高 三 物 理（第7周）曲线运动万有引力

高 三 物 理（第7周） 第四章 曲线运动 万有引力 【知识内容及高考要求】 1.(B)曲线运动中质点的速度沿轨道的切线方向,且必具有加速度. 2.(B)平抛运动. 3.(B)匀速率圆周运动,线速度和角速度. 周期. 圆周运动的向心加速度a=. 向心力. 4.(B)万有引力定律. 5.(B)宇宙速度,人造地球卫星. 万有引力定律的应用. 说明:(1)不要求会推导向心加速度的 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 a=. (2)有关向心力的计算,只限于向心力是由一条直线上的力合成的情况. 【内容概要及考查特点】 本章内容是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用.万有引力定律是力学中一条独立的基本定律.复习好本章的概念和规律,将加深对速度、加速度及其关系的理解，加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿定律解决实际问题的能力，同时为复习带电粒子在电场或磁场中的运动做好必要准备。 平抛物体运动的规律及研究方法、圆周运动的角速度、线速度、向心加速度和万有引力、人造卫星都是近年高考的热点。由于航天技术、人造地球卫星属于现代科技发展的重要领域，所以近些年的高考对万有引力、人造卫星的考查每年都有。平抛运动、匀速圆周运动还经常与电场力、洛仑兹力联系起来进行考查。所以对本章的复习要给予足够的重视。 【知识点析及素质训练】 一、曲线运动的基本概念 [知识点析] 1、物体作曲线运动的条件及其速度、加速度的方向 物体做曲线运动的条件是所受合外力不为零，合外力的方向与速度方向有一个不为“0”，也不为“180”的夹角。 2、曲线运动的特点： 曲线运动跟直线运动的明显区别是它的速度方向时刻在变化，因此，做曲线运动的物体必有加速度，而且同一时刻加速度和瞬时速度的方向必不在同一直线上。 3、曲线运动的分类： 曲线运动的分类：若力是恒力，物体做匀变速曲线运动，这时物体加速度大小，方向保持不变。比如平抛运动；若物体受的力是变力，则做变速曲线运动，比如匀速圆周运动。物体做曲线运动，它在某一点（或某一时刻）的即时速度方向指向曲线的凹的那边，加速度方向与速度方向夹角大于900，物体速率增大；加速度方向与速度方向夹角大于900，物体速率减小。如图4-1中P、Q点所示。将道的分量改变速度方向，加速度由物体所受合外力唯一决定，这就说明，为什么力与速度方向不在同一条直线上是物体做曲线运动的条件。 [例题析思] [例题1] 关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下列说法中正确的是 （ ） A、一定是直线运动 B、一定是抛物线运动 C、可能是直线运动，也可能是抛物线运动 D、以上说法都不对 [析与解] 合运动的性质和轨迹也应当由合运动的初速度v和加速度a来确定。两个运动的初速度的合成、加速度的合成如图4-2所示，当a与v共线时，物体作直线运动，当a恒定与v不共线时，物体作抛物线运动。由于题目没有两运动的初速度和加速度的具体数值及方向，所以，以上两种情况都有可能，故正确选项为C。 [思考1] （91年上海）如图4-3甲所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受的力反向而大小不变（即由F变为-F），则在此力作用下物体以后的运动情况，下列说法中正确的是 （ ） A、物体不可能沿曲线Ba运动 B、物体不可能沿直线Bb运动 C、物体不可能沿曲线Bc运动 D、物体不可能沿原曲线B返回A [提示] 根据曲线运动的特点可知，物体在A点的速度vA沿A点的切线方向，物体在恒力F作用下沿曲线AB运动，此力F必然有垂直于vA的分量，即F只能为图乙中所示的各种方向之一；当物体到达B点时，瞬时速度vB沿B点的切线方向，这时受力F’=-F，即F’只能为图乙所示方向之一，故物体以后只能沿曲线Bc运动。此题正确选项为ABD。 【素质训练】 1、关于曲线运动的几种说法，正确的是 （ ） A、曲线运动一定是变速运动 B、变速运动一定是曲线运动 C、曲线运动一定是变加速运动 D、变加速运动一定是曲线运动 2、关于互成角度的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动，下列说法中正确的是 （ ） A、一定是直线运动 B、一定是曲线运动 C、可能是直线运动，也可能是曲线运动 D、以上说法都不对 3、物体受到几个恒定外力的作用而处于平衡状态，如果撤掉其中一个力（其它力保持不变），则它可能一直作 （ ） A、匀速直线运动 B、匀加速直线运动 C、匀减速直线运动 D、匀变速曲线运动 4、一物体由静止开始自由下落，一小段时间后突然受一恒定水平向右的风力的影响，但着地前一段时间风突然停止，则其运动的轨迹可能是如图4-4所示中的哪一个？（取向右为x轴的正方向） （ ）                 二、平抛物体的运动 [知识点析] 1、条件：（1）具有水平方向的初速度；（2）只受重力作用。 2、性质：（1）加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动； （2）平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，这两个分运动是相互独立的，其中每一个分运动都不会因另一个分运动的存在而受到影响。 3、处理方法： 工 （1） 建立直角坐标系（一般以抛出点为坐标原点0，以初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向）； （2）由两个分运动来处理。                       4、规律 图示 物理量 X向分运动 Y向分运动 合运动 速度 Vx=V0 位移 Sx=V0t 5、平抛运动的轨道是抛物线，轨迹方程为：。运动时间为，取决于下落的高度，而与初速度大小无关。水平程SX=V0t，取决于下落的高度和初速度。 【例题析思】 [例题1] 一个学生在做平抛实验中，只画出了图4-6示的一部分曲线，他在曲线上任取水平距离均为△S的三点A、B、C，并测得△S=0.2m，又测出它们竖直之间的距离分别为S1=0.1m、S2=0.2m利用这些数据，这个学生求得物体抛出时的初速度为 m/s， 物体到 B点的竖直分速度为 m/s，A点离抛出点的高度为 m。 [解析] 根据平抛运动规律有物体从A B和从 B C的时间间隔相等。设此时间间隔为T，则从A B和从A C分别有： S1=V1T+1/2gT2 ………………………………………………① S1+S2=V1·2T+1/2g(2T)2 ………………………………② 式中V1为A点的竖直分速度,将①×②得: 2S1=2V1T+1/2×1/2gT2 ……………………………… ③ ②－③得:0.1=2×1/2gT2 则可得T=0.1s V1=0.5m/s 从A B(竖直方向)有V1’=V1+gT=0.5+10×0.1=1.5m/s。从开始运动到A点,在竖直方向有 V12=2gs ,可得:S=V12/2g=0.0125m. 在水平方向有:△S=V0T,故速度V0=△S/T=0.2/0.1=2m/s. [思考1] 如图4-7所示,为一小球作平抛运动的闪光照片的一部分,图中方格每边长为5cm,g=10m/s2,求小球的水平分速度和小球在B点时的竖直分速度. [提示] 据闪光照片时,闪光周期T是不变的,即小球由A到B到C用的时间tAB=tBC=T.因为小球在竖直方向为a=g的匀变速运动,又tAB=tBC,在竖直方向有△y=yBC-yAB=gT2,而yAB =5cm/格×5格25cm;yBC=5cm/格×7格=35cm代入△y=gT2 公式得出闪光周期T=0.1s.小球在抛出时初速度为V0=XAB/T=2m/s,小球在B点时的竖直分速度VBy 等于小球通过A、C两位置的竖直距离的时间中点的平均速度，即：VBy=yAC/2T=3m/s [例析2] 平抛一物体，当抛出1S后，它的速度方向与水平方向成450角，落地时速度方向与水平方向成600角，如图4-8所示。则： （1）落地速度V2’是多大？ (2)水平射程Sx是多大? [解与析] 由题意知:在1S时,V1与水平方向成450角,则Vy1=V0,如图4-8所示,所以V0=Vy1=gt=10×1=10(m/s).落地时的速度由图4-8知,V2’=V0/cos600=20(m/s).因为落地时的竖直分量 Vy2’ 是: Vy2’ =V2’·sin600=20×=(m/s),由Vy2’2 =2gh,故h= Vy2’2 /2g=300/20=15(m),又因为h=1/2gt2,所以t=(s),故水平射程Sx=V0t=10×=17.32(m) [思考2] 如图4-9所示,斜面倾角θ=300,将一个小球自斜面的O点以初速度V0水平抛出,它恰好落在斜面底端P点,则位移SOP是多大? [提示] 运用平抛运动规律有SxP=V0t,SyP=1/2gt2, , t=, SxP=V0t=, SOP=                 [例题3] (91年全国)如图4-10甲所示,以9.8m/s的初速度v0水平抛出的物体,飞行一段时间后,垂直地撞在θ为300的斜面上,可知物体完成这段飞行的时间是 ( ) A./3 B.2/3 C. s D.2s               [解与析] 物体作平抛运动,可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，当物体落到斜面时，其竖直分速度vy=gt，水平分速度仍为v0。又由曲线运动的特点可知，其合速度与斜面垂直，画出速度分解的矢量平行四边形（图乙），由图可知： 两分速度关系为vy=v0ctgθ,即gt=9.8ctg300,可解出t=s,故C选项正确. 2.在竖直方向熟练运用匀变速直线运动公式和特点来解题，如“平均速度求位移公式”、“某段时间中间时刻的瞬时速度等于这一段时间内的平均速度”等。 [思考3] 在“研究平抛物体运动”的实验中，某同学只记录了小球运动途中的A、B、C三点位置，取A点为坐标原点，则各点位置坐标如图4-11所示，g取10m/s2，那么： （1）平抛初速度是多少？ （2）小球抛出点的位置坐标是多少？ [提示] 物体作平抛运动。 （1）由竖直方向的自由落体运动有： △y=g△t2,即(25-15)×10-2=10△t2,解出△t=0.1(s). 再由水平方向匀速运动有: v0==1(m/s). (2)由竖直方向的自由落体运动有:vBy==2(m/s). 又: vBy =gtB,代入数据有tB =0.2(s). 所以,yB=gtB2=0.2(m)=20(cm). 再由水平方向匀速运动有:xB=v0tB=0.2(m)=20(cm). ∴小球抛出点的位置坐标是x=-10cm,y=-5cm.   [素质训练] 1.物体在平抛运动的过程中,在相等的时间内,相等的物理量有 ( ) A.位移 B.加速度 C.平均速率 D.速度的增量 2.(97年上海)在一次 “飞车过黄河”的表演中,汽车在空中飞经最高点后在对岸着地.已知汽车从最高点至着地点经历的时间约为0.8s,两点间的水平距离约为30m,忽略空气阻力,则汽车在最高点时的速度约为 m/s. 3.(89年全国)一架飞机水平地匀速飞行,从飞机上每隔1s钟释放一个铁球,先后共释放4个,若不计空气阻力,则四个球 ( ) A.在空中任何时刻总是排成抛物线,它们的落地点是等间距的 B.在空中任何时刻总是排成抛物线,它们的落地点是不等间距的 C.在空中任何时刻总是在飞机的正下方排成竖直的线,它们的落地点是等间距的 D.在空中任何时刻总是在飞机的正下方排成竖直的线,它们的落地点是不等间距的 4.在高为H处将一个物体以初速度v1水平抛出,与此同时,地面上有一个小球B,以速度v2竖直上抛.两球在空中相遇,则 ( ) A.从它们抛出到相遇处需的时间是H/v1 B.从它们抛出到相遇所需的时间是H/v2 C.两球抛出时的水平距离为v2H/v1 D.两球抛出时的水平距离为v1H/v2 5.水平抛出一物体,在(t-1)s时的速度方向与水平面成300角,在ts时速度方向与水平面成450角,则时间t= s.     6.在 “研究平抛物体运动”的实验中,用一张印有方格的纸记录轨迹,小方格的边长L=1.25cm.若小球在平抛运动途中的各个位置如图4-12中的a.b.c.d所示,则小球平抛的初速度的计算公式为v0= (用L、g表示)，其值是 。 7．从高为H的地方A平抛一物体，其水平射程2S，在A点正上方的高为2H的地方B，以同方向平抛另一物体，其水平射程为S。两物体在空中运行的轨道在同一竖直平面内，且都从同一个屏的顶端擦过，求屏M的高度。   三、匀 速 圆 周 运 动 [知识点析] 1、物体作匀速圆周运动的条件 （1）具有大小不变的合外力F。 （2）具有大小不变的速度v。 （3）F的方向与速度v的方向始终相互垂直。 （4）设物体的质量为m，轨道半径为r，F的大小必须满足关系式： F=m。 以上几个条件必须同时满足，物体才能作匀速圆周运动。 ①如果物体所受的合外力突然撤去,物体将沿轨道的切线方向作匀速直线运动; ②如果合外力的数值减小或速度增大(F< m),物体将作离心运动; ③如果合外力的数值增大或速度减小(F> m),物体将作向心运动. 2.描述匀速圆周运动的物理量. 图示 物理量 单位 公式 周期(T) S T=1/f 频率(f) HZ f=1/T 线速度(V) m/s V=,v= 角速度(ω) rad/s , 向心加速度(a) m/s2 ,a= 向心力(F) N F= 说明： （1）a=或a=，注意这两公式的区别，a=表示当v一定时，a与R成反比；a=表示当ω一定时,a与R成正比.在比较两质点向心加速度大小时,当两质点的v相同时用a=;当两质点的ω相同时用a=.由于v=ωR,所以a=Vω,即a总是跟v与ω的乘积成正比. (2)匀速圆周运动的向心力 ①性质：向心力不是按力的性质命名的力,即它不是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等以外的一种力。分析作圆周运动的物体的受力情况时，只分析按力的性质命名的力，决不能在分析场力、弹力、摩擦力的同时，再考虑向心力，作匀速圆周运动的物体的向心力是它所受外力的合力。 ②作用效果:产生向心加速度,以不断改变物体速度的方向,维持物体作匀速圆周运动. ③大小计算公式:F=ma=m=mω2r=m()2r=m(2πf)2r. ④方向:总是沿着轨道半径指向圆心(时刻变化),时刻与线速度方向垂直. ⑤向心力的方向总是与线速度方向垂直,所以它不对物体做功. [例析1] 如图4-13示,传动轮A、B、C的半径之比为2：1：2，A、B两轮用皮带传动，皮带不打滑，B、C两轮同轴，a、b、c三点分别处于A、B、C三轮的边缘，d点在A轮半径的中点。试求：a、b、c、d四点的角速度之比，即ωa:ωb:ωc:ωd= 线速度之比,即va:vb:vc:vc= ;向心加速度之比,即:aa:ab:ac:ad= . [析与解] 因为v=ωR,所以在线速度相等的条件下,角速度与半径成反比,在角速度相等的条件,线速度与半径成正比,用皮带传动的A、B两轮，皮带不打滑，两轮边缘各点的速度相等，在同一转动物体上，各点的角速度相等。解题时，要注意各物理量成正比或反比的条件。 由题意知各点半径之比ra：rb：rc：rd=2：1：2：1，则： （1）ωb=ωc,ωa=ωb,因为v=ωR,va=vb 且ra=2rB,所以ωb=2ωa,由此得出: ∵ωa:ωb=1:2,ωb:ωc=1:1,ωa:ωd=1:1 ∴ωa:ωb:ωc:ωd=1:2:2:1 (2)va=vb,而va=2vd,vc=2vb,所以va:vb:vc:vd=2:2:4:1 (3) aa:ab:ac:ad=:::=2:4:8:1 或者按aa:ab:ac:ad=ωa2ra:ωb2rb:ωc2rc:ωd2rd=2:4:8:1. [思考1] (92年全国高考题)如图4-14示为一皮带传动装置,右轮的半径为r,a是它边缘上的一点,左侧是一轮轴,大轮的半径为4r,小轮的半径为2r,b点在小轮上,到小轮中心的距离为r,c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上.若在传动过程中,皮带不打滑,则: （ ） A、 A、 a点与b点的线速度大小相等； B、 B、 a点与b点的角速度大小相等； C、 C、 a点与c点的线速度大小相等； D、a点与d点的向心加速度大小相等。 [提示] 从装置看，a、c两点线速度大小相等，b、c、d三点角速度大小相等，选项A、B是明显的错误，选项C是正确的。而D项呢？假设a点线速度为v，c点线速度也为v，而d点线速度为2v，所以aa=，ad=。这样，就可确认选项C、D是正确的。 [思考2] 如图4-16所示，细绳一端系着质量M=0.6kg的物体,静止于水平面,另一端能通过光滑小孔吊着质量m=0.3kg的物体,M的中点与圆孔距离为0.2m,并知M和水平在的最大静摩擦力为2N.现使此平面绕中心轴线转动,问角速度ω在什么范围m会处于静止状态?(g=10m/s2) [提示] 要使m静止,M应与平面相对静止.考虑M能与水平面相对静止的两个极端状态: 当ω为所求范围的最小值时,M有向圆心运动的趋势,水平面对M的静摩擦力方向背离圆心,大小等于最大静摩擦力2N.此时对M有: T-fm=Mω12r,且T=mg. 解得 ω1=2.9rad/s. 当ω为所求范围的最大值时,M有远离圆心运动的趋势,水平面对M的摩擦力方向指向圆心,且大小也为2N.此时有 T+fm=Mω22r ω2=6.5rad/s 故所求ω的范围为: 2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s. [例题2] 如图4-15所示,光滑的水平面上钉有两枚铁钉A和B,相距0.1m.长1m的柔软细绳拴在A上,另一端系一质量为0.5kg的小球,小球的初始位置在AB连线上A的一侧,把细线拉紧,给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度使它做圆周运动.由于钉子B的存在,使线慢慢地缠在A、B上。 （1）如果细线不会断裂，从小球开始运动到细线完全缠在A、B上需要多长时间？ （2）如果细线的抗断拉力为7N，从开始运动到细线断裂需经历多长时间？ [解与析] 小球交替地绕A、B做匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力T不断增大，半周期t不断减小。推算出每个半周期的时间及半周期数，就可求出总时间，根据绳子能承受的最大拉力，可求出细绳断裂所经历的时间。 在第一个半周期内：T1=m，t1= 在第二个半周期内：T2= t2= 在第三个半周期内：T3= t3= 在第n个半周期内： Tn= tn= 由于=10 ∴n≤10 （1）小球从开始运动到细线完全缠到A、B上的时间t=t1+t2+…+t10 ={10L0-[1+2+3+…+(10-1)]LAB} =[10L0-×0.1] ≈8.6s （2）设在第x个半周期时，Tx=7N 由Tx= 代入数据后得x=8. 则所经历的时间 t=[8L0-LAB] =[8×1-×0.1] ≈8.2s 【素质训练】 1.关于质点作匀速圆周运动的说法中正确的是 ( ) A.因为a=v2/r,所以向心加速度与旋转半径成反比 B.因为a=ω2r,所以向心加速度与旋转半径成正比 C.因为ω=v/r,所以角速度与旋转半径成反比 D.因为ω=2πf,所以角速度与频率成正比 2.机械表正常计时,时针和分针作圆周运动,下列说法中正确的是 ( ) A.分针的角速度是时针的12倍 B.分针的角速度是时针的60倍 C.如果分针的长度是时针的1.5倍,则分针端点的线速度是时针端点线速度的18倍 D.如果分针的长度是时针的1.5倍,则分针端点的线速度是时针端点线速度的1.5倍 3.机械表正常工作时，分针和秒针可视为匀速转动，分针与秒针从重合到第二次重合中间经历的时间为多少min？ A．1 B．59/60 C．60/59 D．61/60 4．（92年全国）如图4-17所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a为它边缘上一点，左侧是一轮轴，大轮的半径是4r，小轮的半径是2r.b点在小轮上,到小轮中心的距离为r.c点和d点分别位于小轮和大轮边缘上,若在传动过程中皮带不打滑.则 ( ) A.a点与b点的线速度大小相等 B.a点与b点的角速度大小相等 C.a点与c点的线速度大小相等 D.a点与d点的向心加速度大小相等 5.如图4-18所示,两个小球固定在一根长为L的杆的两端,绕杆上的O点做圆周运动,当小球1的速度为v1时,小球2的速度为v2,则转轴O到小球2的距离为 ( ) A.Lv1/(v1+v2) B.Lv2/(v1+v2) C.L(v1+v2)/v1 D.L(v1+v2)/v2 6.如图4-19所示为纸质圆筒,以角速度ω绕垂直纸面的轴O高速转动,有一颗子弹沿直径穿过圆筒,若子弹在圆筒转动不到半周时,在圆筒上留下a、b两个弹孔，已知aO与bO夹角为Φ，圆筒直径为d，则子弹的速度为 （ ） A．dφ/2πω B.dω/Φ C.dω/(2π-Φ) D.dω/(π-Φ) 7.电风扇在闪光灯下运动,闪光灯每秒闪光30次,风扇的三个叶片互成1200角安装在转轴上.当风扇转动时,若观察者觉得叶片不动,则这时风扇的转速至少是 转/分;若观察者觉得有了6个叶片,则这时风扇的转速至少是 转/分. 8.(99年上海)天文观测表明,几乎所有远处的恒星(或星系)都以各自的速度背离我们而运动,离我们越远的星体,背离我们运动的速度(称为退行速度)越大,也就是说,宇宙在膨胀.不同星体的退行速度v和它们离我们的距离r成正比,即v=Hr.式中H为一常量,称为哈勃常数,已由天文观察测定.为解释上述现象,有人提出一种理论,认为宇宙是从一个大爆炸的火球开始形成的.假设大爆炸后各星体即以不同的速度向外匀速运动,并设想我们就位于其中心,则速度越大的星体现在离我们越远.这一结果与上述天文观测一致. 由上述理论和天文观测结果,可估算宇宙年龄T,其计算为T= . 根据近期观测,哈勃常数H=3×10-2米/秒.光年,其中光年是在一年中行进的距离,由此估算宇宙年龄约为 年. 9.雨伞柄的距离为r,伞边缘高出地面为h,当雨伞以角速度ω绕伞柄匀速转动时,雨滴从伞边缘水平抛出,雨滴落在地面的轨迹为一圆,求这个圆的半径是多少?(不计空气阻力) 10.关于向心力的说法中正确的是 ( ) A.物体受到向心力作用才可能作圆周运动 B.向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果命名的 C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是其中某一种力和或某一种力的分力 D.向心力只改变物体运动的方向，不可能改变物体运动的快慢 11．如图4-20所示，A、B、D三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ,A的质量为2m,B、C质量均为m，A、B离轴R，C离轴2R，则当圆台旋转时（设三物体都没有滑动） （ ） A．C物体的向心加速度最大 B．B物体的静摩擦力最小 C．当圆台转速增加时，C比A先滑动 D．当圆台转速增加时，B比A先滑动 12．自行车转弯时，地面能提供给车的最大静摩擦力为kmg.若弯道半径为R,则车的最大行驶速度v= ,此时车身与水平地面的夹角α= .   13.(89年广东)如图4-21所示,半径为r的圆形转筒,绕其竖直中心轴OO’转动,小物块a靠在圆筒的内壁上,它与圆筒间的动摩擦因数为μ,现要使小物块不下落,圆筒转动的角速度ω至少为 .   14.如图4-22所示,长为2L的轻绳,两端分别固定在一根竖直棒上相距为L的A、B两点，一个质量为m的光滑小圆环套在绳子上，当竖直棒以一定的角速度转动时，圆环以A为圆心在水平面上作匀速圆周运动，则此时轻绳上的张力大小为 ；竖直棒转动的角速度为 。     15．（97年全国）一内壁光滑的环形细圆筒，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）。在筒管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点），A球的质量为m1，B球的质量为m2，它们沿环形圆筒顺时针运动，经过最低点的速度都为v0，设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R、v0应满足的关系式是 。 16．汽车质量为1.5×104kg,以不变的速率先后驶过凹形路面和凸形路面，路面圆弧半径为15m。如果路面承受的最大压力为2。0×105N，汽车允许的最大速率是多少？汽车以此速率驶过路面的最小压力是多少？（取g=10m/s2）       X� � 0� � Y� � VX� � VY� � V� � θ� � φ� � A� � B� � C� � S1� � S2� � △S� � △S� � 图4-6� � 图4-7� � A� � B� � C� � V0� � V2� � V0� � V1� � V0� � h� � Vy2� � Vy1� � 2� � 1� � α� � β� � 图4-8� � 图4-9� � P� � O� � V0� � β� � 图4-12� � a� � b� � c� � d� � V� � V� � F� � R� � 0� � ω� � 。� � 图4-13� � A� � B� � b� � c� � a� � d� � r� � r� � a� � d� � c� � b� � 图4-14� � O� � r� � M� � m� � 图4-16� � 图4-15� � a� � d� � b� � c� � 图4-17� � 1� � 2� � O� � v1� � v2� � 图4-18� � O� � a� � b� � ω� � φ� � 图4-19� � A� � C� � B� � 图4-20� � 0� � 0/� � a� � 图4-21� � A� � B� � 0� � 图4-22� � 0� �