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高考数学一轮复习(讲+练+测) 专题命题及其关系逻辑联结词充分条件与必要条件(讲)

高考数学一轮复习(讲+练+测) 专题命题及其关系逻辑联结词充分条件与必要条件(讲)第02节命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测1.理解原命题和原命题的逆命无独立命题1.该部分知识独立考查的可能题、否命题、逆否命题的含义，性很小，注意体现在具体命题1.命题及及其相互之间的关系。的判断及逻辑推理的思维活动其关系2.了解逻辑联结词“且”、“或”、中。“非”的含义。2.备考重点：2019浙江6(1)命题的真假的判断；理解命题的必要条件、充分条件、2.充分条2019浙江文6(2)充分条件、必要条件的判充要条件的意义，能判断并证明件和必要2019浙江文3，理6...

第02节命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测1.理解原命题和原命题的逆命无独立命题1.该部分知识独立考查的可能题、否命题、逆否命题的含义，性很小，注意体现在具体命题1.命题及及其相互之间的关系。的判断及逻辑推理的思维活动其关系2.了解逻辑联结词“且”、“或”、中。“非”的含义。2.备考重点：2019浙江6(1)命题的真假的判断；理解命题的必要条件、充分条件、2.充分条2019浙江文6(2)充分条件、必要条件的判充要条件的意义，能判断并证明件和必要2019浙江文3，理6断命题成立的充分条件、必要条件、条件2019浙江文2，理2充要条件。2019浙江文,3，理4【知识清单】1．命题及其关系（1）命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．（2）四种命题及相互关系（3）四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．对点练习：有下列四个命题（1）若“xy1，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若m1，则x22xm0有实数解”的逆否命题；（4）“若AB=B，则第1页共10页AB”的逆否命题。其中真命题为（）A、（1）（2）B、（2）（3）C、（4）D、（1）（3）【答案】D2．逻辑联结词（1）用联结词“且”联结命题p和命题q，记作____，读作______”．（2）用联结词“或”联结命题p和命题q，记作_____，读作“____”．（3）对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作_____，读作“_____”．（4）命题p且q、p或q、非p的真假判断对点练习：已知命题p:x＞0,lnx1＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（A）pq（B）pq（C）pq（D）pq【答案】B3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．对点练习：设xR，则“2x0”是“|x1|1”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B第2页共10页【解析】【考点深度剖析】高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定．从近5年命题看，其在试卷中的位置逐步后移，难度较以往略大.【重点难点突破】考点1四种命题的关系及真假判断1【1-1】给出命题：已知实数a,b满足ab1，则ab,它的逆命题、否命题、逆否命题三4个命题中，真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B1【解析】∵ab11(ab)2a22abb24abab．∴原命题为真，从而逆否41命题为真；若ab，显然得不出ab1，故逆命题为假，因而否命题为假，选B．4【1-2】命题“若x,y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是（）A．若xy是偶数，则与y不都是偶数B．若xy是偶数，则与y都不是偶数C．若xy不是偶数，则与y不都是偶数D．若xy不是偶数，则与y都不是偶数【答案】C【领悟技法】1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。第3页共10页注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面。2.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．3.判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．4.否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．【触类旁通】π【变式一】命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题()3A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题【答案】D【解析】原命题显然为真，原命题的逆命题为“若ABC的三内角成等差数列，则ABC有一内角为”，它是真命题．3【变式二】下列命题中为真命题的是()A．命题“若xy，则xy”的逆命题B．命题“x1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x20，则x1”的逆否命题【答案】A考点2含有逻辑联结词的命题【2-1】已知命题p,q，“p为假”是“pq为真”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第4页共10页【答案】A【解析】解：若“p为假”，则“p”为真，“pq为真”，充分性成立；若“pq为真”，则“p”为真或“q”为真，即“p为假”或“q为假”，必要性不成立；综上可得：“p为假”是“pq为真”的充分不必要条件.本题选择A选项.【2-2】已知命题p：xR,x2x10;命题q：若a2b2,则a0”是“S+S>2S”的nn465A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由SS2S10a21d2(5a10d)d，可知当d0，则46511SS2S0，即SS2S，反之，SS2Sd0，所以为充要条件，选C．465465465【3-2】在△ABC中，“nisB1”是“△ABC为直角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件第6页共10页C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】在ABC中，若sinB1，则B，所以ABC为直角三角形；但若ABC为直角三角形，2则sinB1或sinA1或sinA1，所以在ABC中，“sinB1”是“ABC为直角三角形”的充分不必要条件，故选A．【3-3】“直线与平面内的两条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】【领悟技法】充要关系的几种判断方法(1)定义法：若pq,qp，则p是的充分而不必要条件；若pq,qp，则p是的必要而不充分条件；若pq,qp，则p是的充要条件；若pq,qp，则p是的既不充分也不必要条件。(2)等价法：即利用pq与qp；qp与pq；pq与qp的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件【触类旁通】【变式一】已知平面与两条不重合的直线a,b，则“a，且b”是“a//b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若a,b，则必有a//b，但a//b时，直线a,b与平面可以平行，可以相交，可以在平面内，不一定垂直，因此“a,b”是“a//b”的充分不必要条件，故选A．第7页共10页【变式二】“函数fxalnxxe存在零点”是“a1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分不用必要条件【答案】B1【解析】fx0,所以若函数fxalnxxe存在零点,则fe0,a1,因x此“函数fxalnxxe存在零点”是“a1”的必要不充分条件,选B.考点4充分条件与必要条件的应用【4-1】给定两个命题p，,若p是的必要而不充分条件，则p是q的A.充分不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由qp且pq可得pq且qp，所以p是q的充分不必要条件.1【4-2】已知集合Ax|2x8,xR，Bx|1xm1,xR，若xB成立2的一个充分不必要条件是xA，则实数m的取值范围是．【答案】（2，）【领悟技法】１．充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．２．对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性。此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）。【触类旁通】【变式一】已知命题p：“关于的方程x24xa0有实根”，若p为真命题的充分不必要条件为a3m1，则实数m的取值范围是（）A.1,B.1,C.,1D.,1第8页共10页【答案】B【解析】命题p：a4，p为a4，又p为真命题的充分不必要条件为a3m1，故3m14m1【变式二】若f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)＋1<3}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(－1，＋∞)C．3，＋∞)D．(3，＋∞)【答案】D【易错试题常警惕】11易错典例：已知不等式xm1成立的充分不必要条件是x，则m的取值范围是32____________．11易错分析，(1)“x”是“xm1”的充分条件，但不是必要条件，学生容易看成3211必要条件；(2)从集合的角度看，若设Axx，Bxxm1，则AÜB，32学生容易看成AB.11正确解析：由题意知：x是不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件．所以3211xx是xxm1的真子集．而xxm1x1mx1m，所以3211m31414有，解得m，所以m的取值范围是,.123231m2温馨提醒：利用充分条件、必要条件求解参数的值或取值范围是高考的一个重点内容，解答此类问题的关键是从正反两方面考虑，紧扣充分条件、必要条件的定义，若有大前提，在进行正反两方面推理时，大前提都要参与推理，是推理的条件．本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．【素养提升之思想方法篇】第9页共10页---------转化与化归思想转化与化归思想是指在对问题做细致观察的基础上，展开丰富的联想，把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题，借助旧知识、旧经验来处理新问题的一种重要的思想方法。转化与化归思想在本节中的应用主要是:(1)判断命题真假:原命题和其逆否命题同真同假,原命题的逆命题和原命题的否命题同真同假；（2）充要条件和集合的包含关系间的等价转化等x＋2≥0，【典例】已知命题p：命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若q是p的必要而不充x－10≤0，分条件，则m的取值范围为________．【答案】9，＋∞)第10页共10页

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