“三角函数与平面向量交汇题”透视

“三角函数与平面向量交汇 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ”透视 “三角函数与平面向量交汇题”透视 ? 16?中学生理科应试2O11.9 "三角函数与平面向量交汇题"透视 安徽省太湖中学(246400)李昭平 近年来,三角函数与平面向量的交汇题已经成 为高考对三角知识,平面向量知识考查的一种题型, 不仅题型在变化,而且问题的深度,广度,难度也在 不断加大.针对性地复习这种问题既能加强知识间 的纵横联系,便于形成知识网络,又能拓宽知识视 野,提高解题能力.下面结合典型试题介绍交汇题的 十种类型,供复习参考. 1.求三角函数值 例1已知向量m:(cos0,sin0), n=(?2一sin0,cos0),0?(仃,27r),且 I肌+ 学,求c.s(詈+詈)的值. 解析'.'m+n =(cos0一sin0+/2-,cosO+sin0), . ? .1m十nl = ~/(cos0一sin0+/2十(+ ?2 , „+ 手)=学, . '一s(+予)=. 又c.s(+手)='一l,则 c.s(詈+詈)=. ? . '不<<2不,.?.<号+詈<, . ? . c.s(号+詈)<'.c.s(号+詈)=一. 点评本题主要考查平面向量的坐标加法,平 面向量的模,三角函数的化简和倍角公式,运算量较 大.对相姜笪和公式兽求非常孰练. 当+:仃+仃(后Ez)时, JB=+仃一, . ' . (+2J9)=[(+卢)+卢] = (霄一)=. 当+=2后7r+挈时,同理可证: +2J9)=. 方法二利用变形,沟通关系 ' . ' (+卢)=.(+卢):. . ' . = [(+口)一a]r =+)?. . ' . (+2):[(+卢)+卢] = (+JB)?+(+JB) : (q+)? = (+)?sin =sin. 方法三挖掘隐含,抓住变角 ' . ' (+卢)=,.'.(+卢)=. . ' . (+2卢)=(+卢)一] = (+)?一(+) = [sin(+)一(+)]sin=8in 方法四作差比较,巧妙代入 ' . '十)=, (+2卢)一=(+)?siI=, . . . (+2口):sin? 评析涉及条件三角恒等式证明问题,常从条 件到结论,其过程经常利用特值探求,分类讨论;挖 掘隐含,抓住变角;公式变形,沟通关系;作差比较, 巧妙代入处理. 可以看出,涉及两角和与差的三角函数以及二 倍角问题,解题方法多种多样,主要有切割化弦法, 异名化同名,异角化同角等,对于高次幂化简时常用 降次方法,涉及到三角求值问题还经常利用诱导公 式进行转换,对于涉及三角恒等式证明则根据等式 两端的特征,利用三角恒等变换,化繁为简,左右归 一 ,变更命题等方法使等式两边化异为同.在此过程 中要注意变形的等价性,计算的准确性,思考的严密 性,防止因概念不清,思考片面等造成失误. (收稿日期:20l0—05一l3) 数学版中学生理科应试?l7? 2.求三角形的内角 例2若&ABC的三个内角为A,,c,两向量 p=(2—2sinA,eosA+sinA),碍=(sinA—eosA, 1+sinA),且p与g是共线向量.求角A的大小. 解析p与口共线,有(2—2sinA)(1+sinA)一 (eosA+sinA)(sinA—cosA)=0,即 sin2A:}inA一等. 厅 因为A是三角形的内角,所以取sinA=, A=60.或A=120.. 点评本题以向量为载体,在已知向量共线关 系的条件下求三角形的内角,主要考查向量共线的 充要条件(口=(.,),)与6=(,Yz)共线 .Yz—x2Y=0)和三角函数的简化. 3.求三角形的边长 例3设ZXABC是锐角三角形,a,6,c分别是内 角,B,c所对边长,并且sinA:sin(孚+B)sin(孚 一 +sin曰,府.:12,口:2,求6,c(b<c). 解析因为sinA=(cos曰+ s)(.s一?s)+sin2B=3cos2~一 寺sinB+sinB=3,所以sinA=?,/X,又A为锐 角,A=. 由AB.:12可得cbcosA:12? 由A=,所以cb=24.? 由余弦定理知,口=c+b一2abeosA, 将n=2及?代入,得 C.+6=52? ?+?X2,得(c+6)=100,则c+b=10. 因此c,b是一元二次方程t一10t+24=0的两 个根,解方程并由C>6知c=6,b=4. 点评本题主要考查两角和的正弦公式,同角 三角函数的基本关系,特殊角的三角函数值,向量的 数量积,利用余弦定理解三角形等有关知识,考查综 合运算求解能力. 4.求代数式的取值范围 例4设两个向量a=(A+2,A一CO8)和 b:(m,+sino/),其中A,m,为实数,若口=2b, 求的取值范围.|1 解析由a=2b,得A一m=COS+2sin~= ?A一m?2. 2一(sina一1),所以一2 又A=2m一2,贝0—2?4(m—1)一,n?2,解 1 得??m?2.斗 而::2一,一6??1.mmmm 点评本题融平面向量,三角函数,不等式等 知识于一体,属近几年高考的热点问题,但难度比过 去明显增大.主要 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现在以下两点:一是增加了字母 参数(共有A,,m三个);二是综合性强,涉及到向 量的坐标运算,三角函数的有界性,二次函数的最 值,解不等式等等.将向量关系a=2b代数化(坐标 化)仍然是求解这种问题的通性通法. 5.求向量长度的最值 例5设向量口=(cos23.,cos67.), 西=(cos68.,cos22.),=口+tb,(t?R),求JfJ的 最小值. 解o~oc=口+tb = (cos23.+tcos68.,cos67.+tcos22.) . ? .1cI: (cos23.+tcos68.)+(cos67.+tcos22.) == ?(z+譬)+丢. 当t:一?2 -4-时,lcI的最小值为. 点评本题主要考查向量的坐标运算,向量的 模,两角和的余弦公式,平方关系,求二次函数的最 值等有关知识. 6.求三角函数的图象按向量平移后的解析式 例6将函数Y= sino)x(>0)的图象按向量 口=(一詈,0)平移,平移后的 图象如图1所示,则平移后的 图象所对应函数的解析式是 (). A.y=sin(+-g-) B.y=sin(一詈) C.,,=sin(2+子) 1 |..\.一 /. .一 图1 ? l8?中学生理科应试20l1.9 D.,,=sin(2x一?) 解将函数),=sina~x(~-O>O)的图象按向量 = (一詈.o)平移,平移后的图象所对应的解析式 为),=si附(+詈),由图象知(+詈)=, 所以?=2,因此选C. 点评本题主要考查三角函数的图象沿向量 平移的规律和数形结合的思想.注意函数Y=) 的图象沿向量a=(h,后)平移后所得图象对应的函 数是Y—k=,(—h). 7.求三角函数中自变量的值 例7设函数)=m?n,其中向量m= (2cosx,1),n=(co鲋,?3sin2x),(?R).若) =1一,且[一手,予],求. 解析'.',()=m?n =2cos+4~-sin2x =1+C082X+4~sin2x =1+2sin(2+詈)=1一 . ' -sin(2+詈)=一孚 ? . ?[一争旦3], . . . 一 , 詈?2+詈? . ? . 2+詈=一詈,=一手. 点评本题主要考查平面向量数量积的坐标 运算,形如asinx+bcosx的三角函数式的化简和已 知三角函数值确定角的方法. 8.求三角函数的值域 例8已知向量a=(vC3-sintox,cos),b= (COSO)X,COSO)X),其中?>0.记函数)=a?b,且 ,()的最小正周期为当0<?7/"时,试求,() 的值域. 解析'.',()=a?b =sinmcos僦+COS蚍 = 譬si+ = 譬sin2+?c.s2+? =sin(2tox+詈)1. 因为7r:, 所以?=l)=sin(27T)1. 当0<?了77"时,詈<2+詈?,1? sin(2+7/")?1, 1?sin(2+詈)+??寻,即 1?)??)的值域是[1,3]. 詈)=,(:)=2.如果关于的方程,()+l.g2k 解析-厂()=m?n=asin+bsinxcosx. .2"/T ;.7T7T 得 2sin+2~/3sinxcosx+log2k=0, ~llsin(2一詈. 由l一l?1, 得言?k?2? 例10已知AOAB中,O—A:口, : 易,且 . ? . a+2ab+b=9,且a一2ab+b=4, =孚 解=? 数学版中学生理科应试?l9? 三角函数最值问题的常见类型及解法 甘肃省天水市藉口中学(741014)张福祥 三角函数的最值问题是三角函数中较为重要 的一个 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 ,其题型灵活多变,解法多种多样,又 有很强的技巧性.本文举例介绍求三角函数最值的 常见类型及解法. 一 ,Yasin(础+)+b或Y=acos(+) +b 其解法是有界性法,根据的范围求出sin( )或cos(?)的范围,进而求出函数的最值. 侈01求函数Y=一3sin(2x一=.)+2 (一詈??77)的最值 解'.?一詈??号,.?.一?2一手?Ojj 2了7/",...一鱼2?sin(2一了77)?1, . ? . 一 1?y? 学+2,.-.ym-1,„:学+2_ 二,Yasinx+bcosx+C 其解法是先借助辅助角 sin(x+)+c(sine= 化为Y= b =— '一a)'再根据类型一求最值? 三;,tamp=),再根据类型一求最值.丽 例2求函数y=sinx+c.,?[0,5-]的 最值. 解Y=sinx+4~-cosx=2sin(x+孚), 又0??手所以+手?[,],由三角 函数的图象可知Y„=1,Y„=2 三,Yasin+bsinxcosx+CCOS 其解法是先用降次公式化为Y:Asin2x+ Bcos2x+C=.十Bsin(2x十)+C的形式,再 根据类型一求最值. 侈03求函数Y.3sin+2sinxcosx+COS的 最值. 解由降次公式知),:3.L+in:2,+ =sin2x-cos2+2=in(2一手)+2' 由正弦函数的有界性知Y„=2一?,Y„=2+? 四,Y=asin+bsinx+c或Y=acos+bcosx +C 其解法是换元法,设t=sinx(或t=COS.~),转化 为二次函数Y:at十bt+生t?[一1,1](或其子 区间)上的最值问题. 例4求yC0S2.~+sinx(Il?予)的最值 解YCOS+sinx : (1一sin)+sinx =一si.n+sinx+1.令,=sinx, . ? . Iall易I?1(n+b2):13 , c.s/_AOB= ? 丢,当且仅当Inl=Ibl时等号成立. . 于是.s蜊口=1l口ll6I.sinZ_AOB ? ??孚? ? ??孚??一(丢=?, 当且仅当I4I:I6l:耍时等号成立,所以 ?oA曰面积的最大值为寻. 点评本题主要考查平面向量的运算,解方程 组,基本不等式和三角形的面积公式等,对已知等式 I口+bl_3,I口一西l_2实施平方变形是解题的关 键. 由上可见,三角函数与平面向量的交汇题往往 融向量的数量积,模,坐标表示以及三角函数的性 质,公式,化简,最值,三角形面积公式,不等式等知 识于,体,具有覆盖面广,综合性强,解法灵活的特 点,快速,准确地实施三角知识与平面向量知识的转 化是解题的关键.(收稿日期:2010—07—12)