经典例题透析
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类型一:考查不等式的性质
1、判断正误.
(1)若a>b,则ac2>bc2.( )
(2)若ac2>bc2,则a>b.( )
(3)若ab>c,则a>.( )
(4)若a-b>a,则b>0.( )
(5)若ab>0,则a>0,b>0.( )
思路点拨: 判断时,要先弄清楚它是以哪条不等式性质为依据的,特别注意的是不等式两边同时乘(或除以)的数或式子的正负.
解析:(1)×.当c=0时,ac2=bc2.(2)√.此题c≠0.(3)×.当b<0时,a<.(4)×.根据不等式的基本性质1,不等式两边都减去a,不等号方向不改变,所以a-b-a>a-a,即-b>0.再根据不等式基本性质3,不等式两边都乘-1,不等号方向改变,即b<0.(5)×.ab>0,则a>0,b>0或a<0,b<0.
总结
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升华:要特别注意在不等式的两边都乘或除以同一个数时,必须先认清这个数的符号,如果这个数是正数,那么不等号的方向不变;如果这个数是负数,那么不等号方向改变,另外,在不等式两边不能乘0,乘0后不等式变为等式.
举一反三:
【变式1】 如果a2x>a2y(a≠0),那么x_______y。
【答案】>
解析:因为a≠0所以a2>0,故x>y。
【变式2】如果ax>b的解集为x>,则a_____0.
【答案】>
解析:由于ax>b的解集为x>,∴a>0
【变式3】a是任意实数,下列判断一定正确的是( )
A、a>-a B、<a C、a3>a2 D、a2≥0
【答案】D
解析:数a可以是一个正数、零、负数,当a为零时,A、B、C均不成立,
而任意数的平方都是非负数,a2≥0.
【变式4】如果a<b<0,那么( )
A、 B、ab<0 C、>1 D、<1
【答案】C
解析:因为a<b<0,取a=-2,b=-1,由此,,知A不正确;
又ab=2>0,,B、D不正确,所以正确答案为C。
类型二:求不等式的解集
2、解不等式:,并把它的解集在数轴上表示出来。
思路点拨: 按基本步骤进行,注意避免漏乘、移项变号,特别注意当不等式两边同时乘以或除以一个负数时,不等号的方向要改变。
解析:
去分母,得2(2x-1)≤6-3(2x+1)
去括号,得4x-2≤6-6x-3
移项, 得4x+6x≤6-3+2
合并同类项,得10x≤5
系数化为1,得x≤
这个不等式的解集在数轴上表示如图:
总结升华:注意解一元一次不等式的一般步骤是:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)化未知数的系数为1。同时注意每步的易错点。
举一反三:
【变式1】若,,问x取何值时,?
解析:∵,,
若,
则有
即
∴当时,.
【变式2】求不等式的正整数解
解析:去分母:2(3x-1)≤12-(4-2x),
去括号:6x-2≤12-4+2x,
移项,合并同类项:4x≤10,
系数化为1:.
因为小于的正整数只有1和2,
所以原不等式的正整数解是x=1或2.
【变式3】解不等式:.
解析:去分母,得24-2(x-1)≥16+3(x+1),
去括号,得24-2x+2≥16+3x+3,
移项,得-2x-3x≥16+3-24-2,
合并同类项,得-5x≥-7,
把系数化为1,得x≤.
把这个不等式的解集表示在数轴上,如下图所示.
【变式4】解不等式:,并在数轴上表示它的解集。
解析:去分母,得6x-(7x+8)≤6+3x
去括号,得6x-7x-8≤6+3x
移项,得6x-7x-3x≤6+8
合并同类项,得-4x≤14
系数化1,得x≥。
不等式的解集在数轴上表示为如下图
类型三:构建不等式求解
3、a取什么值时,由方程3x-2=a解得到的x值,
(1)是正数?(2)是0?(3)是负数?
思路点拨:这是一道既涉及方程,又涉及不等式的综合题,它可以分为如下四个“小题”:(1)解含有字母系数的方程3x-2=a,求x的值.(2)a取什么值时,x的值是正数?(3)a取什么值时,x的值是0?(4)a取什么值时,x的值是负数?
解析:解方程3x-2=a,得.
(1)根据题意,解不等式,得a>-2.
所以,当a取大于-2的值时,x的值是正数。
(2)根据题意,解方程=0,得a=-2。所以,当a的值为-2时,x的值是0.
(3)根据题意,解不等式<0,得a<-2.
所以,当a取小于-2的值时,x的值是负数。
总结升华:由上述可知,
数学
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综合题可以看成是几个互相关联的“小题”组合成的一个“大题”.解题时,应当先对综合题进行分析,把它分解成几个互相关联的“小题”,并逐一解答这些“小题”,然后把分析所得的结果综合起来,从而求出综合题的答案.
举一反三:
【变式1】当x取什么值时,式子的值为(1)零;(2)正数;(3)小于1的数。
解析:用执果索因法可得:
(1)=0 解得:x=2,所以当x=2,为零;
(2)>0,3x-6>0,∴x>2,所以当x>2,为正数;
(3)<1,即3x-6<5,也即3x<11,∴x<,所以当x<时,小于1.
【变式2】当x取哪些正整数时,代数式的值不小于代数式的值?
解析:根据题意,列出不等式≥。
解这个不等式,得x≤4。
∴当x取正整数1、2、3、4时,代数式的值不小于代数式的值。
类型四:不等式的实际应用
4、为了能有效地使用电力资源,某市电业局从今年1月起进行居民峰谷用电试点,每天8:00至22:00用电千瓦时0.56元(“峰电” 价),22:00至次日8:00每千瓦时0.28元(“谷电” 价),而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时0.53元.当“峰电”用量不超过每月总电量的百分之几时,使用“峰谷”电合算?
思路点拨: 一元一次不等式应用题的解法与列一元一次方程解应用题基本相仿,关键是找出不等关系,列出不等式,即可求解。
解析:设当“峰电”用量占每月总用电量的百分率为x时,使用“峰谷”电合算,月用电量总量为y。
依题意得0.56xy+0.28y(1-x)<0.53y.
解得x<89℅
答:当“峰电”用量占每月总用电量的89℅时,使用“峰谷”电合算。
总结升华:寻找不等关系是解决应用问题的关键
举一反三:
【变式1】工程队原
计划
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6天内完成300土方工程,第一天完成60土方,现决定比原计划提前两天超额完成,问后几天每天平均至少要完成多少土方?
【答案】设后几天每天平均完成x土方,根据题意,得
60+(6-1-2) x≥300
解之得x≥80
答:每天平均至少挖土80土方。
【变式2】张玲有1元和5角的硬币共15枚,这些硬币的总面值大于10.5元。问张玲至少有多少枚1元的硬币?
思路点拨: 以“硬币的总面值大于10.5元”为不等量关系,列不等式。
解析:设张玲至少有x枚1元的硬币,根据题意,得
x+0.5(15-x)>10.5,解这个不等式,得x>6。
所以张玲至少有7枚1元的硬币。
【变式3】将一箱苹果分给若干个小朋友,若每位小朋友分5个苹果,则还剩12个苹果;若每位小朋友分8个苹果,则有一位小朋友分不到8个苹果,求这一箱苹果的个数与小朋友的个数。
解析:设有x个小朋友,则苹果为(5x+12)个,
根据题意,得0<8x-(5x+12)<8。
解这个不等式组,得4<x<。
因为x是正整数,∴x取5或6。
当x=5时,5x+12=37。
当x=6时,5x+12=42。
答:如果有5个小朋友,则苹果有37个;如果有6个小朋友,则苹果有42个。