答案:D一二三二、方程、函数、图象之间的关系1.考察下列一元二次方程与对应的二次函数:①方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3;②方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1;③方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3.(1)你能够画出关于上述方程的根,函数图象与x轴的交点及函数的零点的表格吗?一二三提示:一二三(2)从你所列的表格中,你能得出什么结论?提示:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.一二三三、函数零点存在性定理1.观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象,发现这个二次函数在区间[-2,1]上有零点x=-1,而f(-2)>0,f(1)<0,即f(-2)·f(1)<0.二次函数在区间[2,4]上有零点x=3,而f(2)<0,f(4)>0,即f(2)·f(4)<0.由以上两步探索,你可以得出什么样的结论?提示:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.2.填空:函数零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.一二三3.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是间断的,上述定理成立吗?提示:不一定成立,由下图可知.4.反过来,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,函数y=f(x)在区间(a,b)上存在零点,f(a)·f(b)<0是否一定成立?提示:不一定成立,由二次函数f(x)=x2-2x+1的图象可知.一二三5.判断正误:函数y=f(x)的图象是在闭区间[a,b]上连续的曲线,若f(a)·f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点.(　　)答案:×6.做一做:函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上(　　)A.[-2,-1] B.[-1,0]C.[0,1] D.[1,2]解析:因为f(-2)=-11<0,f(-1)=-2<0,f(0)=1>0,f(1)=4>0,f(2)=13>0,所以f(-1)f(0)<0.所以f(x)的零点在区间[-1,0]上.答案:B探究一探究二探究三思想方法随堂演练(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.所以函数的零点为2.反思感悟因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也是函数y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴公共点的横坐标即为函数的零点.探究一探究二探究三思想方法随堂演练变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点.解:由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的实根.所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1).令log2(-2x+1)=0,得x=0.所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.探究一探究二探究三思想方法随堂演练利用函数零点存在定理判断函数零点的个数例2判断函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.探究一探究二探究三思想方法随堂演练解:(方法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg3-2=2+lg3>0,∴f(x)在区间(0,2)内必定存在实数根.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示.由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个公共点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.探究一探究二探究三思想方法随堂演练反思感悟判断函数零点个数的常用方法1.解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数.2.直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴公共点的个数就是函数f(x)零点的个数.3.f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象公共点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.4.若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.探究一探究二探究三思想方法随堂演练变式训练2(1)若abc≠0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数是(　　)A.0 B.1 C.2 D.1或2(2)判断函数f(x)=x-3+lnx的零点个数.(1)解析:∵b2=ac,∴方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac=b2-4b2=-3b2.∵abc≠0,∴b≠0.因此Δ<0.故函数f(x)=ax2+bx+c的零点个数为0.答案:A探究一探究二探究三思想方法随堂演练判断函数的零点所在的大致区间例3(1)方程log3x+x=3的解所在的区间为(　　)A.(0,2) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)(2)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实数解所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为　　　　　. 分析:(1)构造函数f(x)=log3x+x-3,转化为确定函数f(x)的零点所在的区间;(2)构造与方程对应的函数,然后根据表格判断函数值的符号,从而确定零点所在的区间,再求k值.探究一探究二探究三思想方法随堂演练解析:(1)令f(x)=log3x+x-3,则f(1)=log31+1-3=-2<0,f(2)=log32+2-3=log3<0,f(3)=log33+3-3=1>0,f(4)=log34+4-3=log312>0,则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3),所以方程log3x+x=3的实数解所在的区间为(2,3).(2)记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实数解.由题表可知f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,f(3)=20.09-5>0.由零点存在定理可得f(1)f(2)<0,故函数的零点所在的区间为(1,2).所以k=1.答案:(1)C　(2)1探究一探究二探究三思想方法随堂演练反思感悟1.依据函数零点存在定理判断函数y=f(x)在区间(a,b)内是否有零点,关键看两点:一是曲线是否连续不断;二是f(a)与f(b)是否异号,就是说这种方法只能判断变号零点(即在零点左右两侧附近函数值的符号发生改变的零点).2.判断函数零点所在区间的三个步骤:(1)代.将区间端点代入函数求出函数的值.(2)判.把所得函数值相乘,并进行符号判断.(3)结.若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则函数在该区间内无零点,若符号为负且函数图象连续,则函数在该区间内至少有一个零点.探究一探究二探究三思想方法随堂演练探究一探究二探究三思想方法随堂演练答案:(1)B　(2)A探究一探究二探究三思想方法随堂演练(2)当方程的两个解都大于1时,f(x)对应的草图可能如图③,④所示.解得a∈⌀.所以不存在实数a,使方程的两个解都大于1.探究一探究二探究三思想方法随堂演练方法点睛解决有关解的分布问题应注意以下几点:(1)首先画出符合题意的草图,转化为函数问题.(2)结合草图考虑四个方面:①开口方向;②Δ与0的大小关系;③对称轴与所给端点值的关系;④端点的函数值与零的关系.(3)写出由题意得到的不等式(组).(4)由得到的不等式(组)的解去验证图象是否符合题意.这类问题充分体现了函数与方程的思想,也体现了方程的解就是函数的零点.在写不等式(组)时要注意条件的完备性.探究一探究二探究三思想方法随堂演练变式训练本例已知条件不变,求a为何值时:(1)方程有唯一实数解;(2)方程的一个解大于1,一个解小于1.解:(1)令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.探究一探究二探究三思想方法随堂演练3.已知函数y=ax2-x-1只有一个零点,则实数a的值为　　　　　. 解析:当a=0时,函数为y=-x-1,显然该函数的图象与x轴只有一个公共点,即函数只有一个零点.当a≠0时,函数y=ax2-x-1为二次函数.∵函数y=ax2-x-1只有一个零点,∴方程ax2-x-1=0有两个相等的实数解.探究一探究二探究三思想方法随堂演练4.函数y=2|x|+x-2的零点的个数为　　　　　. 解析:令2|x|+x-2=0,得2|x|=2-x.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2|x|与函数y=2-x的图象,如图,图象有2个公共点,即方程2|x|+x-2=0有2个实数解,也就是函数有2个零点.答案:2探究一探究二探究三思想方法随堂演练5.判断下列函数在给定区间上是否存在零点:(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[-4,7];(2)f(x)=x2+2x+1-,x∈(0,+∞).解:(1)令x2-3x-18=0,解得x=-3或x=6.又-3∈[-4,7],6∈[-4,7],∴f(x)=x2-3x-18在[-4,7]上有两个零点.所以函数f(x)在(0,+∞)上存在零点,且仅有一个零点.