nullnull实质:质量守恒1.连续性方程的微分形式oyxzdmxdmx’dxdydzdt时间内x方向:
流入质量
流出质量
净流出质量连续性方程null同理:dt时间内,控制体总净流出质量:由质量守恒:控制体总净流出质量,必等于控制体内由于
密度变化而减少的质量,即null——连续性方程的微分形式不可压缩流体
即null例:已知速度场
此流动是否可能出现?解:由连续性方程:满足连续性方程,此流动可能出现null例:已知不可压缩流场ux=2x2+y,uy=2y2+z,且在z=0处uz=0,求uz。解:由
得积分由z=0,uz=0 得 c=0null2.连续性方程的积分形式A1A212v1v2在dt时间内,流入断面1的流体质量必等于流出断面2的流体质量,则——连续性方程的积分形式不可压缩流体分流时合流时null刚体——平移、旋转
流体——平移、旋转、变形(线变形、角变形)平移线变形旋转角变形流体微元的运动
分析
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null流体微元的速度:null1.平移速度:ux,uy,uz2.线变形速度:x方向线变形是单位时间微团沿x方向相对线变形量(线变形速度)同理存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因null3.旋转角速度:角平分线的旋转角速度逆时针方向的转角为正
顺时针方向的转角为负null是微团绕平行于oz轴的旋转角速度同理微团的旋转:null4.角变形速度:直角边与角平分线夹角的变化速度微团的角变形:null存在不在质点连线方向的速度梯
度是产生旋转和角变形的原因是微团在xoy平面上的角变形速度同理null例:平面流场ux=ky,uy=0(k为大于0的常数),分析流场运动特征解:流线方程:
线变形:
角变形:
旋转角速度:xyo(流线是平行与x轴的直线族)(无线变形)(有角变形)(顺时针方向为负)null例:平面流场ux=-ky,uy= kx (k为大于0的常数),分析流场运动特征解:流线方程:(流线是同心圆族)线变形:(无线变形)角变形:(无角变形)旋转角速度:(逆时针的旋转)刚体旋转流动null1.有旋流动2.无旋流动即:有旋流动和无旋流动null例:速度场ux=ay(a为常数),uy=0,流线是平行于x轴的直线,此流动是有旋流动还是无旋流动?解:
是有旋流xyoux相当于微元绕瞬心运动nullnull无旋 有势1.速度势函数类比:重力场、静电场——作功与路径无关→势能
无旋条件:
由全微分理论,无旋条件是某空间位置函数φ(x,y,z)存在的充要条件
函数φ称为速度势函数,无旋流动必然是有势流动速 度 势 函 数null由函数φ的全微分:
得:( φ的梯度)null2.拉普拉斯方程由不可压缩流体的连续性方程
将 代入得
即 ——拉普拉斯方程 为拉普拉斯算子, φ称为调和函数
——不可压缩流体无旋流动的连续性方程注意:只有无旋流动才有速度势函数,它满足拉普拉斯方程null3.极坐标形式(二维)null不可压缩平面流场满足连续性方程:即:由全微分理论,此条件是某位置函数ψ(x,y)存在的充要条件函数ψ称为流函数有旋、无旋流动都有流函数流 函 数null由函数ψ的全微分:
得:流函数的主要性质:
(1)流函数的等值线是流线;证明:——流线方程null(2)两条流线间通过的流量等于两流函数之差;证明:nullnull(4)只有无旋流的流函数满足拉普拉斯方程证明:则:将代入也是调和函数得:在无旋流动中null例:不可压缩流体,ux=x2-y2,uy= - 2xy,是否满足连续性方程?是否无旋流?有无速度势函数?是否是调和函数?并写出流函数。解:(1)
满足连续性方程(2)
是无旋流(3)无旋流存在势函数:null取(x0,y0)为(0,0)(4)
满足拉普拉斯方程, 是调和函数(5)流函数取(x0,y0)为(0,0)null1.均匀平行流
速度场 (a,b为常数)
速度势函数
等势线
流函数
流线uxyoφ1ψ1φ2φ3ψ2ψ3几种简单的平面势流null当流动方向平行于x轴当流动方向平行于y轴如用极坐标表示:φ1ψ1φ2ψ2φ1ψ1φ2ψ2nullnull(2)汇流
流量φ1ψ1φ2ψ2oψ3ψ4汇点o是奇点r→0
ur→∞nullnull也满足
同理,对无旋流:——势流叠加原理势 流 叠 加 原 理nullnullnull将驻点坐标代入流函数,得则通过驻点的流线方程为给出各θ值,即可由上式画出通过驻点的流线流线以 为渐进线null外区——均匀来流区;内区——源的流区(“固化”、半体)nullnull源流和汇流的叠加null当a→0,q→∞,2qa→常数M偶极流利用三角函数恒等式、级数展开,化简nulla→0:偶极流nullnullΨ=Cφ=C源流和源流的叠加nullnull源流和环流的叠加
(流线与等势线为相互正交的对数螺旋线族)离心泵的叶片形状