均匀分布区间长度的估计

均匀分布区间长度的估计 陈光曙 ()淮阴师范学院 数学系 ,江苏 淮安 223001 [ 摘 要 ] 给出了均匀分布区间长度的估计量以及概率密度 ,并给出了区间长度的区间估计 . [ 关键词 ] 均匀分布 ;区间估计 ;顺序统计量 () [ 中图分类号 ] O2111 1 文章编号 ] 167221454 20050420120205 [ [ 文献标识码 ] C 1 引言 均匀分布是概 率 统 计 中 的 一 个 重 要 分 布 , 在 实 际 中 有 着 广 泛 的 应 用 . 设 X 为 均 匀 分 布 , 记 为 ( ) ( ) ( ) X,U a , ba < b, a , b 均为未知参数 , X 的概率密度为 f x ; a , b, 即 1 , a < x < b , b - a ( )( ) 11 1 X, f x ; a , b= 其他 . 0 , X 的分布函数为 0 , x ?a , x - a ( )( ) 11 2 F x ; a , b= ,a < x < b , b - a ?b. x 1 , 设 X, X, ?, X 为取自 X 的简单随机样本 , 关于参数 a , b 的估计量 , 许多文献均有研究 . 特别是取 1 2 n ^b = ma x { X } , ^a = mi n { X } 时有许多好的结论 . 关于 a , b 的区间估计见文 [ 1 ]等 .i i 1 ?i ?n 1 ?i ?n ( ) 本文着重研究了均匀分布 U a , b的区间长度 L = b - a 的估计 . 为方便见 , 引用如下一些记号 : ( )= ma x { X } , N = mi n { X } , M 11 3 n i n i 1 ?i ?n 1 ?i ?n L^ = ma x { X } - mi n { X } , ( )i i 11 4 1 ?i ?n 1 ?i ?n L^ 可作为均匀分布区间长度 L = b - a 的估计量 . 2 L^ 分布及性质 ( ) ( ) a , b 均为未知参数 , X, X, ?, X 为取自总体 X 的简单随机样本. 下面我 设 X,U a , ba < b, 1 2 n 们不加 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 地给出现有的有关结论 . ( ) M = ma x { X } , N = mi n { X } , 则我们有如下结论 : n i n i 定理 21 1 设 X,U a , b, 1 ?i ?n 1 ?i ?n ()i M 的密度函数为 n [ 收稿日期 ] 2004209221 n n - 1 ( ) x - a < x < b , a,n ( )b - a ( )( ) 21 1 f x= M n 0 , 其他 ; () iiN 的密度函数为 n n n - 1 ) ( a < x < b , b - x,n ( )b - a ( ) ( )f x= 21 2 N n 其他. 0 , 由上述定理 , 我们可得下述推论 . L^ = ma x { X } - mi n { X } 是 L = b - a 的渐近无偏估计. i i 推论 21 1 1 ?i ?n 1 ?i ?n ( ) 证 由 21 1知 b b n n n - 1 n ) (( ) x - ad x + a n n ) ( ) b -a ( ? b - aa n ( ( )) b - a+ a , 21 3 = n + 1 b b n n n - 1 n ) ( )) ( (b - xd b - xn n ) ( ) a ( b -a b - a? n ( )( ) 21 4 = b - b - a, n + 1 2 n ( ) ( )EL^ = E M - E N = b - a- b - a n n n + 1 n - 1 ( ) = b - a?L( ) n ??. n + 1 故 L^ 为 L = b - a 的渐近无偏估计 . ( ) M , N 的联合密度为 n n 定理 21 2 ( ) n n - 1n - 2 ) ( ) ( y,x , y?G , x -n( ) b - a ( )( ) 21 5 f x , y= ( ) 0 , x , y| G , ( ) 其中 G = { x , y| a < x < b , a < y < x} . 定理 21 3 L^ = ma x { X } - mi n { X } 的密度函数为i i ?i ?n 1 1 ?i ?n ( ) ( ) n n - 1 n n - 1 n - 2 n - 1 z- z ,0 < z < b - a , n - 1 n ( )( b - a b - )a ( ) ( )21 6 f L^ z= 0 , 其他 . 证 当 0 < z < b - a 时 , ( )( ) 21 7 ( ) ( ) f x , yd x d y = 1 - f x , yd x d y . Fz=L^ κ κ x - y > z x - y ?z 而 b x - z ( ) n n - 1 n - 2 ( ) ( ) = x - yd x d y f x , yd x d y na+ z a ( ) b - a κ ?? x - y > z b x - z n n- 1 ( ) ( ) n - 1x - yd y = d x n ) a+ z a( ab - ?? b n n - 1 n - 1 ) ( z ]d x = [x - -an a+ z ) ( ab - ? n - 1 n n - 1 n ( )z - 21 8 = 1 + z .n n - 1 ( ( ) ) b - ab - a( ) ( ) 由 21 7, 21 8知 , n - 1 n n - 1 n ( ) ( )z , 21 9 z -FL^ z=n - 1 n) ( ( ) b - ab - a 所以 ) ( )( n n - 1 n n - 1 n - 2 n - 1 z- z , 0 < z < b - a , n - 1 n ( )( )b - a b - a ( ) f z= L^ 0 , 其他 . 如果记 L = b - a , 则 L^ 的密度可写为 )( )( n n - 1 n n - 1 n - 2 n - 1 z - 0 < z < L , z , n - 1 n L L ( ) ( )21 10 f L^ z= 0 , 其他 . ( )2 n - 1 2 ( )21 11 L . 推论 21 2 DL^ = 2 ( ) ( )n + 1n + 2 L ( )( ) n n - 1 n n - 1 n - 2 2 2n - 1 z -证 EL^ = zz d z n - 1 n 0 L L ? L L ( )( ) n n - 1 n n - 1n + 1nz d z - z d z = n - 1 n 0 0 L L ?? ) ) ( ( n n - 1 n n - 12 2 = L - L n + 1 + 2 n ( ) n n - 12 = L , ( ) ( )n + 1n + 2 2 ( )n - 1 2 2 n n - 1 2 2 ( ) DL^ = EL^ - EL^ = L - L ( ) ( )n + 1 n + 1n + 2 ( ) 2 n - 12 = L .2 ( ) ( )n + 1n + 2 P n + 1 定理 21 4 L^ = L^ 是 L 的无偏估计 , 且 L^ L . 1 1n - 1 n + 1 n + 1 n - 1 EL^ = EL^ = ?证L = L 1 n - 1 n - 1 n + 1 ε由 Che byshev 不等式知 , Π> 0 , 2 D L^ 1 1 n + 1 ( ε) L | 2 时 , 则有下列结论 : () iT 的密度函数为 0 < t < 1 , n - 2 n - 1 ) ) ( ( n n - 1t- n n - 1t, ( )( ) 31 2 f T t=0 , 其他 ; () iiT 的分布函数为 0 , t < 0 , n n - 1 ( )( ) ( ) 31 3 n - 1t, 0 < t < 1 , nt- FT t= t > 1 . 1 , n - 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 显然 , f t是 [ 0 , 1 ]上的单峰函数 , f 0= f 1= 0 . 当 n ?3 时 , f t在 0 , 上严格单调递 T T T T n - 1 n - 2 , 1增 , 在 上严格单调递减 . 用求置信区间的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 可得到 L 的区间估计 . n - 1 α( ) α?0 , 1, 则区间长度 L 的置信度为 1 - , 置信区间为 Π定理 31 2 L^ L^ ( )31 4 , , cc 1 2 其中 c, c为临界值且满足 0 < c< 1 , i = 1 , 2 , 1 2 i αα n n - 1 n n - 1 ( ) ( )( ) n - 1c= 1 - . 31 5 - n - 1c= ,- nc1 2 1 nc2 2 2 ( ) α( ) ( ) 证 由 31 2式 , Π?0 , 1, 取 c1 , c2 满足 31 5, 则 α α ( ) ( ) α( ) , P 0 < T < c= 1 - P 0 < T < c= ,P c< T < c= 1 - ,2 1 1 2 2 2 即 L^ L^ L^ αP c< < c= P < L < = 1 - .1 2 c2c1L L^ L^ α, L 的置信度为 1 - 的置信区间 . 可为 故 cc 2 1 ( ) αα 为了确定临界值 c1 , c2 , 根据 31 5式 , 我们应用 Mat la b 软件工具给出了= 01 01 ,= 01 05 时的临 ( ) ( ) 界值 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf . 3 ?n ?30见附表 1 均匀分布临界值表. 当 n > 30 时 , 可以利用中心极限定理近似计算其临界值 . 附表 1 均匀分布临界值表 n 3 4 5 6 7 8 9 10 c01 041400 01 110885 01 185097 01 253993 01 315088 01 368483 01 415031 01 455713 1 α = 01 01 c2 01 958600 01 970555 01 977119 01 981279 01 984156 01 986264 01 987876 01 989149 c1 01 094299 01 194120 01 283582 01 358765 01 421277 01 473490 01 517503 01 554984 α = 01 05 c2 01 905701 01 932414 01 947255 01 956728 01 963307 01 968146 01 971855 01 974789 n 11 12 13 14 15 16 17 18 c01 491435 01 522974 01 550975 01 575974 01 598408 01 618641 01 636972 01 653651 1 α = 01 01 c01 990180 01 991032 01 991784 01 992358 01 992883 01 993342 01 993744 01 994101 2 c01 587220 01 615204 01 639703 01 661316 01 680515 01 697679 01 713111 01 727056 1 α = 01 05 c2 01 977169 01 979137 01 980793 01 982205 01 983424 01 984486 01 985421 01 986249 n 19 20 21 22 23 24 25 26 c01 668888 01 682858 01 695711 01 707574 01 718556 01 728750 01 738237 01 747088 1 α = 01 01 c01 994419 01 994705 01 994963 01 995197 01 995410 01 995605 01 995784 01 995949 2 c1 01 739719 01 751267 01 761840 01 771556 01 780513 01 788798 01 796483 01 803630 α = 01 05 c2 01 986988 01 987651 01 988251 01 988794 01 989290 01 989744 01 990160 01 990545 n 27 28 29 30 c01 755364 01 763119 01 770400 01 777249 1 α = 01 01 c01 996101 01 996243 01 996375 01 996497 2 c01 810294 01 816522 01 822356 01 827831 1 α = 01 05 c2 01 990900 01 991230 01 991536 01 991822 致谢 :对吴克力博士表示衷心的感谢 ! [ 参 考 文 献 ] () [ 1 ] 潘高田 ,胡军峰 . 小样本的均匀分布参数的区间估计和假设检验 [J ] . 数学的实践与认识 ,2002 ,32 4:629 - 631 . () () [ 2 ] 颜贵兴 . 均匀分布参数的矩估计与最大似然估计 [J ] . 广西师院学报 自,2001 ,18 2:76 - 79 . () [ 3 ] 张润楚 ,王兆君 . 均匀 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 抽样及优良性质 [J ] . 应用概率统计 ,1996 ,12 4:337 - 347 . () [ 4 ] 复旦大学编 . 概率论 第一册[ M ] . 北京 :人民教育出版社 ,1980 . Est imate of the Interval Lengt h on Un if orm Distribut ion C H E N Gu a n g2s h u ( )H uaiyin Teacher s’College , H uaian , J ia ngsu 223001 ,China Abstract : We o btain t he estimate of int erval lengt h o n t he unifo r m di st ributio n. Furt her , we give t he co nfidence interval of t he int erval lengt h . Key words : unifo r m di st ributio n ; e stimat e interval ; o r der stati stics