耦合kdv方程族及其双哈密顿结构

耦合kdv方程族及其双哈密顿结构 P h . M. D is s e r t a t io n ～Z h e n g z h o uU n iv e r s ity ～N o . 0 5 3 1 1 0 5 4C o u P le d K d V h ie ra re坤 a n d th e ir b i一H a m ilto n S t I’llC t llr e S C a n d id a t e:Y an gB e n eh a o S u P e r v is o r:P r o f es s o r G e n g X ia n g u o :S o lit o n a n d I n t e g r a b le S y s t e mS P e e ia lity D e P a rtmen t of Ma th e ma t ie s ～Z h e n g z h o uU n iv e r s it y Z h e n g z h o u ～4 5 0 0 5 2 ～P .R .C h in a Ma y ～2 0 0 8 摘要 本 文 具 有 位 势 的 从两个4 x 4 的矩 势势 势势 出势 势 出 势 非 势性 势 展 方 程 ～两 分 势 势 出 了势 势 方 程 中 的第 一 非平 凡 的方 程 两个(其 中一 势 个Hil.ot a-Satsum a 方程 ) 。最 后 通 势 迹 恒 等 式 我 势得 出势 势 方 程 具 有 两bi一am ilto 。势 ～ 利 用 屠构并H 势 彰 文 中 的 一 定 理 势 明 了非 势 性 势 展 方 程 族 是 在 献个Liouville意 势 下 可 势 的 . 势 势 势 : bi-H am ilto。势 ～迹 恒 等 式 ～ 构Liouville 可势 A b st r a C t B y in tro d u e in g a 4 x 4 m a tr势 sp e etr a l P ro b le mw ith tw oP o te n tia ls ～ e p ro p o se tw o e la sse s o fw n o n ]in e 势 e v o llltio n e q 一 tio n s . Aty p ie a l e q 一za tio n in th e f irst e la ss 15 th e c o u p le d K d Ve q u a tio nla b y S a tsu m a a n d H iro ta .lt 15 sh o w n th a t th e h ie ra reh y p o sse sse s th e g c n e ra lize d H a ln ilto n f orm w ith th e h e lP o f tra ce id e n tity . T h e n ～tw oo th e r eo u P le d K d Ve q u a tio n s a re o b ta in e d .F in a lly ～ewP ro ve d th e n o n lin e a r e v o lu tio n e q u a tio n s a re L io u v ille in te rg r a l. K e y w o r d s : 一H a m ilto n stru etu re ～tr势 e id en tit y～ u v ille in terg ra llio 目势 J 二 二J一己 I佳旨 非 势 性 势 展方 程 族 .… … 一bi一am ilto。势 可 势 性构与H 参献 考 文 ...................… … ～.................. ................................… … 16 致势 . J 二 二J一己 !.台 孤 立 子 又 孤 立 波 ～ 是 指 一 大 势 非 势 性 偏 微 分 方 程 的 势 多 具 有 特 殊 性 的解 以及 称它与 其相 势 的物 理 势象 . 孤 立波 是 英 科 家 国学R usscn 于 1834 年在 势 丁堡 到 克 拉 斯 哥 的 河 上运势 势 的 . 他在 1844 年 英 科 促势 第 十 四 势 上 做 的势 告 中 ～势 述 了 国学会届会1834 年势 察 到的奇 特 的水 波势 象 ～由此 引入 了孤立波 的 念 概. 并 势 一步提 出势 势 孤 立 的波 势 势 势上 是 流体学个 力 方程 的一 势 定 解 . 由于 受到 势 的 科 理 势 及 水 平 的限 制 ～ 当学数学R ussen 的 势学并当学 未 能使 势的物理 家 信服 . 直到 1895 年 ～瑞 典 家 数学K ovtewe g 指 势 他 的 生 学de vrics写 了一篇 博士 势 文 ～势 出 了著 名 的 K dy 方 程 ～解 势 了 R ussen 势 察 到 的势象 ～势后 分 析来孤 立 波 奠定 了基 势 . 1960 年 ～ C arden 和 M orih Lwa 在 究无撞 磁 流 波 的势 程 中～再 次 势研碰 势 了 K dy 方 程 ～此 后 ～ K dy 方 程在不 同的背景 中不 的出势 ～ 而 激 起 人 势势 断从K dy 方程 的 究势趣 研. 如 今 ～ K dy 方 程 已被看作 是 物理 基本 方 程 数学. 孤 立 子 理 势 在 流 力 ～激 光 物理 ～势 典 势 势 ～生 物 ～非 势 性 光 等 方 面 有 着 泛体学学学广 的 势 用 . 在 势 多 科 势 域 又 存 在 着 孤 立 子 以及 孤 立 子 理 势 密切 相 势 的 势势 ～比如 ～天 上 势学 旋 的 密 度 波 ～光 势 中光 的 势 播 ～磁 以及 基 本 粒 子 等 都 孤 立 子 休 戚 相 势 学与. 孤 立 子 理 势 的势 展 已势使 势 多物理 上 势 期 用 势典理势未 能得 到解 答 的势象 得 到 势势 的解 势 . 在 势 用 上 ～利 用孤立 子 改势 引 势 播 系势 ～提 高其势 势 率 等 也取得 了 巨大 的势 展 来号. 随着孤 立子 物 理势势 的 究 不 深 入 ～孤 立 子 的 物 理 理 势 也 势 而 生 研断数学运. 孤 立 子 理 势 作 势 和 物 理 的数学交 叉 科 ～是 非 势 性 科 的 一 重 要 方 向。 反 势 的 一势 非 常 势 定 的 自然 势 象 ～如 江 河 中学学个它 某 一 势 水 波 ～光 势 中光 信 势 播 等 ～也 势 了一 大 势 非 势性 相 互 作 用 的若 干 特 征 ～势 势 多号体 势 势 势势 的解 提 供 了 示 决启. 孤 立 子理 势 势 势 非 势 性 偏 微 分 方 程 提 供 了求 势示 解 的方 法 ～ 因 而 受 到 界 和 物 理 界 的 充分 重 势 数学. 孤 立 子 的势 展 势 程 势 要 括 势 概: 2 al>l sky 和 K rllskal势 K dy 方 程 解 的孤 子性 的势 势 ;G ar～lc11cr ～ GI- ccn ～ lir tlshal 和 M inra 势 K dV 方 程 求 解 的反 散 射 方 法 的势 势 性 工 作 ; L ax势 于 K d V 方 程 L ax 势 的 理 势 和 推 广; zakh arov ～ sllabat ～ A blow itz ～ K ruskal ～ N ew el-和 Scgu r 势 于 矩 势形 式 的 L ax 势 及 反 散 射 方 法 的 推 ～都 势 孤 立 子 理 势 的 势 展 起 到 了势 势广 的作 用 。 在 孤 立 子 理 势 中 ～ 着 非 势 性 的 日势 完 善 ～非 势 性 科 已势 蓬 勃 势 展 于 各 究 势随学个研 域 而 成 势 究 的焦 点 研. 在 非 势性 科 势 域 中 ～孤 子 理 势 在 自然 科 的各 势 域 是 非 常 重 要学学个 的角 色 !1] . 孤 子理 势 一方 面 在 ～物理 ～生物 ～化 等各 自然势 域 得 到 了泛 的势数学学学广 用 !l～～一 方 面 大 的促势 了一 些 势势 理 势 的势 展 另极数学[s] . 19 世 势 势 加 等 人 已势 指 出三 势势 不 可 势 ～ 意 势 到 势 多 莱体并H am ilton 势 都 不 可构势 ～ 而 势 入 了势 势 力 系势 的 究 从研. 此 后 ～人 势势 可 势 系势 的 究就 不 台势 注 了 ～而 孤 子研 的势 势 ～势 物理 有 了深 势 的影 数学响. 反 散射 方 法 ～也 势非势性 傅 立 分 析 ～是 物称叶数学 理 的 一 重 要 势 展 ～ 引起 了被 势 忘 多年 的 可 势 系势 的 究 的势 趣 个它研. 人 势在 新 的水 平 上 来重新 势 势 可势 系势 ～ 而取得 了势 多势 展 ～使 势 可 势 系势 的 究 引起 了 家 和 物理 家从研数学学 极大 的势趣 . 19 世 势 20 年 代 H am ilton 在描 述 何 势势 势 了 几学H alnilton 系势 . 由于 势 势 系势 泛广存 在 于 生命 科 及 社 科 的 各 势 域 ～特 势 势 天 力 ～等 子 物 理 以及 生物 工 程 中学会学个体学离体 的势 多 模 型 都 以 H am ilton 系势 的形 式 出势 ～因此 势 系 势 的 究近 三 十 年 引起 了势 多 中外研 学极 者 的 大 势 趣 . 1975 年 ～ \\～aI〕卿list 和 Es tabl.ook 提 出的 延拓 势 法 是 今 判 定 一 非 势 性 势 展 方 程构迄个 L ax 可 势 性 的 比势 成 功 的方 法 ～但 在 势 用 势 需 要 势 行大 量 的势 算 ;1983 年 ～ DI- infclid 和sokolov 以 K ac势Ioody 代 势 工 具 系势 的 造 了 数构K dy 方 程 的 L ax 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 ; 1985 年 ～谷超 豪院士 ～胡 和 生 院士 根 据 曲面 势 中 的基 本 方 程 ～提 出 了一 势 方 程 的可 势 性 准 势 ; 1989 年 ～曹策 势 教数数当授 首 次 提 出在 位 势 函 和 特 征 函 的适 势 束 下 ～ 由 L ax 势 的 非 势 性 化 势 生 有 限势 H am ilton 系势 的 思想 ～ 无 限 势 从H am ilton 系 势 到 有 限势 H am llton 系势 的分 解 ～在 零 曲率 表 示 理 势 框内将架 ～ 无 限 势 H am ilton 系 势 分 解 势 可 交势 的 有 限 势 两个H am llton 系 势 . 1988 年 以 ～屠 势 彰 来教研授 提 出 了用 势 势 束 势 分 势 算 究 孤 立 子 H am ilton 势 的 新构方法 .1989 年 ～提 出 了 用 迹 恒 等 式 造 孤 立 子 方 程 族 及 其 构H am ilton 势 的 势 势 方 法 构15- 171 。利 用 屠 格 式 可 建 立 势 多 的 无 限 势 系 势 的 H om iltoll 势 ～ 目构构前 ～屠 格 式 已势 成 势 造H am iltoll 势 的 一 构个强 有 力 的 工 具 . 势 于 有 限 势 的 H am llton 系 势 ～其 势 美 的 何 理 势 已几 势 被 建 立 ～其 中 著 名 的 Liou 川 IC 定 理 势 出 了 其 可 势 的 一 充分 个条件 ～奠 定 了 势 一 理 势 的 基势. 近 年 ～ 着 孤 立 子 理 势 的 势 展 ～势 无 限 势 来随H am iltoll 方 程 族 的 究 也 有 势 多 新 的 势研 展 ～但 是 人 势 势 有 完 没广全 了 解 无 限 势 势 H am iltoll 系 势 可 势 性 的 本 势 . 因 此 ～势 新 的 可找 2]势 系 势 ～ 深 入 究 其 代 和 何 性 势 具 有 重 要 意 势 。到 目并研数几个前 势 止 ～势 一 非 势 性 系 势 是 【 否 可 势 势 有 一 完 没个确全 和 定 势 一 的 定 势 . 所 势 的 可 势 性 是 指 在 不 同意 势 下 的 可 势 ～势 在 我 势通 用 的 可 势 的 定 势 有 L ax 可 势 与Liouvil le可 势 . 势 和 势 充 找L ax 或 Liou vil lC 意 势 下 的可 势 系势 是 孤 立 子 理 势 中的重 要 势 势 ～Liouvil le可 势性 势 一 有 限势 个H am iltoll 系 势 而 言 ～是 指 系势 中的方 程 能 表 示 势 H am iltoll 方 程 ～且 存在 n 个独 立 的相 互 势 合 的守 恒 势 分 . 势 一 念 可 推 到 无 限 势 的势 力系势 中 ～由此 势 势 势概广 多孤子 方 程 也 具 有 H am ilton 势 构. 其 中 bi一 alnilton 势 是 势 明非 势性 势 展 方 程 完 构全 可势的直接 而势 美 的方 法 ～其意 势势 如 果 一 方 程可表示 成彼 此 相 容 的一势 H am ilton 系势 ～可得到势 两两合 的 H am ilton 守恒势 分 . 屠势 彰 1985 年提 出的迹 恒 等式是 造 无 势 势 构H am ilton系势 的有效 方 法 ～势 方 法 由一 个当适 的势 势势 出势 ～势 得 势 展 方 程 及 其 H am ilton 势 ～构势一方面 的理 势基势是用势分势 的性 势得到 了一势 于泛 数个函梯度 的迹恒等式 . 一 重 要 的势 点在 于如 何 非 势性 势 展方 程 相 势 的势 势势 势 势 起 ～因此 我 势势个将与来 找很 新 的势 势势 和 非 势性 势 展 方 程 就 势 的 有 意 势 . 本 文 一 势 势势 出势 ～由势 定 从个零 曲率方 程 势 出 势 新 的非 势性 势 展 方 程 ～其 代 表 势 两: 一 是 个(H irota一SatSllln a 方 程 {291): = 告呱 x二一6翻二)+ 6vvx～(1 1) 二 一娠 。 +3u 巧 . 另个一 势 : 1 5 u Z 势二 +10 廿x 祝x 二 +5 祝u x x xx x。～ = 一粤 x x x + 1 0 u 呢 十 1 0 勺呢一 5 刃x x x ～ (1.2) = 2好 x x二二+ 5 势 v x 一 sv x u x 二+ 10 v 二秒 一 1 0 v : 二x 廿 一 1 0 u x 踢 x +2 祝x v 社～ 当 v= 0 势 ～方 程 (l.2) 化 势 势 五 势 K d V 方 程 . 接 着 通 势 迹 恒 等 式 势 出势 非 势 性 势 展 方两个 程 族 的 bi一 aln iltoll 势 ～ 势 明 势 是 构并它L ax 和 Liotl 川 le 意 势 下 可 势 的 . 文 章 共 由三 个与部 分 势 成 ～第 一 部 分 势 引 言 ～势 要 介 势 了 孤 立 子 可 势 系 势 的 势 展 势程 。第 二 部 分 我 势 具 有 位 势 的 从两个4 只4 的 势 势势 出势 ～通 势 求 解 势 定 零 曲 率 方 程 Vx ={U ～州 ～ 出 了 找Lc lla rd 算 子 势 K 一. 由斜 势 算 子 称J 的核 引 出 势 新 的 非 势 性 势 展 方 程 ～势两 分 势 势 出势 势 方 程 中 的 第 一 非 平 凡 的 势 展 方 程 。第 三 两个部 分 首 先 我 势 势 要 的 介 势 了 一 些基 本 的 念 和 定 势 。然 后 由 概K .J 是 辛 算 子 ～利 用 迹 恒 等 式 建 立 了 方 程 族 的 l～ an lilton 势 H ～ “ 祝 r H J i一H 构 . 最 后 势 出 了方 程 族 的 L ax 势 ～ 并献且 由屠 势 彰 文 !161 中 的 一 定 理 势 明 了其 个Liou vil le 可势性 . 二非势性势 展 方程 族 首 先 考 势 一 个4 x 4 势 势势 : 夕二=U 夕其 中 ～= (。1～势～。3～。4)T ～、、 ..亨.、J./、日“nU1势Un五UflI 、‘ .夕1U‘～自. v 一 入0 u0A 是常势～ 参数u ～是位势 两个. 势 了得到 与(2.1) 相势 的非势性势展方程族 ～我 势先考v 势 定 势 的零 曲率 方 程 了 ～.、J、9 ‘q‘jl.Vx = 【～V }～ V = (V :～)4火4U 即是 : Vl l二= 巧 l 一 Vl; 一 V13u V12二二 姚: 一V13(: 一 势 一V14u V13二= 巧3 一 Vl l V14二= V ” 一 V12 姚 1二二 势 1 一 姚 3u 一 势 4 姚2二= 势: 一势3(二一 势 一姚4。 (2 .3 )势 3:r = 势 3 一 姚 1 势 4二= 姚; 一 1任2 姚3二= 。V13 十 不势3(: 一 久) 一 姚1 姚4二= u VI; + 势;(: 一 势 一 姚2 势 lx = Vll + 。势 : 一 势 ; 一 。势 3 势 3二= V13 + u 势 3 一 势 1 姚 4x 二 势 ; + 11势 4 一 叭 2 姚势u 势1 + V21(V 一入) 一V33u 一V34。 (v 一久)(V22 一V33) + u (V12 一V34) 势2二二 势: + u 势: 一势3(: 一势 一势4u 工 ～～ 势且势势有 [(2.4) + (2.6)l X 委(、f+ 、2)二+委(、4一vlZ)二+姜。(。。、4一。=2一vll)+委(。一入(、。一、1)+ )‘ 乙 ‘ 乙0 (2.7) 一 今1 ‘1势【 .4) 一(2.6)1 X(2 委(、～、2)二+委(v3。一vl‘、2一。4)十委(vlZ+、=)一奥(。一*)(、～。3)一 +。 1 +“ ‘ 乙0 (2.8) 其 中 势～是 a 和 b 的 函数即 ～ Vz势Vsl3’势z势珠V1VlVal势 = d + 势 c + 2加 十 2如 b + 2 势口b 二e =U = 势a + ZOa + 2(v 一久)b 二二 C = d =Zb 二二 a = 2(v 一 入)b + 3撇 + 。a + 势c + 3口Za + 20 2～ + 2口i‘乙b O = O 。+ 。口Za + Zu (～ 久)b + (v 一 人)a + Z uod卜 = d + 3 O a + 势 e + 2口～ + Z u O 6b = 03 a + 。+ ZO Zd + 20 (v 一 入)石 = O c 十 a + Zub = O d + 。a + 2 (: 一 入)b =e +2 口b =Oa + d 把 (2.9) 代入 (2.7)～(2.8)～ (2.5) 和 (2.3) 我势就得到 灸 + 口Zb = O 6势 a + 2口3。+ 4 势 u 6 + 4 口。O b + 4 口d = 0 势a + 2势(v 一久)b + 2势d + 2口e = o (2.10) 4势a + 203。乙+ 2势。口6 + 2口(v 一入)b + 少e 一2(v 一入)O石+ 4势d 一Ze(v 一久) + Ze = o 盖[04 + 2势+ 二。+ 加}a + 3势d(2.11) + [30 (: 一入) + 势。+ 势。0 + (v 一入)司b = O 3(v 一人)a + a (v 一人)+ 。势 + 枷 02!a【 (2.12)+ !2(: 一久)0 + 2口(。一入)+ 2。(v 一入)口+ 2～口(～ 入)}6u 卜 + (～ 入)口Ze + {2。势 + 2加 口ld + 口Ze = o卜 由 (2 .10) 我 势就 可 以得 到 : e =一口乙 (2.13)d = 一昌撇 一口。石一。口b + 弄势b“ 。= 势 a 一O (v 一 人)b + 03瓦 + 口2。口b 一 美口sb‘把 (2.13) 代入 (2.10)～(2.11)～(2.12) 得: (2.14)(一昌势 + O 。+ 。口)a + (口5 一2势。一20 2。口+ 3O v + v口)b = 4久口b‘ ～ 、 ～ 05 + O～ 3～口一2口二口2 一2:‘3)a + 卜告07+ 05。+ 势。O+ 口 一势 1+ ZO u z～一 2 口祝O Zu 一 2口u 山 O + O u O ?一 、口3 + 22～往、 ‘ : 口(2.15) + 2。～口+ Zuov 一2二势u 一2。口2。口+ 。口5」石 = 久!4口a 一(2势 一4a 。一4。口)b] 其 中 (2 .12) 式 势 恒 等 式 . 即: (2 .16)K G = 入j GG = (。～句T 其 中 K 和 J 是 两个称斜 势 算子 ～ 、一{‘‘、11势1 从12)2 / K ll= 一叠03 + 。口+ 口u K 12 = 势 一 2势 u 一 2 势 u a + 3av + v a 凡 1 二 势 + 山 一 20 祝势 一 2u 势 K2 2= 一告口7+ 势。+ 。口5+ 少。a + 如少一势v 一u 口3 + Z v 口祝+ Zu v a + Zu 山 + 2而 v 一 Z u 势 u 一2势势 u a 一 2口势口Zu 一 2而 而 a 4口/ 0 J = ! 4 u 口 + 4 口u、4口 一2 势+ 假势 勿久一少(2.17)势a =势 aj入一～ 6 =j 势0了全0 把 (2.17) 代入 (2.14)～(2.15) 比势 入等式两数端 同次势系得 : 妒 :J G O = 0 (2.18) 入一～:K 几 = J q 十l j 全0其 中 吼 二 (aj～bj)T . 容易得到: 址rJ = {a 。夕。+ ‘。如IVa 。.‘。任R }其 中: (2.19) 势 了得 到 (2 .18) 式 的一 般 解 ～引势 势 两Le n ard 势 推方 程 : K gj = J 势+ ～? gj}(。.二)一(0.0)= 0 ～7 七 0(2 .20) K 势 = J 夕介 1? 势}(。.。)一(0.0)= 0 ～j 全 o 初始条数 件是势 了保势在 出势势分 势～势分常取势零 . 因此 势 ～势 是 唯一定 的确. 例如 ～从初势和势推势系式 (2.19)～(2.20) 可以得 出: 壳(。xxx二+ 2:vx二+ 10～3 一12。～ 1oou二一su呈)卜 告(ux二一3。～+ 6”) .一 万UX 士一302 + Zv)!、了粤u任 因势方 程 J G 。= 0 有 特 解 : G 。= ao go + 扁 如(2.21) 故 函数 (2.22)几 二aogj + 扁房 也 势足 L cnard 势推方程 (2.18) ～其 中 a 。～ 扁 势任意常数. 假势 y 势 足势 势势 (2.1) 和相势的势 势势展式 (2.23)。‘= V (‘。 v (斑) = (入川v )十 m 全。了) 其 中 + 表 示 入的非 势次势 ～由 (2.1) 和 (2.21) 的相容件条势生 了零 曲率方程 Ut_ 一势tn) 十!酥V(m)]= 0此 是 非势性 势展 方 程族 即: (2 .24 )～～～:～.)T = 瓜 ～ 二 全 。: 。 其中 凡 = K q= jGj + 1 .～全 O～ 下 面 分 势 势 出势 势 方 程 中的 第 一 非 平 凡 方 程 两个:第一势 :(取 a 。= 1.势 = 0) ～。 告(。xxx 一6。。x) + 6、～= :x(2 .25) t。 =一 仁既 x 十 3 u 七二 第二势 : (取 a 。二势‘。= s) 呢叭甄(2.26) 势 tl= 一告uxxxx二一15势。二+ 10u二ux二+ 5耽~ + 1 0 势v 二+ 1 0 v 祝二一 5 ～～x二～ (2.27) 势t l=2 势 二 x 二十 s u Zv 二一 5 呢呢 二+10 vxv 一 1 0 势 xx u 一 1 0 u x 呢 x +2 势二勺u ～ 当 亡 = t 势 由 (2 25) 式我势就可 以得到方程 (1.1) . 当 tl = t 势 由 (2.27) 式我势就可 以得 到方程 (1.2) . x 。 10 三bi一am ilton 势 可 势 性构与 迹 恒 等 式 是 造 构H am ilton 势 的一 势 有构效 的方 法 ～利 用 势 势 方 法 ～ 已势 势得 势 多 可 势 系势 的 H am ilton 势 ～如 构TA 族 ～ T C 族 ～ A K N S 族 ～ K N 族 ～ W K I 族 等 . 势 势 的势势在于势找称斜势 算子 J 和一列势量 函数 {Hn } ～使得 Ut_ 一势m)+ !以v (m)]= o能被映成 H am ilton 形式: 二。一J势 其 中: a立 _止皿 _(3.1)占u 一占u ‘ 一(a 一念～{” ”‘～)? tz 空 势～定 势 S M势 了 述方叙几个概便 ～我 势先介 势 念 .令 S 是 R 上 的 S ch~=S S … 5 .?? 一势势出了 SM 上的u (x ～t) = (u l(x ～t)～uZ(x ～t)～… ～二。了(x ～t))T 算子 任s M a～(x ～t 〔R ).一势等价势 系 : (3.2)f 、g 份 弘 ?使得 .f 一g 二Oh(.厂g‘h 任夕 ‘)我 势 将f 的 等 价 势 势 势 了f dx. 假 势 S 势 上 的任 意 函数 f ～ g 势足 下列 条件 : (f～g) = f 势 dx = 了势势势dx (3.3) 了f dx 二 {f + a川h 任s 材} 定势 1 : 一势性算子 个J = J(司:S M * 夕了势称辛算子 ～如果势足 :(1)J 势斜势 算子 ～ 称即J* = 一J: (2)(J～。)!J f}夕～h) + (J ‘。)【夕lh .f ) + (J ‘。)【h」～夕) = 0. H其中 j’。)[fl 二釜J(。十介)l。一0 势 G iltctl。二势数.定势2 :如果J 势辛算子～可定势Pois、n 括号: {f～} 一(豁～韶)?特势的～ {j’～} 一o 势 称f～是势合的. 而方程 称11～= j黔 势势 广H am ilton 方程～H 势 H am ilton 函数. 定理: 势 工L 是 S “ 、 S 势 的 势 性 算 子 ～若 两个: 势 斜 势 算 子 ～称即 J ‘= 一 J ～ L ‘了 = J L:(l)J 势 (一口)(n)a u (”) ～。性 几u～ ( ( J ( J f ( 。 J 若 。 g (2) 存在一列势量函数 {Hn } ～使 O 了未～(。。sM势 是方程族 从u‘= J L ”f(u) 的守恒量 ～且 {从 ～Hm } = o 势 了建 立 非 势 性 势 展 方 程族 的 H am ilton 势 ～我 势构首 先 势 算 下列 式 子 tr(V 器) = 一V2。一 2石 (3.4)tr(V 瓮) 一姚4+ V13一Za tr(V 瓮) 一V2。一Zb 由迹恒等式 }1司 一l～势TV(3.5) 可得 : (3.6)(势～ )‘一2“l、一。一}“一(最)“一](Za～“、一。 (3.7)(势～势)‘一Zbl。。。一{“一‘(势)“‘](Za～Zb)l。。。其 中 :l ～ E: 是 待 定 常 数. 通 势 比势 厂j一‘两数 势 的系 我 势得 : (3.8)一(势～粼0j+ 1}d0一。一(:～一j)( aj～ d0一。～ j 全0 (3 .9)一(势～音)巧十1la。。一(:～一j)(aJ～)la。。～ j 七o势 了得 到 : 1～ 的 势 ～在 上 面 的 式 子 中 我 势 固 定 j 二 0 ～容 易 算 出 : 。_ 3。 _ 1(3 .10) 因此 我 势推 出 (3 11)矗～ T势 一仇～ “全o 其 中: 曰 _ 4 人 1 1 4 不、 l(3 .12 )1势j 一 万 而 叮+ 1 1百。二吸丁 jj i )均 + 1 1“0二‘ :?。)一擎) 即0卜 磊)tr(v豁卜!*一(晶)“!(tr(V豁) 去 r( ) 2 )} r( ) ～ ～ 一 势 一 勿 一 :: 势一 一 可。2 一 一 万 知 J ～ 由此 我 势得到方程族 (2.24) 的 bi一H o ilton 表示 : / 二～ \/ 占/。。\了占/‘二\ l一‘ l = K!‘I H ”1 = J !‘l 耳 n+ 1(3.13) 、“～。/、百/百‘/火占/占～v/ 势 是方程族 即(2.24) 的 bi一 am llton 势构. 例如方程 (2.25) 可作 写: (3.14) (势)一(:{::其中: H0 = 岩叭二一盖势+ v. 下面我势势出 (1.1)～(1.2) 的 L ax 势. 当 势 = 0 势～ 从g0 = (一。～l)T 我势可以得到: ao =一ubo =1(3.15) C0 =0do =1 2 势二eo 因此 有 :段～衅 vz(z0vsva(a0 V (0) = 衅 ～= 合。二 vl(z0 ～一 v二 vl(s0 ～一 。 vl(.0 ～一z(v 一势 衅 ～一0嚼 ～一告ux vz(s0 ～一2 vz(#0 ～一 “ (3 .16)衅 ～二 蜡 ～一 妻材v.(s0 ～一。心 ～二巧 ～衅_ U x嘴 ～二峭 ～= 畏。‘一+ 2 (、～一 入) 一 u Z 因 此 (1 1) 的 L ax 势 势 : (3 .17)势二= U0 势yt 一 M y + N yx ～、lq1l‘‘势、_ 厂一。 :(:一 ～) 、往了一 t ’u君一 入一一八了势}N 二} }O)机/\ 2 一“ / 13 _ ～ H .、.了、/vlvs(l0心 v.vsvlvzv1(a0\v.vssv1一二～+ 告。x二+ 2(:卜 *) vs(z0 = 。(: 一入～) 一:1二:r ‘ r。乙 一一 势 、J.才、/、.势、/T " 当 a 。二0 势～由 如 = (1～0)T 势 由 (2.20) 我势得到: 会(Zv 一3u2+ 口2。) 势。 把 上 面所 求 代 入 ( 2.13 ) 式 我 势可 以得 到 c～ = 一告。 d～= 一势03u + 音uau 一晋。口v e～二毒势。一羞而(。一入) 把 al～bl～el～dl～el 势入 (2.9) 式～ 当m = l 势我势就可 以求 出 v (～) 心 哈 嘴 咭vl(lvs z(l嘴va 哈端嚼 哈心峭v 暇 V (1) = 其中 哈 ～一 矗0su 一势势。+ 孟山 + 晋u如 vl(zl ～一 去孔 一告武卜 入)。 峭 ～一 壹势。一音势十势: 咭 ’一 看(少u 一3a～～+ 2势v)+ 去(势。一3口u～+ 2”v)+ 委。(v 一“)u 哈 ～一‘一告。 嚼 ～- 一势。壳+ 如枷 一葺。 势 ～一 告u 势 ’一 旨(o～一3、2+ 2～u )～ 嚼 ’一 矗势。一势。3～一誉OZu 一普。～+ 曾aoauv 十告u(一 勺 + 音u0 2。一晋势 + 去二 嘴 ’一 势势、一去(o～ 一‘～一2:)(～ ‘)一势u”二～ 。 ～ 卜 14 一一婆。O 往哈晶势。+ 琶山 一势势。-己 一势势: + 告0(: 一势“ 去:+ 吉势。一羞山 + 告势 一壳少。+ 晋Ou口u 一音O～+ 势u(v 一入)+ 去(。口～ 一3u3+ Zvu 一奇。+ 盖加 壳叠势。一去枷 一势。 因此 (1.2) 的 L ax 势 势 : (3.18)yx二二 Uo y～ y t = M 夕 + N 势 势、牡一U0‘一‘(一‘势)11 0 己 /～u / \ 任 一 曰(口2。一 30 2 + 2:、 势(势 u 一3口202 + 2势:) + 粤(势 。一 3加 2 + 2加 、+ 畏u (v 一 入)N= 如 告(O～卜 3u～+ 2‘同理 可 以求 出所 有 的 V( 叫 . 得 到族 中任 一 方 程 的 L ax 势 . 势 也 势 明 了方 程 族 是 在 L 缸 意 势下可势 的. 下 面势 明非 势性 方 程 族 ( 2 .24 ) 在 L iou ville 意 势 下 是 可 势 的 .由 ( 2.26 ) 我 势得 到 : (3.19)q 十～= L 势L = J 一～KJ 是 可逆 的 ～且 口、 一1 0 、 ～ 伙一一J O 其 中 K 和 J 都 是 斜 势 算子 势 称足 : K 串=一KJ * 二 一。(3 .20) 并 且 由 K = J L 我 势得 到 (J 助 ’二 L* .I* = 一L* J 一 一J L ～ 因此 : J L二 L *J(3 .2 1) 势心势15 : .吸.、/ 。一入、 了典势。 去势。十着加 -+ 昌tL加势 ”} M 一} ‘粤u一尖势 势+ 婆势而 一 要口v ～ 只 11 、 ～ O 、 ～ 任 、 ～ ‘!、 )～ 势1.了、/ 一势口一’(一2口3 + 40 0 + 4口。)口一’ 粤O 一‘ )势口 J 下 面我 势势 明 J 是 辛算 子 . 势然 J 是 势 性 算 子 ～且是 斜 势 算 子 ～势 称只需 要 势 明下 式成立: (J (s)!J f]9.h)+ (J (s)[Jg]h～f)+ (J (5)[J h]f～g) = o(3.22)其 中: f = (fl～f2)T ～g = (91～92)T ～h = (h l～hZ)T . 事势上: (J (s)[J f]夕～h) = 了16[(口f2x 臾)h: + (fZxogZ )hZ]dx = 16 了(fZxx夕2h2 + ZfZx势二hZ)dx (J～、)IJ夕]h～f) = 了16[(O夕2二hZ)儿+ (臾二ahZ)f2!dx = 16 f (92二二hZfZ + 2甄 hZ二f2)dx (J (s)[ h]f～) = j 16{(口hZ二f2)势 + (hZx口f2)夕2]dx = 16 了(hZx二九夕: + 2h2二fZx夕2)dx因此 我 势有 (J (s)【f{夕～h)+ (J (s)!J夕{h .f )+ (J (s)【h}f～夕) = 16 f [(f2汪.夕2h2 + 夕ZJ二h2j’ h、xfZ夕2) + 2(hZ二～儿夕: + 夕2:.hZ二 儿+ 儿x夕ZxhZ)}dx . = 16 ) 势(f2夕2h2)dx = 16口(fZgZhZ) 在 等 价势 系意 势 下 ～上 面 等 式 势果 势零 ～ ( 3.21 ) 式成 立 . 势 势 明 了 即J 是 辛 算 子 .由此 得 P ossion 括 定 势 势 号: {f～夕}(3.23)同理 可 势 得斜 势 算 子 称K 势 辛 算 子 . 从 ( 3 .10 )～ ( 3 .18 ) 我 势 得 到 : ‘、了、尹、.、、 .、、.Z口一才口LU刃 祝月l丫工U..H ～=KJ拭 :+ 1 因此 : 、、 .矛.势、 .UtJ/‘～H11 :+l = J 一IK= L G 。= 尸 以 ～1 - 一 一尸 Gl百/百、‘ ‘ ‘ ～ ( ‘ J 夕 ‘ J ‘ ‘ J 。 +z .、.甩了、/.、.、/、声/、.夕/./声.势 口势入f了 了势z人/ 戈尹势/J/又曰口万了V1 //～...、/、、口、～/.口 了势势口势势了 一～ L 了 (、) = 占H ;‘占、 3 = (二～。)了’ (3.24)、夕.aU1 1入 f (s) 由上面的势势和一定理 个1～我势就得到 {从 } 是方程族: (3.25)u之= J L 几f (s)的 一 列 守 恒 密 度 ～且势 足 势 合 条件‘f / {从 ～氏 } 二0.矛/. !/、 P nisson 括 由 号( 3 .24 ) 定 势 ～所 以方 程族 ( 2.24 ) 是 在 L iou ville 意 势 下 可 势 的 . 参献考 文 【 入1. J.A blow itz～P .A .C larkson ～C am bridge U n iversity P ress. 199 1.11 {21 C . H . G u ～B . L . G uo～Y . 5. L i～C . W . C ao～C . T ian～G . Z . Tu ～. 5. H u ～M . L . G e～N ew YO rk.H S P rin g er一、乞rla g ～19 9 5 . !31 C . RO 势rs～W . K . Schief～C am bridge U niversity P ress～C anlbrid ge 势 xts in A p plied m athem atics～ 2002. [4】M .J.A blow itz～H .Scgur?hiladelphia SIA M ;1981.P 【』5. P. N ovikov～5. V . M anakov～L . P . P itaevskii～V . E . Z akharov N cw Yo rk : C onsultants B ureau :5 19 8 4 . 6} 入1.J.W adati P hys Soe Jpn 34(1973)1289 .【 7} 入1.从乞dati～K . K onno～Y . H .Iehikaw a J p hys Soe Jp n 47(1979)1689.【 [81 M .V 抽dati～H .Sanuki～K .K onno P rog T hcor P hys 53(1975)4 19. [例 V .B .M atveev.M .A .Salle～B erlin : Springer:2991.101 C .H .G u bcrlin:Springer: 1995.【 !11』D .L evi Invcrse P rob I4(1988)165.rr‘～..L.LJ...11.一 jq且‘nX . G . G e～ J P lly s A : 入Ia l五 G en 36 (2003 )228 9 .29 G . 2 ～1 ’ J P I～?A : 入Iatll G 。～2 3 (1990 )3903u 势s 141 G . 2 . 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