初等数学研究
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
习题五5至18 李长明 周焕山编
习题五
5、证明下列不等式。
22 (1)xyxyxyxyR，,,,，,,10(,);
22证明: xyxyxy，,,,，1
22xy，22 ,，,,,，xyxy1
2
1122 ,，,,，xyxy122
122 ,,，,,(1)(1)0xy
2
132，(2) ,，，,,10990()xxxxR
10
132证明: 1099xxx,，，
10
9912 ,,，，10()xxx
101010
999122 ,,,，，10[()()]xx
20201010
929712 ,,，，10()xxx
204010,0
6、设，求证: n,,
135211n,
(2)(2)(2)(2),,,,,
nnnnn!
11
证明:?当n=1时，即n=1时不等式成立。 2,,,
11!
?假设n=k时不等式成立，即
135211k,
(2)(2)(2)(2),,,,,
kkkkk!则当n=k+1时，有
1352121kk,，(2)(2)(2)(2)(2),,,,,
kkkkk，，，，，11111
1352121kk,，
,,,,,,(2)(2)(2)(2)(2)
kkkkk
1211k，
,,,(2)
kkk!1(1)!，，
即当n=k+1时，不等式也成立。
由?、?知，对任意自然数n不等式成立。
，7、设求证: abcdR,,,,,
()().acbdabcd，，,，(1)
()()0acbdabcd，，,，,证明:假设成立，则有
22(()())()acbdabcd，，,，
()()2.acbdababcd，，,，，即: 也即: abadcbcdababcdcd，，，,，，2.
？，,,adcbabcd20
22？，,()(2)adcbabcd
22 ？，，,,()2()()()4adadcbcbabcd
22 ？,，,()2()()()0adadcbcb
2 ？,,()0adcb
2但是成立的，并且上面每一步都可逆，因而()0adcb,,
不等式得证。
333(2) ()()().abababaaabbb，，，,，112233123123
，8、设求证: abcR,,,,
111
(1) ()()9;abc，，，，,
abc
abc3(2) ，，,.
bccaab，，，2证明:(1)利用柯西不等式。
111222222[()()()][()()()]abc，，,，，
abc
1112222 ,,，,，,[()()()]abc
abc
,9
111
？，，，，,()()9.abc
abc
111(2)不妨设abc,,,0,则 ,,.
bccaab，，，
故有
111111 abccab,，,，,,,，,，,?
bccaabbccaab，，，，，，
111111
abcbca,，,，,,,，,，,?
bccaabbccaab，，，，，，
?+?，有:
abc1112()，，,，,，，,，，,()()()bcacba
bccaabbccaab，，，，，，
=3
abc3
？，，,.
bccaab，，，2
1n9、证明以为通项的数列是一个单调递增数列。 a,，(1)n
n
证明:由二项式定理，有
11211nkn012accccc,，,，，，，，，(1)nnnnnn2knnnnnn
1(1)(2)(1)1nnnnk,,,，k其中 c,,nkknkn!
1121k,
,,,,(1)(1)(1)
knnn!
于是，
111121k,
a,，，,，，,,,11(1)(1)(1)(1)n
2!!nknnn
1121k,
，，,,,(1)(1)(1).
nnnn!
将上面等式中的n换成n+1，就得到的展开式: an，1
111121k,
a,，，,，，,,,11(1)(1)(1)(1)n，1
2!1!111nknnn，，，，
1121n,
，，,,,(1)(1)(1)
nnnn!111，，，
112n
，,,,(1)(1)(1).
(1)!111nnnn，，，，
的展开式有n+1项，的展开式有n+2项。它们每一项aann，1
都是正数，因为
kk
11,1,2,,1.,,,,,kn
nn，1
所以的第k+1项小于的第k+1项，即 aann，1
111111kk,,
(1)(1)(1)(1),,,,,
knnknn!!11，，此外，比还多了一个正数项(即展开式的最后一aaan，1nn，1项)，故有:
aan,,,1,2,3nn，1
1n以为通项的数列是一个单调递增数列。 a,，？(1)n
n
10、设为不全相等的整数，求证: aaa,,,12n
aaaa123n.，，，，,n
aaaa2341
证明:利用均值不等式，有
aaaaaaaa123123nnn，，，，,,，，，，,nnaaaaaaaa23412341
aaaa123n.，，，，,n即
aaaa2341
，ab,.11、设且求证: abR,,,
nnnn，1 ()2()(2)ababn，,，, 证明:?当n=2时，
nnnn，1 ()2()abab，,，
2222,，，,,aabbab222
2,,,()ab
,0
22122, ？，,，()2()abab
当n=2时，不等式成立。 ？
?假设当n=k时，不等式成立，即:
kkkk,1 ()2().abab，,，
则当n=k+1时，有: ？
kk，1 ()()()ababab，,，，
kkk,1 ,，,，()2()abab
kkkkk，，,111 ,，,，,，,()2aabbab
kkk，，,111 ,，,2()2ab
kkk，，11 ,，,()2ab
不妨设a
2,求证: log(1)log(1)1.nn，,,,nn证明:
lg(1)lg(1)lg(1)lg(1)nnnn，,，,,
log(1)log(1)nn，,,,,,nn2lglg(lg)nnn
？，,,,lg(1)0,lg(1)0nnn,2 ？,,n11
lg(1)lg(1)nn，，,
？,，,lg(1)lg(1)nn
2
1
即 lg(1)lg(1)lg(1)lg(1)nnnn，，,,，,
2
12 lg(1)lg(1)lg(1)nnn,,，,
2
22 nn,,1
1122 ？,,,，,lglg(1)lg(1)lg(1)nnnn
22
12即 lglg(1)lg(1)nnn,，,
2
？,，,,lglg(1)lg(1)0nnn
2 ？,，,(lg)lg(1)lg(1)nnn
lg(1)lg(1)nn，,,
？,12(lg)n
？，,,log(1)log(1)1.nnnn
18、证明下列不等式:
111(1)2(11)12()nnn，,,，，，，,,,
23n
1111
(2) 12.(,1)，，，，,,,,,nn22223nn证明:(1)
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