概率论与数理统计科学出版社参

概率论与数理统计科学出版社参概率论与数理统计主讲人理学院：周娟精选ppt第一章习题1.1(第7页)=1,2,3,4,5,6,A={1,3,5}.1.用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A:(1)抛一颗骰子,观察向上一面的点数,A表示“出现奇数点”.(2)对一个目标进行射击,一旦击中便停止射击,观察射击的次数,A表示“射击不超过3次”.(3)把单位长度的一根细棒折成三段,观察各段的长度,A表示“三段细棒能构成一个三角形”.=1,2,3,…，A={1,2,3}精选ppt=(a,b,1－a－b)|a,b>0且a+b0....

概率论与数理统计主讲人理学院：周娟精选 ppt 第一章习题1.1(第7页)=1,2,3,4,5,6,A={1,3,5}.1.用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A:(1)抛一颗骰子,观察向上一面的点数,A表示“出现奇数点”.(2)对一个目标进行射击,一旦击中便停止射击,观察射击的次数,A表示“射击不超过3次”.(3)把单位长度的一根细棒折成三段,观察各段的长度,A表示“三段细棒能构成一个三角形”.=1,2,3,…，A={1,2,3}精选ppt=(a,b,1－a－b)|a,b>0且a+b<1,2.把表示成n个两两互不相容事件的和。A={(a,b,1－a－b)|00.5}=(a,b,c)|a,b,c>0且a+b＋c＝1,={(a,b,c)|00且x+y+z=l,A={(x,y,z)|0 分析 ,某船只运送某种物资损坏的情况共有三种:损坏2%(记为A1),损坏10%(记为A2),损坏90%(记为A3),且P(A1)=0.8,P(A2)=0.15,P(A3)=0.05,现从已被运送物资中随机取3件,发现3件都是好的(记为B),求:P(A1|B),P(A2|B),P(A3|B).(假设物资件数很多).解P(B|A1)=(1－0.02)3=0.941P(B|A2)=(1－0.1)3=0.729P(B|A3)=(1－0.9)3=0.001所以P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)/[P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)]=0.80.941/[0.80.941+0.150.729+0.050.001]=0.7528/[0.7528+0.10935+0.00005]=0.873精选pptP(A2|B)=P(A2)P(B|A2)/[P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)]=0.150.729/[0.80.941+0.150.729+0.050.001]=0.10935/[0.7528+0.10935+0.00005]=0.127P(A3|B)=P(A3)P(B|A3)/[P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)]=0.050.001/[0.80.941+0.150.729+0.050.001]=0.00005/[0.7528+0.10935+0.00005]=0.000058精选ppt概率为,而输出为其它一字母的概率都是(1－)/2.今将字母串AAAA,BBBB,CCCC之一输入信道,输入AAAA,BBBB,CCCC的概率分别为p1,p2,p3(p1+p2+p3=1),已知输出为ABCA,问输入的是AAAA的概率是多少?(设信道传输各个字母的工作是相互独立的.)解P==2p1/(1－－p1＋3p1)5.将A,B,C三个字母之一输入信道,输出为原字母的精选ppt解P=0.72×0.83＝0.25096.设在第一台车床上制造一级品零件的概率为0.7,在第二台车床上制造一级品零件的概率为0.8,第一台车床制造了2个零件,第二台车床制造了3个零件,求这5个零件均为一级品的概率.解(1)P1=1－(0.5)2n7.设实验室产生甲类细菌和乙类细菌的机会是相等的,若某次产生了2n个细菌,求:(1)至少有一个是甲类细菌的概率;(2)甲,乙两类细菌各占一半的概率.(2)P2=C2nn(0.5)2n精选ppt解P{至少击中两弹}=1－P{一弹未中}－P{只中一弹}8.设每次射击打中目标的概率是0.001,射击5000次,求至少击中两弹的概率.＝1－0.9995000－5000×0.001×0.9994999＝0.9596精选ppt第一章章末习题1(第35页)1.已知随机事件A,B满足P(AB)=P(AB),且P(A)=p,求P(B).解由于P(AB)=P(A)＋P(B)－P(A＋B)=P(A)＋P(B)－1+P(A＋B)=P(A)＋P(B)－1+P(AB)所以,P(A)＋P(B)－1=0即,P(B)＝1－P(A)＝1－p精选ppt第一章章末习题1(第35页)3.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,求P(A).解由于P(A)P(B)=P(AB)=P(AB)=P(A)P(B)所以P(A)[1－P(B)]=[1－P(A)]P(B)故P(A)=P(B)又由于P(AB)=[1－P(A)][1－P(B)]=1/9所以1－P(A)=1/3故P(A)=2/3精选ppt或,第i个部件强度太弱的概率为:第一章章末习题1(第35页)4.50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件的强度就太弱.问发生一个部件强度太弱的概率是多少?,k=p=解n=所以,发生一个部件强度太弱的概率为:精选ppt第一章章末习题1(第35页)5.一打靶场备有5支某种型号的枪,其中3支已经校正,2只未经校正.某人使用已校正的枪击中目标的概率为p1,使用未经校正的枪击中目标的概率为p2,现在他随机地取了一支枪,射击5次都未击中,求他使用的是已校正的枪的概率(设各次射击的结果相互独立).解记A＝“5次都未击中”,B=“使用的是已校正的枪”.P(B|A)=[P(B)P(A|B)]/[P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)]=[3/5×(1－p1)5]/[3/5×(1－p1)5+2/5×(1－p2)5]=3(1－p1)5/[3(1－p1)5+2(1－p2)5]精选ppt解(1)P(A)=2/6=1/3;P(B)=21/36=7/126.将一颗骰子掷两次,考虑两事件A,B:A=“第一次掷得点数为2或5”,B=“两次点数之和至少为7”,(1)求P(A),P(B);(2)判断A,B是否相互独立.(2)P(AB)=7/36=P(A)P(B)所以，事件A,B相互独立.精选ppt7.设甲,乙,丙三门炮同时独立地向某目标射击,命中率分别为0.2,0.3,0.5,目标被命中一发而击毁的概率为0.2,被命中两发而击毁的概率为0.6,被命中三发而被击毁的概率为0.9.求:(1)三门炮在一次射击中击毁目标的概率;(2)若已知目标被击毁,求只由甲炮击中的概率.P(B1)=0.2(1－0.3)(1－0.5)+(1－0.2)0.3(1－0.5)+(1－0.2)(1－0.3)0.5=0.47P(B2)=0.20.3(1－0.5)+0.2(1－0.3)0.5解记A=“目标被击毁”,Bi=“被命中i发”,(i=1,2,3)+(1－0.2)×0.3×0.5=0.22P(B3)=0.20.30.5=0.03精选ppt=0.47×0.2+0.22×0.6+0.03×0.9=0.253(2)记C=“只有甲命中”.则P(C)=0.2(1－0.3)(1－0.5)=0.07,于是(1)P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)P(C|A)=P(AC)/P(A)=P(C)P(A|C)/P(A)=0.07×0.2/0.253=0.0553精选ppt10.一射手对同一目标独立地进行四次射击后,至少命中一次的概率为80/81,求该射手的命中率.解设该射手的命中率为p,则有:1－(1－p)4=80/81所以，(1－p)4=1/81故，该射手的命中率为:p=2/3.精选ppt11.假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.7直接出厂,以概率0.3需进一步调试,经调试以后以概率0.8出厂,以概率0.2定为不合格不能出厂,现该厂新生产了n(n2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立),求:(1)全部能出厂的概率;(2)其中恰好有两台不能出厂的概率;(3)其中至少有两台不能出厂的概率.解每台仪器能出厂的概率p＝0.7＋0.3×0.8＝0.94.(1)=0.94n;(2)=Cn2(0.06)2(0.94)n－2＝0.0018n(n－1)(0.94)n－2(3)=1－0.94n－0.06n(0.94)n－1精选ppt解n个卵变为k个成虫的概率为:Cnkpk(1－p)n－k(1)每蚕养出k个成虫的概率为:精选ppt(2)P{产n个卵|养出k个成虫}＝P{产n个卵}P{养出k个虫|产n个卵}/P{养出k个虫}=P{产n个卵且养出k个成虫}/P{养出k个成虫}精选ppt第二章习题2.1(第38页)随机抽出一同学，他成绩在90分以上的课程数。举出几个你所熟悉的能用随机变量来描述的社会或生活现象.抛掷5枚硬币，正面朝上的个数。买10张彩票，中奖情况.在一些人中随机找一人测其身高。等等。精选ppt1.问c取何值才能使下列数列成为分布律:(1)第二章习题2.2(第49页)解(1)由,得：c=1.(2)由于(2)(>0为常数).所以,c=1/(e－1).精选ppt2.已知随机变量X只取－1,0,1,2四个值,相应概率依次为1/2c,3/4c,5/8c,7/16c,试确定常数c,并求P{X<1|X≠0}.解由分布律的性质有：1/2c+3/4c+5/8c+7/16c=37/16c=1所以,c=37/16.P{X<1|X≠0}=P{X<1且X≠0}/P{X≠0}=P{X=－1}/[1－P{X＝0}]=(8/37)/[1－12/37]=8/25精选ppt3.一批产品分一、二、三级,其中一级品是二级品的两倍,三级品是二级品的一半.从这批产品中随机地抽取一个检验质量,试用随机变量描述检验的可能结果,并写出其分布律.解记X＝i为检验结果为i级品,则X只能取1,2,3.若设P{X=2}=p,则P{X=1}＝2p,P{X=3}=0.5P,于是p+2p+0.5p=1,即p=2/7.即X的分布律为:P{X=1}=4/7.P{X=2}=2/7.P{X=3}=1/7.或写成:精选ppt4.某运动员的投篮命中率为0.4,写出他一次投篮命中数X的分布律.解显然,X只能取0，1，其分布律为：P{X=0}=0.6,P{X=1}=0.4.或写成:,或5.上抛两枚硬币,写出正面朝上的个数Y的分布律.解显然,Y只能取0,1,2,其分布律为：P{Y=0}=0.25,P{Y=1}=0.5,P{Y=2}=0.25.X01P0.60.4精选ppt7.设随机变量X～B(6,p),已知P{X=1}=P{X=5},求P{X=2}的值.解由于X～B(6,p),所以,P{X=k}=C6kpk(1-p)6-k,由已知有：6p(1-p)5=6p5(1-p),所以,p=0.5.因此,P{X=2}=15×0.52×0.54=15/64≈0.23448.已知事件A在一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于三次时,指示灯将发出信号,若按一下两种方式进行试验,分别求指示灯发出信号的概率.解(1)P{X≥3}=(2)P{X≥3}=1－P{X<3}=(1)进行5次重复独立试验;(2)进行7次重复独立试验.精选ppt9某实验室有自动控制的仪器10台,相互独立地运行,发生故障的概率都是0.03,在一般情况下,一台仪器的故障需要一个技师处理.问配备多少技师可以保证在设备发生故障时不能及时处理的概率小于0.05.解记X=“同时发生故障仪器的台数”,则XB(10,0.03)令pX>N≤0.05,则P{X≤N}>0.95因为:所以,P{X≤1}=0.7374+0.2281=0.9655>0.95因此，取N=1便满足条件。即,配备一名技师便可以保证设备发生故障….精选ppt11.某救援站在长度为t的时间(单位:h)内收到救援信号的次数X服从P(t/2)分布且与时间的起点无关,试求某天下午救援站在1点至6点间至少收到一次救援信号的概率.解由已知,1点至6点收到救援信号的次数X～P(5/2),所以,P{X≥1}=1－P{X=0}=1－e-2.5≈0.917912.若X～P()且P{X=2}=P{X=3},求P{X=5}.解由已知有:2e－/2=3e－/6,所以,=3所以,P{X＝5}=5e－/5!＝35e－3/5!≈0.1008精选ppt13.设步枪射击飞机的命中率为0.001,今射击6000次,试按泊松分布近似计算步枪至少击中飞机两弹的概率,并求最可能击中数.解记X为击中弹数,则X～B(6000,0.001)所以,P{X≥2}=1－P{X=0}－P{X=1}≈1－e－6－6e－6≈0.9826实际上,P{X≥2}=1－0.9996000－6000×0.001×0.9995999≈0.9827X的最可能数为:[(n+1)p]=[6.001]=6即,最可能击中数为6。精选ppt15.在有8件正品,2件次品的10件产品中随机地取3件,写出取出的次品数X的分布律.解X～H(10,2,3)，其分布律为:P{X=0}=8/10×7/9×6/8=7/15P{X=1}=3×8/10×7/9×2/8=7/15P{X=2}=3×8/10×2/9×1/8=1/1516.在一副扑克牌中(按54张计)随机地抽出5张,求抽出黑桃张数的概率分布.解黑桃张数X～H(54,13,5)，其分布律为:精选ppt17.一批产品的次品率为0.02,从中任取20件,现已初步查出2件次品,求20件中次品数不小于3的概率.解20件中次品数X～B(20,0.02)，于是,P{X≥3|X≥2}=P{X≥3}/P{X≥2}=[1-P{X<3}]/[1-P{X<2}]=[1-0.9820-20×0.02×0.9819-190×0.022×0.9818]/[1-0.9820-20×0.02×0.9819]≈0.118518.自动生产线在调整之后出现废品的概率为p,且生产过程中一旦出现废品即刻重新进行调整.求在两次调整之间生产的合格品数的分布律.解合格品数X＋1～G(P)，于是,其分布律为:P{X=k}=(1-p)kp，k=0,1,2,…精选ppt19.某射手有5发子弹,每射一发子弹的命中率都是0.7,如果命中目标就停止射击,不中目标就一直射击到子弹用完为止,试求所用子弹数X的分布律.解显然,X只能取1,2,3,4,5,X的分布律为:P{X=1}=0.7;P{X=2}=0.3×0.7=0.21;P{X=3}=0.32×0.7=0.063;P{X=4}=0.33×0.7=0.0189;P{X=5}=0.34=0.0081.精选ppt20.从有10件正品,3件次品的产品中一件一件地抽取,每次抽取时,各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下,分别写出直到取得正品为止所需抽取次数X的分布律.(1)每次取出的产品不再放回;(2)每次取出的产品立即放回;(3)每次取出一件产品后随即放回一件正品.解(1)X只能取1,2,3,4,其分布律为:P{X=3}=3/13×2/12×10/11=5/143;P{X=4}=3/13×2/12×1/11=1/286.P{X=1}=10/13;P{X=2}=3/13×10/12=5/26;精选ppt解(2)X～G(10/13),其分布律为:P{X=1}=10/13;P{X=2}=3/13×11/13=33/169.P{X=k}=(3/13)k－1(10/13),k=1,2,3,…;(3)X只能取1,2,3,4，其分布律为:P{X=3}=3/13×2/13×12/13=72/2197.P{X=4}=3/13×2/13×1/13=6/2197.精选ppt5.火炮向某目标独立射击,每发炮弹命中目标的概率为0.6,且只要命中一发目标就被摧毁.今发射4发,求摧毁目标的概率.若使目标被摧毁的概率达到0.999以上,则至少要发射多少发炮弹？第二章章末习题2(第72页)解4法炮弹中命中目标数X~B(4,0.6),所以若记N发炮弹命中目标数Y,则Y~(N,0.6),于是PX≥1=1－PX=0=1－0.44=0.9744PX≥1=1－PX=0=1－0.4N≥0.999则,N≥ln0.001/ln0.4≈7.539.故,至少要发射8发炮弹,可使目标被摧毁的概率达到0.999.精选ppt7.某种动物出现畸形概率为0.001,如果在相同的环境中观察5000例,试按泊松分布近似计算其中至多有两例是畸形的概率,并求最可能畸形例数.解记X为畸形例数,则X～B(5000,0.001)所以,P{X≤2}=P{X=0}＋P{X=1}＋P{X=2}≈e－5+5e－5+52e－5/2≈0.1247X的最可能数为:[(n+1)p]=[5.001]=5即,最可能畸形例数为5。精选ppt9.袋中装有1个白球,4个红球,每次从中任取一球,直到取出白球为止,试写出取球次数X的分布律.假定取球方式为每次取出的红球不再放回,或者每次取出的红球放回.解取出的红球不放回,则X的分布律为:P{X=1}=1/5,P{X=2}=4/5×1/4=1/5,P{X=3}=4/5×3/4×1/3=1/5,P{X=4}=4/5×3/4×2/3×1/2=1/5每次取出的红球再放回,则X~G(1/5),其分布律为:P{X=5}=4/5×3/4×2/3×1/2=1/5P{X=k}=(4/5)k－1×1/5=22k－2/5k,k=1,2,3,…精选ppt第二章习题2.3(第58页)解(1)由于,所以,c=1/9.1.已知随机变量X~,求(1)常数c;(2)P{14}.(2)P{－14}=e－8≈0.0003355精选ppt10.设X~N(－1,16),求P{X<2.44},P{X>－1.5},P{X<－2.8},P{|X|<4}及|X－1|>1}.解P{X<2.44}=((2.44+1)/4)=(0.86)=0.8051P{X>－1.5}=1－((－1.5+1)/4)=(0.125)≈0.55P{X<－2.8}=((－2.8+1)/4)=1－(0.45)=0.3264P{|X|<4}=((4+1)/4)－((－4+1)/4)=(1.25)+(0.75)－1=0.6678P{|X－1|>1}=P{X<0}+P{X>2}=(0.25)+1－(0.75)=0.8253精选ppt解由于方程无实根,所以4－X<0,于是有11.设X~N(,2),方程y2+4y+X=0无实根的概率为0.5,求.P{4－X<0}=P{X>4}=0.5p{x>4}=1－((4－)/)=((－4)/)=0.5所以,(－4)/=0,即,=4.解由已知,P{22;(C)1<2;(D)1>2.14.随机变量X~N(1,12),Y~N(2,22),且P{|X－1|<1}>P{|Y－2|<1},则正确的是[].解p{|X－1|<1}=P{|X－1|/1<1/1}=2(1/1)－1p{|Y－2|<1}=P{|Y－2|/2<1/2}=2(1/2)－1所以,(1/1)>(1/2),故,1<2,即应选(A).精选ppt15.某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数为＝10.05,=0.06的正态分布,规定长度在范围10.05±0.12内为合格品,求一只螺栓为不合格品的概率.解P{|X－10.05|>0.12}=P{|X－10.05|/0.06>2}=2－2(2)=0.0456解P{120a}=P{ap2;(C)p1u}=,若P{|X|x}=1－2P{X>x}所以,P{X>x}=(1－)/2.于是,x=u(1－)/2.故,应选(C).精选ppt第二章习题2.4(第65页)解定义式为:F(x)=P{X≤x}.1.写出分布函数的定义式以及离散与连续两种类型随机变量的分布函数计算公式.离散型随机变量:连续型随机变量:精选ppt2.写出习题2.2第3题中随机变量的分布函数.解由于X的分布律为:x<1时,F(x)=0;1≤x<2时,F(x)=P{X≤x}=P{X=1}=4/7;2≤x<3时,F(x)=P{X≤x}=P{X=1}+P{X=2}=6/7;x≥3时,F(x)=P{X≤x}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=1.即精选ppt(2)x<0时,F(x)=4.设随机变量X的密度函数为,求(1)常数A;(2)X的分布函数.解(1)由于,所以A=1.0≤x≤1时,F(x)=x>1时,F(x)=即精选ppt7.求与密度函数对应的分布函数.0≤x<2时,F(x)=解x<0时,F(x)=x≥2时,F(x)=所以,=0.5+0.25x精选ppt8.随机变量X的分布函数为F(x)=(1)求常数A,B;(2)求P{};(3)X是连续型随机变量吗?如果是则求X的密度函数.解(1)由于，F(+∞)=1,所以A=1.(3)由于F(x)是连续的,所以X是连续型随机变量.X的密度函数为:又由F(0+)=F(0)得B=－1.(2)P{}=精选ppt11.设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数,为使F(x)=aF1(x)－bF2(x)是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取[].(A)a=3/5,b=－2/5;(B)a=2/3,b=2/3;(C)a=－1/2,b=3/2;(D)a=3/2,b=－3/2.解由于(B)中有F(+∞)=0,(D)中有F(+∞)=3,(C)中有F(x)≤0.所以，只能选(A).实际上,(A)中的F(x)满足:0≤F(x)≤1,单调不减,右连续,且F(－∞)=0,F(+∞)=1.所以F(x)是分布函数.精选ppt12.设随机变量X的密度函数为(x),(－x)=(x),F(x)是X的分布函数,则对任意实数a,下列选项正确的是[].解由于(C)F(－a)=F(a);(D)F(－a)=2F(a)－1.＝P{X>a}=1－P{X≤a}=1－F(a)可见,(C),(D)都不对.取a=0可得:F(0)=1/2.于是,所以,应选(B).精选ppt13.设X1和X2是任意两个连续型随机变量,它们的密度函数分别为f1(x)和f2(x),分布函数分别为F1(x)和F2(x),则下列选项正确的是[].(A)f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的密度函数;(A)中有,(C)中F1(∞)+F2(∞)=2.解(D)中的F(x)＝F1·F2满足:0≤F(x)≤1,单调不减,右连续,且F(－∞)=0,F(+∞)=1.所以F(x)是分布函数.选D.(B)f1(x)·f2(x)必为某一随机变量的密度函数;(C)F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数;(D)F1(x)·F2(x)必为某一随机变量的分布函数;(B)中若取X1~U(0,1),X2~U(2,3),则f1(x)f2(x)=0.精选ppt第二章章末习题2(第72页)18.设X的分布函数为,(1)求常数A,B,C;(2)求P{X>1/2};(3)X是连续型随机变量吗？若是则求X的密度函数.解(1)由F(－∞)=0得A=0,由F(2+)=F(2)得C=2,再由F(1+)=F(1)得B=1/2.(2)P{X>1/2}=1－F(1/2)=1－1/8=7/8.由于F(x)是连续函数,所以X是连续型随机变量,密度函数为:精选ppt19.设随机变量X的分布函数为,若P{X＝3}＝0.1,求常数c.这时X是连续型随机变量吗？说明理由.解由于P{X=3}=F(3)－F(3－)＝1－27c=0.1所以,c=1/30.X不是连续型随机变量.下列任何理由都可说明:F(x)在x=3处不连续，P{X=3}=0.1≠0.精选ppt1.已知随机变量X的概率分布为习题2.5(第58页)解Y和Z的分布律分别为:求随机变量Y=2X－1和Z=X2的分布律.X－1011.5P0.10.20.30.4Y－3－112P0.10.20.30.4Z012.25P0.20.40.4精选pptFY(x)=P{Y≤x}=P{X≤x/2}=解对任意00,有FY(y)=P{Y≤y}=p{－2lnX≤y}=P{X≥e－y/2}精选ppt所以,Y的密度函数为Y~E(1/2).(3)对任意10}=P{012}=1－(1)=0.1587解Y只能取－5,－1,20三个值,Y的分布律为:精选ppt第二章章末习题2(第72页)20.已知随机变量X的分布律为：求X+2,－X+1与X2的分布律.解分布律分别为:X－2011.53P0.20.10.30.30.1X+20233.55P0.20.10.30.30.1－X+1－2－0.5013P0.10.30.30.10.2X2012.2549P0.10.30.30.20.1精选ppt21.设随机变量X～E(2),证明:Y=1－e－2X～U(0,1).证明对任意0

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