高等数学测试(第三章)
一. 选择题(每小题3分,共30分)
1.下列函数在
上满足罗尔定理条件的是( )
A.
B.
C.
D.
2.曲线
的拐点是( ) A.
B.
C.
D.
3.已知函数
,则
有( )实根
A.一个 B.两个 C.三个 D.四个
4.设函数
在
内可导,则在
内
是函数
在
内单调增的( )
A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充要条件 D.无关条件
5.如果
,则( )
A.
是函数
的极大值 B.
是函数
的极小值
C.
不是函数
的极值 D.不能判定
是否为函数
的极值
6.下列说法正确的是( )
A. 函数的极值点一定是函数的驻点 B. 函数的驻点一定是函数的极值点
C. 二阶导数非零的驻点一定是极值点 D. 以上说法都不对
7.若在
上有
,则曲线
在区间
内是( )
A.单调减少且下凹 B.单调减少且上凹 C.单调增加且上凹 D.单调增加且下凹
8.曲线
的垂直渐近线共有( )A.一条 B.两条 C.三条 D.四条
9.设
在点
的某个邻域内存在,且
为
的极大值,则
( )A.0 B.1 C.2 D.-2
10.设
在点
的某个邻域内有定义,若
,则在
处( )
A.
的导数存在且
B.
的导数不存在
C.
取得极小值 D.
取得极大值
二. 填空题(每小题3分,共15分)
11.函数
在
上满足拉格朗日定理的
=________.
12.函数
的单调减少区间是________.
13.函数
的凹区间为_______________.
14.曲线
上的拐点为_______________.
15.函数
的垂直渐近线方程为_______________.
三. 计算题(25分)
16.(5分)计算
. 17.(5分)计算
.
18.(5分)计算
. 19.(10分)已知函数
,讨论其单调性及极值.
四. 应用题(每题10分,共20分)
20.(10分)某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成咋样的长方形才能使这间小屋的面积最大?
21.(10分)某厂生产某产品,其固定成本为100元,每多生产一件产品成本增加6元,又知该产品的需求函数为
.问产量为多少时,可使利润最大?最大利润是多少?
五. 证明题(10分)
22.(10分)当
时,试证:
.
答案:
一.选择题1—5 CBCBB 6-10 DDAAD
二. 填空题11.
.12.
.13.
.14.
.15.
.
三. 计算题
16.(5分)计算
【解析】原式=
17.(5分)计算
【解析】原式=
.
18.(5分)计算
【解析】令
所以 原式=
.
19.(10分)已知函数
,讨论其单调性及极值.
【解析】函数
的定义域为
,且
在定义域内都有意义.
0
3
符号
+
0
+
-
0
+
0
令
得驻点
,
,它们把定义域分成四个区间,列表如下:
所以 函数
单调减区间为
,单调增区间为
,
.
在
时取得极小值
,无极大值.
四.应用题(每题10分,共20分)
20.(10分)某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成咋样的长方形才能使这间小屋的面积最大?
【解析】设长方形小屋的长为
米,宽为
米,面积为
平方米,如图所示
则
, 即有
,
令
得唯一驻点
,且
,即
是极大值点,即为最大值点,此时
,
故长方形小屋的长为10米,宽为5米,所围成小屋的面积最大.
21.(10分)某厂生产某产品,其固定成本为100元,每多生产一件产品成本增加6元,又知该产品的需求函数为
.问产量为多少时,可使利润最大?最大利润是多少?
【解析】设产量为
时,利润函数
,则目标函数:
,即
,则
,令
,得
,且此时
.故
是唯一的极值点,且为极大值点,即为最大值点,最大值
.所以,该产品产量为200时,最大利润为300元.
五.证明题(10分)
22.(10分)当
时,试证:
.
【证明】构造函数
,它在区间
内连续且可导,由拉格朗日中值定理知,至少存在
,使得
,即有
,
而有
,
所以
.
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