白白含量词命题的否定
4 含量词命题的否定。
数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一
“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在个”等与
逻辑中分别称为全称量词与存在性量词(用符号分别记为“ ”与“ ”来
表
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示);由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。那么它的否定又怎么样,
一般地，全称命题P: x A,有P(x)成立;其否定命题?P为: x A,
使P(x)不成立。存在性命题P: x A,使P(x)成立; 其否定命题?P为: x A,有P(x)不成立。用符号语言表示:
非(( x)p(x))=( x)非p(x) 非(( x)p(x))=( x)非p(x)
在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则:否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.
例4 写出下列命题的否定。
(1) 所有自然数的平方是正数。
(2) 任何实数x都是方程5x-12=0的根。
(3) 对任意实数x，存在实数y，使x+y,0.
(4) 有些质数是奇数。
解;(1)的否定:有些自然数的平方不是正数。
(2)的否定:存在实数x不是方程5x-12=0的根。
(3)的否定:存在实数x,对所有实数y，有x+y?0。
(4)的否定:所有的质数都不是奇数。
但解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x,3，则x2,9”。在求解中极易误当为简单命题处理;这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。
例5 写出下列命题的否定。
(1) 若x2,4 则x,2.。
(2) 若m?0,则x2+x-m=0有实数根。
3) 可以被5整除的整数，末位是0.。 (
(4) 被8整除的数能被4整除。
(5) 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。
解(1)的否定:存在实数x0，虽然满足x02,4但x0?2.。或者说:存在小于或等于2的数x0，满足x02,4。(完整表达为对任意的实数x,
若x2,4 则x,2)
(2)的否定:虽然实数m?0,但存在一个x0，使x02+ x0-m=0无实数根。(原意表达:对任意实数m,若m?0,则x2+x-m=0有实数根。)
(3)的否定:存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0.。
(4)的否定:存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)
(5)的否定:存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。(原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。)
由此看来，要准确表达含量词命题的否定，就要求我们掌握好一些词语的否定如下表:
词语 是 一定是 都是 大于 小于 且
词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或
词语 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 所有x不成立
词语的否定 一个也没有 至多有n-1个 至少有两个 存在一个x不成立 存在有一个成立
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