指数算法求解偏微分方程及大气动力学中的应用（可编辑）

指数算法求解偏微分方程及大气动力学中的应用（可编辑） 指数算法求解偏微分方程及大气动力学中的应用 北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文,是本人在导师的指导下,独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 外,本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声 明的法律结果由本人承担。 日期: 卫生:皇呈翌 作者签名:聋墨搀 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文的规 定,即:研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京化工大 学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘,允 许学位论文被查阅和借阅;学校可以公布学位论文的全部或部分内容,可 以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 保密论文注释:本学位论文属于保密范围,在上年解密后适用本授 权书。非保密论文注释:本学位论文不属于保密范围,适用本授权书。 日期: 型:?:至 作者签名:翌望盟叁 期: 型兰支:至 导师签名:耋进啦学位论文数据 . 中图分类号 学科分类号 密 级 论文编号 非保密 学位授予单位代码 学位授予单位名称 北京化工大学 学 号 作者姓名 邓翠艳 获学位专业名称 应用数学 获学位专业代码 课 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 来源 国家自然科学基金项目 研究方向 计算数学 论文题目 指数算法求解偏微分方程及大气动力学中的应用 指数的三级三阶显式库塔方法,指数中点法,指数梯形法,误差,稳 关键词 定性,球面正压浅水波方程,多守恒格式 ? 论文答辩日期 ?论文类型 应用研究 学位论文评阅及答辩委员会情况 姓名 职称 工作单位 学科专长 指导教师 姜珊珊 讲师 北京化工大学 计算数学 评阅人 刘晓艳 副教授 中国人民大学 算法 评阅人 许兰喜 教师 北京化工大学 应用数学 评阅人 姜珊珊 北京化工大学 讲师 计算数学 许兰喜 北京化工大学 应用数学 椭员会拼 教授 答辩委员 黄晋阳 教授 北京化工大学 微分方程 北京化工大学 最优化理论及应用 答辩委员 杨丰梅 教授 北京化工大学 几何学 答辩委员 姜广峰 教授 北京化工大学 金融数学 答辩委员 杨永愉 教授 答辩委员 崔丽鸿 教授 北京化工大学 小波 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 理论及应用 答辩委员 施小丁 教授 北京化工大学 微分方程 注:一.论文类型:.基础研究.应用研究.开发研究.其它 二.中图分类号在《中国图书资料分类法》查询。 《学科分类与代码》中查询。 三.学科分类号在中华人民共和国国家 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 / 四.论文编号由单位代码和年份及学号的后四位组成。摘要 指数算法求解偏微分方程及大气动力学中的应用 摘要 指数方法是一门新兴起的方法,它可以揉合在其他方法里面,改进原 有方法,例如指数龙格.库塔方法。本文就是构造了指数的三级三阶显式 库塔方法、指数中点法、指数梯形法,分别用它们求解一阶常微分方程、 偏微分方程、大气动力学方程,并与指数的三级三阶显式方法、经 典方法进行比较,数值试验表明:我们构造的格式误差更小,精度更高。 在求解一阶常微分方程方面,文章构造了指数的三级三阶显式库塔方 法,分析误差及稳定性,举例求解五种类型的一阶常微分方程,并与经典 的龙格.库塔方法、指数的三级三阶显式方法进行比较,数值试验给 出误差图,总体上可以说明我们的方法最优。 在求解偏微分方程方面,文章构造了指数中点法、指数梯形法,分析 误差,将之求解方程、方程、非线性方程,并与经典 方法进行比较,给出相关的误差图及数据图,验证方法使方程保持了原有 的物理守恒性,同样也得出构造的方法优于经典方法,前途更光明的结论。 实例方面,将大气动力学方程经过空间离散转化为多守恒格式,尝试 用指数中点法对其时间方向进行离散,得到全新的离散格式。理论上验证 方程仍保持原有的若干物理守恒性。 关键词:指数的三级三阶显式库塔方法,指数中点法,指数梯形法,误 差,稳定性,球面正压浅水波方程,多守恒格式北京化工大学硕士学位论文 唧 哐 埘。 . .. , ? ,.,.?. . ,‘ ,? ; . ? . , . ,.. ’ . , . , . , .:, , ,, ,? ?目录 目录 第一章绪论?.. .选题背景和研究意义?。 ..选题背景 ..研究意义 .指数算法与大气动力学方程相关问题的研究综述?.. ..指数算法的研究现状? ..大气动力学方程的研究现状?。 .主要研究内容和创新点。 .论文结构安排?。 第二章指数算法的理论与方法??.. .构造指数三级三阶显式龙格.库塔格式 ..构造格式.::..分析误差及稳定性?. ...分析误差?.. ...分析稳定性.. .数值分析 .本章小结. 第三章指数算法在偏微分中的应用 .指数中点法..构造格式??.. ..分析误差??.. .指数梯形法..构造格式??. ..分析误差??.. .偏微分方程数值试验? 北京化工大学硕士学位论文 .. 方程...对方程时间方向与空间方向进行离散?.. ...线性化稳定性分析.. ...数值分析.. 方程??.. ...对方程时间方向与空间方向进行离散?.. ...数值分析?.. ..非线性方程...构造格式?。 ...数值试验?。 .本章小结 第四章指数中点法用于大气动力学方程? .多守恒格式.指数中点法的应用??. ..构造格式??.. .本章小结 第五章成果与展望? .研究成果 .未来展望 参考文献? 致射. 硕士期间已收录的文章??... ... ..? ..??.. ... .?...?..??..?.??.?.?. ....??....?..?.?..?... ..?.??.?.??.?.??.?.??.?.?.?..?.??.. . 仃?. .? .?. ..??.?..?.??.?.?...??...??.??.?.?..?.?.? ................................................................. ................................ ... ?.?..?.?.?.?.?...?.?.?.??.....??..?.?. ... ?...??...?.?.?.?.?..?.?...?.?.?.??.. .: ’.?..?..??..?.?.?.??..??..?.?.....?.?..?.?. . ?..?..?.?..??......??..?.??.?..??.?.?..?. .............. :;. 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疑具有科学意义,而且也很必要。 大气动力学方程组非常复杂,但由于大气相对地球半径来说就是很薄的一层,通 常我们可以用球面正压浅水波方程【来近似。方程如下所示北京化工大学硕士学位论文 口 瓦磊面丽历磊面 口秒觑口口秒力、 / 丽孕一口秒。 一 ??????一??一二 ‖ , 、 五, 、口臼觑 口秒 口 口 考囊?嘉历三型口 \ / 丝?型.?:口\觑 / 方程定义域为 ?名?‘?; ‘ :一至?乡?至 【 为齐次边界条件,具体为 ?., 名,一三,名,/,,。 这样的话,在研究的时候,就简化了原来方程的复杂性,进而可以选取统一的 参数, 利用可以相互转换的模式【】,使?转换成我们所熟悉的偏微分方程系统的模 式,便 于研究它的性质及物理守恒性。 在模式转化完后,就需要构造差分格式,求解方程,这时需要对时间方向和空 间 方向进行离散。的改写形式有很多种,比如说,通量形式、涡度散度形式等【,; 还可以根据它的定性理论,通过算子进行转换【,在此基础上研究方程性质。 这些形 式在离散前一般是等价的,离散后通常不等价,也就是说差分格式不同,计算 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 不 同,误差及精度就不同,那构造的差分格式及进一步的数值分析就很重要了。我们研 究的的就是发展更有效的计算方案。通过算子进行转换的差分格式有隐式能量守恒 格式、准辛格式、多守恒性等【】。 到这里,我们就可以试想一下,指数算法能应用到大气动力学方程里面吗如果 答案是肯定的,那构造的格式比原来已有的格式数值效果更好,物理性质更高吗期 待本文给出这个答案。 ..研究意义 非线性理论迅速发展,为大气动力学的研究开辟了新的领域【】。不仅如此,人们 还把它推广应用到气象分析、气象振动等方面】,取得了很大的成就。 指数算法是近些年崛起的一种新算法,我们可以尝试将这种思想糅合到各种数值 方法里,用来求解微分方程,得到解的误差比经典方法的误差更小,还能使方程保持 秒第一章绪论 原有的物理守恒性,改进了经典方法。进而我们就可以尝试求解大气动力学方程。 非线性动力学的全局分析理论之一指出大气动力学方程组是空间的一种正则 算子方程,可表述为空间的非线性算子方程,形式如下 黟【?小如舻跏 ‰ 【 这样在时间方面进行离散,构造的差分格式很多,计算效果也是彼此不同。如果可以 找到优秀的指数算法,使式.的差分格式数值分析的效果比经典的更好,物理守恒 性更重要,那不仅可以更加精确地研究大气动力学方程组,也为改进数值方法进了一 份力。与此同时,在指数与非线性方程之间构建桥梁,还可以推广到别的领域,改进 现状,为科研事业增砖添瓦。 .指数算法与大气动力学方程相关问题的研究综述 ..指数算法的研究现状 微分方程的数值求解问题历来很受重视。常用的求解方法有欧拉法,龙格.库塔 方法,线性多步法等【】。许多科研工作者也一直都在研究改进已有的数值方 法。早在 年,提出了利用已知频率发展新型线性多步法的理论。在此基础上, 以 为代表的团队在将指数函数应用到显式龙格.库塔方法,构造 了指数显式龙格.库塔方法,其表达式如下 此。此办?包厂吒,鬈 一 .、 、’ ,,..., 乃一十办?驴厂,艺 , 年他们又将指数方法推广到整个龙格一库塔方法系统中。这种指数的龙格.库 塔方法选取参数不同,构造的格式就不同,求解方程的数值误差也不同。随后,他们 对指数方法的两种不同的配置方法,固定点法和可变点依频率而定法【进行了讨 论,将这两种方法应用到经典的二阶、、方法上,构造相 应格式,并通过数值试验表明,一般的方程,固定点法优于可变点法,但是某些特定 的方程,两者都可使用,同时也达到了改进经典的方法的目的。 , 在求解高阶常微分问题方面,提出指数的.方、法【北京化工大学硕士学位论文 此方法从二阶振荡解的数值积分中推导出来,显式的指数的.. 方法主要是二级和三级,代数阶是三和四。这些方法在控制时间步长上,增 加了一个小扰动。数值试验表明,此类方法比其他指数方法更具有优越性。 】拓展分析了带有震荡性方程的一些显式龙格.库塔方法的稳定性。这些方 法可以是指数的,还可以是相位的,耗散的等等,稳定性的分析区域从一维扩展到二 维,并有数值试验进行验证。他构造了四阶辛的指数的改进的高斯方法【,也就是在 经典的龙格.库塔方法中增加两个自由参数来保持辛性质,用来处理一些哈密顿问题, 改进了原有的方法。 在收敛性方面,将指数的龙格。库塔方法应用于线性或半线性抛物问题,】 分析了这些方法的收敛性,这里选取的空间是具有扇形算子和利普西茨连续非线性的 巴拿赫空间。他指出,这些指数方法至少随着它们的阶收敛,如果方程具有很好的时 间和空间平滑度的话,更高阶的收敛性也存在。 思考指数龙格.库塔方法的收敛方法,用它们来解决线性和半线维环 面的柯西.薛定谔问题,证明在这两种情况下,依据假定条件下的级阶方法,可 以充分地推导出级阶格式。给出数值试验并与求解抛物问题的指数龙格.库 塔方法作比较,阐述了在有限时间区间里,在求解过程中,使用前者对时间共振步长 的影响。 对于旯的选取问题,】等讨论它的选取方法,主要是通过查理森外推法控 制误差跟步长,并给出了这种方法的影响。 【进一步进行研究。他解决了如何调整名的取值,使指数方法达到最优的问 题,而之前,这种取值方法只能应用于二阶指数龙格.库塔方法,现在可以应用于高 阶方法。 到现在为止,能构造的指数方法最高为八级六阶,指数阶最大为三。借助薛定谔 方程,和】增大指数阶,分析阶段误差并与经典的误差作比较,数值 试验表明,指数阶越大,局部阶段误差相对经典误差越小,差分方程能量越高。 另外,将指数融入矩阵中,构造了矩阵指数法【,应用到差分方程中,能获 得更高的准确度。这些均可以查阅相关文献。在此就不赘述了。 第一章绪论 ..大气动力学方程的研究现状 为了更好研究大气,我们用球面正压浅水波方程来近似大气的运动。这个方程组 的数学解问题一直为科研者所苦苦探究。早期曾庆存【】曾对欧拉型的大气 方程进行过 研究,取得了一定的成就。后来,王必正又推出了半拉格朗日算法【,将其应用到大 气动力学方程中,指出拉格朗日型方程是绝对稳定的,而欧拉型是非线性、不稳定的。 年,李建平提出了一种算子约束法来简化方程,随后,王斌等用正则算子简 化大气动力学方程,以验证大气动力体系是哈密顿系统为前提,构造辛算法,求解方 程,证明此算法是性能优良的。年,他又在此基础上构造了多守恒差分格式【, 修正差分格式,使方程的物理守恒性由个提升到个。这样新的差分格式就有个 守恒性,数值试验也取得了很高的效果。更为激动人心的是,年,季仲贞从有限 差分的角度出发,分别构造了三种不同的格式,通过数值分析,综合论述了三种方法的 优劣,提出:在应用过程中,可根据实际情况选择相对更适合的方法。年,王斌 又用显式多守恒有限差分格式【】进一步求解大气动力学方程。这是一种半离散化的数 值方法,它使方程仍保持个守恒性,数值效果更好,而计算时间却比隐式的多守恒 格式少很多。 国外在求解球面正波浅水压方程方面,近几年也颇多收获。提出了哈密顿 质点网格理论【?,就是用约束质点运动和准谱方法来近似改进的亥姆兹方正 则算子。而显式辛几何积分法的时间步长的选择则依赖于物理平滑度。相对于方程的 解析解,提出非定态解析解【,这种方法是从固定的笛卡尔坐标转换成旋转 地坐标中推导出来的。通过这种方法,我们可以用实验的方式测验时间序列的数值收 敛性。具体到大气动力学方程上,更可以体现出这种方法使方程具有良好的收敛性。 .主要研究内容和创新点 指数方法是新近发展起来的一种数值算法,将它与经典的数值方法糅合在一起, 不仅能保持原有方法的优点,还比经典的格式误差更小,精度更好,应用到具体的方 程里面,效果也是显著的,这说明指数的算法是具有很高的理论研究价值的。 我们构造了指数的龙格.库塔方法、指数中点法、指数梯形法,把这些指数算法 分别应用到常微分方程、偏微分方程、方程、非线性方程方程, 进而尝试应用于大气动力学方程,求解方程,以求达到改进方法,提高精度的目的。 大气动力学方程是一组非常复杂的非线性方程,通常用球面正压浅水波方程来近 似。研究的时候必须通过等价的模式转化可以是正则算子,得到简化的形式。然 后对时间、空间方向进行离散,实质上就是将偏微分方程转化为常微分方程有限阶。 这样的话,就可以求解差分方程。显然选取的方法不同,差分方程的数值结果就不同,北京化工大学硕士学位论文 那么我们选用的方法很重要,这也是文章的主要宗旨。 针对以上的内容,文章的创新点如下: 构造了指数高阶显式方法,特别是指数的三级三阶显式库塔方法,分析误 差及稳定性。将其应用到常微分方程及方程组五个例题中,解的误差比经典的龙格. 库塔方法、指数的三级三阶显式方法要好。 构造了指数中点法、指数梯形法,分析局部误差,并将其应用到方 程,进一步又应用到方程及非线性方程这三类典型的偏微分方程系统中, 分别与经典的中点法、梯形法进行比较,验证方程是否仍保持原有的物理守恒性。可 以发现这两个方法在原有方法的基础上确实有一定的改进,使方程除了解精度更高 外,还能保持原有若干物理守恒性。 为了将指数中点法更好地应用到大气动力学方程中,先把方程已转化为多 守恒格式。对格式的时间方向用指数中点格式进行离散,验证方程是否仍保持若干个 物理守恒性。 .论文结构安排 综合上述内容和结论,文章内容和章节具体安排如下: 第一章首先依次介绍指数算法和大气动力学背景及发展趋势,综合阐述与本课题 相关的国内外科研进展情况,论述本文的选题动机及意义,明确文章的主要内容、创 新点,给出章节的具体安排。 第二章构造了指数的三级三阶显式库塔方法的,.一和,.的两种格式,分 析误差及稳定性,将其应用到常微分中,通过数值试验,与经典方法及指数三级三阶 /, 、 方法的取值为 ,一,一/.进行比较,结果表明,我们构造的两种方法误差及 \ /『 稳定性是一样的,都优于所作比较的另两种方法。 第三章构造了指数中点法、指数梯形法。分析误差,又将其应用到偏微分方程 方程、方程、非线性方程中,通过数值试验,分别与中点法和 梯形法进行比较,得到我们构造的方法使方程仍保持物理量的物理守恒性、解的精度 更高的结论。 第四章将球面币压浅水波方程转化为多守恒格式,验证方程仍保持原有的个 基 本物理量的守恒性。对其时间方向用指数中点方法进行离散后,得到全新的离散格式, 方程依然保持三个物理量的守恒性。第一章绪论 第五章总结全文,展望未来。给出未来可以继续深入探讨的方向,以及可以推 广的领域。北京化工大学硕士学位论文 第二章指数算法的理论与方法 求解一阶常微分方程的方法有欧拉法,龙格.库塔方法,线性多步法等。但是对 于钟摆问题、振荡问题、共振、波动问题等, 这些方法的解存在明显的震荡性。到 现在为止,我们已经能够将一些线性无关的函数融合到一起构造线性多步法,然后通 过调整频率改进这些数值方法。而将指数方法应用到龙格.库塔方法里面,这是一个 很大的突破,可以提高方程解的精度。 下面研究的就是将指数的思想用于显式三级三阶库塔格式,选取一定的参数构造 格式,分析误差及稳定性,并与经典的龙格.库塔方法、指数的三级三阶显式公 式进行比较,进而得出本文的方法误差较小,精度更高的结论。 .构造指数三级三阶显式龙格.库塔格式 针对一阶常微分方程 一 ’,少, 引入指数思想,显式指数龙格.库塔格式满足的系数方程为: ““窆岛;’ “窆?。’’ 且 乃??窆%蟛‖ , ? 卜;窆吩??:,’唧圳 求出/,形,『的值,这里,’,,,...,,歹,,...,。或者写成 表的形式:第二章指数算法的理论与方法 以 以 ? ? : : ,一 厶 及 . 而经典的龙格库塔方法,表中参数均为常数,且并不考虑乃汪,, 的存在。为了确定指数龙格.库塔方法的各个参数,就需要引入线性泛函 . ,,少一’吒办,,?, 三,,,一一办?’矗办 使得式线性泛函对于基唧织,一精确成立而非经典基,砖 ..构造格式 考虑三级龙格.库塔方法,从而选取节点为 。,,,一. 等式转化为 乃, 士? . 儿?。以 ? ?,?,‘嗡士兰士,】?乃?,’吩。吃土专】 其中’。计算结果,得到,。北京化工大学硕士学位论文 另外根据代数阶条件设 , 得到 兰一,兰 一 ,一兰 ?::三::三了兰’么:,一二詈 令口。一,由式?、?可得下列系数的表达式 , 吒 口 ??了 壁 一 圪一 乃 ‘三 圪二乃:三 得到格式,写成表格的形式为 . , 一 一 , 勰兰 ?...........................?? , 一、 ? ? ... 叫 詈 驴商’ 四网 ’三一上一上,一... ‘ 弘’ 去山志.. 第二章指数算法的理论与方法 产 一 沪 一、 一 ?一钉 一 口 一 . 。一镌。一他 。一跗一田 。一埘一蚴 一 丽旦罴 一九一田 ?. 一 叫. ??一 。一揖。一 去扣 由此可见,当专时,该方法退化为经典的龙格库塔方法。 / ? 并且具有三阶代数精度。 通过泰勒展开式还可以验证以下代数阶条件 ?包?口。去..? 弋,, 乙 ?岛孑雨。 丽..? 百去志..? ‰矾,:上旦,... 岛口口 石一‘??’? ‘:上一上旦一... , 讫一丽‘磊丽’? ?咖,小去 ??%乃三一去去..? ??吲以去熹..? ??张以去..? .一北京化工大学硕士学位论文 ??一. ???????????????????????????????????二??????一一 去芦志... ??岛以一口『 万? ..分析误差及稳定性 ...分析误差 由替换表达式 匕托以厂,以 乃儿,。厂,。办口;厂,艺 可以得到指数三级龙格.库塔方法的表达式 儿,儿岛厂,只办如/,墨 ., 在不引起混淆的情况下将瓜,只可简写成厂。令胞:,艺,化简表达式,整 理后得到 肘万厂 厂一十,珂 将含的项进一步进行多元泰勒展不,整理可以得到 ‰儿矽办六五历石办六乃石矗玩石磊厶三矗如吾办厂厶 去五厂厶‘去五厶‘西五磊‘苫办六厶吉历厶去五厶 吉厂岛否办厂厶去办厂岛虿办厂岛击办肛厶一吉办厂‘厶 上 蚝易一芝斗 厶一矗虼‘去办以厶。办 另一方面,方程的精确解具有泰勒展开式,如下所示 少乙办此砂’五少等酉少。 第二章指数算法的理论与方法 虼州等六十譬影等厶等磊等心六‘ 等影丢厶等砧等厂岛六厶玩厶 丢厂厶百织厶厂‘厶万 厶六‘丢彤。办 两者作减法,得到误差表达式 乙办一只。一去六厶玩厶织厶一厂‘厶 允厶厂厶一‘厶一乃以 一互 一六‘一影一 对照文献四中的误差分析方法,从而得到结论定理,定理。 定理指数的三级指数龙格.库塔方法具有三阶代数精度,且具有局部截断误 差 。。一去六厶历厶织厶一击一厂 厶一六 一玩 一去办允厶厂厶一‘厶一‘此 中.当函数:彳.或者:时.局部截断误蒡的首项就很化为零。 同理,也可以设格式中,:,从而得到另一个类似的格式. , 一 / 一??????? ,兰岛 兰一兰 ?一 ?::三::薹了兰 :,一。兰 同样可以得到类似结论北京化工大学硕士学位论文 定理三级指数龙格.库塔方法具有三阶代数精度,且具有局部截断误差 ,一去五厶玩厶成厶一一六‘一%一历 一互 一六 一.如一影一去办一五‘一%一影 一去矗一心一主心心批厶一 厶吖以删 如果在假设格式时不仅仅考虑已有的个方程,但也不另外设定参数,则得 到带有两个自由参数的格式的一般形式. , 一 , / ‘。??. , , 鲫口粥五 了 吧 互呜 魏 吃 岛 包?』一 罢包 ’, 么 显而易见,一般格式包含格式和格式,而选取不同的参数,就可以得到此类中 任意的三级指数格式。 新构造的函数类,均带有自由参数,格式也随着参数的选择不同而不同,但并 没 有数学理论精确地讨论过允的取值。目前仅有的目标就是通过一种算法使误 差尽可能 的小。因此,在误差计算表达式中,令局部截断误差的首项等于零,即 来计算旯在每个,‘,】上的值】。 ...分析稳定性 考虑一阶微分方程数值方法的线性稳定性,一般将格式应用到模型方程 ‘ 工 第二章指数算法的理论与方法 令,得到一股形式 槲办厂‘,只办吃厂,, 咒矾岛墨 翻如兄岛乃只么口:。。岛。只 要使方程达到绝对稳定,就必须有如下条件成立 . 寺缸?杪.,?办‰?雌,?办呢, 带入格式的参数数值,得到 卜 ,去件? 带入格式的参数数值,得到 卜五 争而 件, 当.时,即两个格式退化为经典库塔方法的稳定性条件 一 一 ?图像如图所示 图稳定分布图 北京化工大学硕士学位论文 .数值分析 。 ,??,九.,真实解为一 分别用经典的库塔方法,指数的三级三阶显式库塔方法,指数的三级三阶显 式 方法文献已构造求解方程,可以得出本文构造的方法最好,误差最小的结 论。误差效果如图所示。 圈数值试验各万法的误差结来 :一少。:,。, ?? :。,儿 真实解为 ,一一 用库塔方法,指数的三级三阶显式库塔方法,指数的三级三阶显式方法求 解方程组,得到的误差图如图所示,可以看出本文构造的方法误差相对较小, 精度更高。这里,旯或者咒。 ’, 真实解为 ??, 一一 其中旯. 用库塔方法,指数的三级三阶显式库塔方法,指数的三级三阶显式方法求 解方程,得到的误差图如图.所示,很容易发现,这三种方法与真实解的误差 差第二章指数算法的理论与方法 别几乎是相同的,对比不明显,因此我们可以说,对这个方程,三种方法精度 相近。 × 裘 允 × 、 茂 五 图数值试验各方法的误差结果 图数值试验各方法的误差结果北京化工大学硕士学位论文 。, 真实解为 的取值范围是 ??娑,名. 同样用库塔方法,指数的三级三阶显式库塔方法,指数的三级三阶显式方 法求解方程,得到的误差图如图所示,从图上可以看出,前两种方法与真实 解的误差差别几乎是相同的,对比不明显,但是都比第三种方法要好很多,前 两种方 法优于第三种。 图?数值试验各方法的误差结果 ’, 真实解为 的取值范围是 ?? ,兄. 依旧用库塔方法,指数的三级三阶显式库塔方法,指数的三级三阶显式方 三种方法按照优越性 法求解方程,得到的误差图如图所示,这次误差明显。 从高到低,依次为指数的三级三阶显式库塔方法,库塔方法,指数的三级三阶 显式第二章指数算法的理论与方法 方法。可见我们构造的方法是最好的,精度最高。 图数值试验各方法的误差结果 .本章小结 用库塔方法,指数的三级三阶显式库塔方法,指数的三级三阶显式方法求 ? 一, 、 解个方程。从解的情况来看,对于/, ,如果右边是只是关于的表达 式,那我们构造的方法明显优于所做比较的其他两种方法:如果右边是与的 线性 关系,则这三种方法优越性并不明显,与真实解的误差相差很小;如果右边是 关于 的表达式,则前两种方法精度很相似,都高于第三种方法;如果右边是与的乘 积 关系,也可以得到我们的方法优于其他两种方法的结论。 北京化工大学硕士学位论文 第三章指数算法在偏微分中的应用 指数算法已经应用于一些偏微分方程,比如说薛定谔方程,取得很大的成就。 下面就尝试将构造的指数中点法、指数梯形法应用于方程、方程、非线 性方程。 方程和方程是在非线性作用的假定下,微分方程 ,工取‖“勰 在艿,万一 ‖两种情况下的特殊形式【。 方程.是近似描述色散和耗散二者兼有的实际物理问题,所以研究它具有理论 与实际双重意义,这里方程是非线性耗散方程,方程是非线性色散方程, 它们的研究也是有双重意义的,同样研究它们的数值方法也具有理论与现实意义。 方程可作为一类流体流动现象的数学模型。早年,率先应用模 型 , 歹‰ 来描述流体的一类流动现象.湍流。随着后来研究的深入,方程.就成为描述对流. 耗散流交互影响的原始模型,称为“方程”,写成一般形式为 坼,一夕“盯 它其实是忽略压力项情况下的.方程的简化形式。它在通信、光学、量子场论等领 域有着举足轻重的地位,因而它的求解方程也倍受关注,具有理论与实际应用价值。 已有的求解方法有直接解法【】、交替隐式分段算法【】、并行算法等【,我们研究的 就是将指数中点法、指数梯形法作为它的求解方法,与中点法、梯形法进行比较,分 析数值结果,达到改进方法的目的。 方程是非线性色散方程,它描述了具有有限振幅的一类色散波,这类波具 有长波长且小的特征。它的方程表达式为 ?? “?? .、 ~’ 瓦恸? 。 嘉 它已有很多的求解方法,例如几何积分法【】、指数的有限差分法【加。前者主要是固第三章指数算法在偏微分中的应用 定时间和空间的步长,并且很长一段时间里,半显的辛的有限差分方法专门被用于方 程的求解;后者在应用过程中,计算解的精确度,与其他数值分析方法作比较,得出 结论:指数的有限差分方法是一种有效的差分方法,它使方程的解精度更高。 在相对论量子力学方面,方程算是最基本的方程,并且它在量子化学、材 料等领域【】也有大量的应用,鉴于它的求解比较困难,那就需要选用恰当的方法,同 时还要保持它的物理性质的守恒。 .指数中点法 ..构造格式 选择基空间丁?国,则指数中点法满足如下方程 ?? ?纠,乃鬲一了,翻两 儿。碱掣厂 一 匕孔 业文 匕心到 ..分析误差 将儿与进行泰勒展开后作差,得到指数中点法的误差公式为 ‖缈 三删一北京化工大学硕士学位论文 .指数梯形法 ..构造格式 指数梯形法满足下列式子 , 当,时, 】叩?蛔?泐而【砬】 解之,可得 ::? ,, 由 ?儿 我们可以计算出另外两个系数 , 儿, 口?? 将以上所得系数代入.,转换下格式,得到指数梯形法的具体形式 ’ . 、撵。:。掣厂。,少。厂‘。,。, ..分析误差 将少.,,与乙泰勒展开后作差,得到指数梯形法的误差公式为 . ‰第三章指数算法在偏微分中的应用 .偏微分方程数值试验 .. 方程 给定式的初始条件及具买解 它的初始条件为 “,厂, 、 ’ : ?::; 【“, 真实解为 ??,? “,旦』兰三?兰警??,? “【,??了:;二 式中 肚.占川..,孚..,占.. ...对:程时间方向与空间方向进行离散 设为空间步长 乃,/,,.一,,;办专 为时间步长, 乙:,,,:,,向 剖析网格,分别将时间方向与空间方向进行离散,空间方向进行中心差分格 式的 离散,具体表达式为: 一阶的中心差分格式为 二警北京化工大学硕士学位论文 五毕 应用指数中点格式进行时间方向的离散,具体方法如下 时间方向应用指数中点法、空间方向应用中心差分法进行离散后表达形式 时间方向一阶的离散形式为 科三鬈 的离散形式为 “型兰 ’空间方向二阶的离散形式: 斟盟鼍筹华型 一.磊一 磊 ~,一 一,厅 啷 一 一, ~/,??\ 通过化简,得到指数中点法的具体表达式为 一“川?;制一“』一卜“务,?;弘?, ‘。’ 一“,“抛川“,一“蒿一“二。 把表达式系数写成矩阵的形式,则有 /,,?,这里 彳,鼻第三章指数算法在偏微分中的应用 . ~ 一 一 . 一 一 .. 乞... ... . ...也 一 一一 一 乞 ??????????????????? ,灯 ~ ~ 乞.. 之... ~... ...乞 乞乞 ?????????????????? 、 互一““ד“一叱一“疹一,一%“;ד“:一“岩一“?’ 变换形式,得到求解公式 “斛“”互彳. 令~,则表达式又可改为 肘订彳。 当,时,指数中点法退化为中点法,此时式.除系数发生变化外,其余 皆不变,具体变化为 气 面一 办 时间方向应用指数梯形法、空间方向应用中心差分格式进行离散,具体方法 如下 一阶时间方向的指数梯形格式为 新尝:摘 差分格式进行离散,具体表达式为 对罢采用中心 塑、”一墨二堕 丝?型型 办 舐/ 缸/, 对采用中心差分格式进行离散,表达式为 ‘北京化工大学硕士学位论文 设 九一科?一 一 焉掣 铲弋蔚 通过化简,得到指数梯形法的表达式为 一鬲“爿“盖。?;一??。 ‘?’ 一,“,。一“.,一。“;“爻。一“?。 将表达式系数写成矩阵的形式,有 ,,? 叫”; 这里 ~ ~ 佗也... 叩..。 ~... ...乏 乞 仃 乞? ?????? ?? ?? ?? ?? ???? ?? 互一ד‖一矿“×甜;一“;,?,一矿ד一“;::%ד一哟一, 此时,有 “”五。 令~,此式又可转换为 “肘“”互 . 当专时,指数梯形法退化为梯形法,此时式.系数发生变化,表现形式 第三章指数算法在偏微分中的应用 不见,具体变化为 气 石 甭 ...线性化稳定性分析 对于上面所列出的系数矩阵,我们可以得到如下定理 定理指数中点法与指数梯形法所构造的格式均为空间方向为二阶精度,时间 方 向也为二阶精度格式,局部误差满足,并且这两种方法都是无条件稳定的。 ...数值分析 分别用指数中点法公式.与经典的中点法,指数梯形法公式.与经典的梯 形法编程求解方程,此时,.,.,得到解与真实解在时间方向的误差数据表, 可以明显的看出,在求解过程中,相对中点法来说,指数中点法对方程时间方 向的误 差影响要小的多;相比梯形法来说,指数梯形法对方程时间方向的误差影响 较小,优 越性好,具体如下所示 表 的绝对误差数据图北京化工大学硕士学位论文 ..方程 对于如下形式的方程 伊“ 抛 锄 一 ????‖。 瓠‘ 众多文献表明,方程具有无穷的守恒量。下面我们给出前几个守恒量。 守恒量 ,出 置 守恒量 ,出 最 守恒量 :产善鲨一‖塑笺坐 : 锨 我们在构造方法高精度地近似模拟真实解的同时,尽可能地让方程能够保持 更多 的守恒量,为此采用如下的离散形式。 ...对方程时间方向与空问方向进行离散 设为空间步长,乃,/,,,/; 办专; 设为时间步长,乙刀,聆:,,三.剖析网格,分别将时间方向与空间方 向进行离散,空间部分的表达式为 一阶的中心差分格式为 ,抛丫一“务一掰?一 办 良/ 三阶的差分格式为 ,“丫一“:一“。哆。一“二: 矗 苏 . 应用指数中点法进行方程时间方向的离散,具体方法如下 时间方向应用指数中点格式,空间方向应用中心差分后的离散表达式 时间方向一阶的离散表达式为