矩阵理论 矩阵的标准型

GEM2矩阵的标准型* 目录 2.1一元多项式 2.2因式分解定理 2.3矩阵化简 2.4l阵的标准形 2.5矩阵相似的条件 2.6矩阵的若当标准形 2.7矩阵的最小多项式GEM2.1一元多项式定义.设n是一个非负整数， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式*GEM*则称f(x)与g(x)相等，记作f(x)=g(x)。GEM*多项式加法GEM*运算规律:GEM*数乘多项式运算规律:GEM*多项式乘法其中k次项的系数是GEM*运算规律:GEM*定理2.1.1（带余除法）设f(x)和g(x)是数域F上的多项式，并且q(x)和r(x)是唯一的，带余除法且g(x)≠0，则必存在多项式q(x)和r(x)，使得若r(x)=0，则称g(x)是f(x)的因式，f(x)是g(x)的倍式，也称g(x)能整除f(x)，并记作g(x)|f(x)。GEM*例2.1.1设f(x)和g(x)是有理数域F上的两个多项式GEM*GEM*2.2因式分解定理若h(x)既是f(x)的因式，又是g(x)的因式，则称h(x)为f(x)与g(x)的一个公因式。若h(x)既是f(x)的倍式，又是g(x)的倍式，则称h(x)为f(x)与g(x)的一个公倍式。GEM则称d(x)为f(x)和g(x)的一个最大公因式。则称d(x)为f(x)和g(x)的一个最小公倍式。GEM*使得d(x)是f(x)和g(x)的一个最大公因式，GEM*不可约多项式注意：(1)一次多项式总是不可约多项式；(2)多项式的不可约性与其所在系数域密切相关。GEM*因式分解唯一性定理定理.数域F上任一个次数不小于1的多项式f(x)都可以唯一地分解成数域F上有限个不可约多项式的乘积。其唯一性是指，若有两个分解式则s=t,并且经过对因式的适当排序后有GEM*称为标准分解式。分解式GEM*复系数多项式的因式分解定理：因式分解定理次数不小于1的复系数多项式在复数域上可唯一地分解成一次因式的乘积。标准分解式为GEM*实系数多项式的因式分解定理：次数不小于1的实系数多项式在实数域上可唯一地分解成一次因式和二次不可约因式的乘积。标准分解式为GEM的标准分解式。例求在实数域上的标准分解式:在复数域上的标准分解式:GEM*2.3矩阵化简文件在计算机中存储方式：二进制代码特别地：图像在电脑中存储方式（除了文件头等）黑白：0-1矩阵，如分辨率为1024*980的一张黑白照片，占用空间为1024*980*1/8=122.5kb。彩色：三基色（红、绿、蓝）理论，每一种颜色分级为0-255，一个像素占用1*3个字节，全为0表示黑色，全为255表示白色；如分辨率为1024*980的一张彩色照片，占用空间为1024*980*8*3/8=2940kb。问题：存储空间有限，文件如何化简？GEM*将存储空间的0-1看成一个矩阵，进行矩阵的化简矩阵化简的种类：矩阵合同：对n阶方阵A和B，如果存在可逆矩阵C满足B=CTAC，就称矩阵A和B合同。矩阵等价：对矩阵A和B，如果矩阵B可以经过一系列初等变换化为A，就称矩阵A和B合等价。矩阵相似：n阶方阵A和B，如果存在可逆矩阵C满足B=C-1AC，就称矩阵A和B相似。GEM矩阵的相似是利用最多的一种方式一个矩阵相似于对角矩阵的充要条件是矩阵有n（原矩阵阶数）个线性无关的特征向量。不是所有的矩阵相似于对角矩阵，如问题：不能相似于对角矩阵的方阵相似最简单情况是什么？GEM*2.4l阵的标准形定义.元素是l的多项式的矩阵称为l矩阵，记作A(l)例如GEM定义.设l矩阵A(l),B(l)满足称A(l)为可逆的l矩阵，且B(l)为A(l)的逆。说明：l矩阵可逆与数字矩阵可逆的区别与联系（向下兼容性）。GEM*定义.l矩阵的初等变换GEM*定义:若l矩阵A(l)经过若干次初等变换变为B(l)，l矩阵的等价GEM*“A(l)可经过若干次初等变换变成一个l矩阵，其(1,1)元素是其余所有元素的公因式。”GEM* 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 过程与情形1类似GEM*此时已化成情形2GEM*定理：设A(l)为m×n阶l矩阵，则A(l)等价于分块对角阵称为A(l)等价标准形，其中l矩阵的等价标准形GEM例：求l矩阵的等价标准形*GEM*GEM*GEMl矩阵的秩定义：l矩阵A(l)的不恒为零的子式的最高阶数显然，等价的l矩阵有相同的秩。称为A(l)的秩。事实上，l矩阵的初等变换不会改变其子式恒为零与否的状态，也就不会改变其不恒为零子式最高阶数。GEM行列式因子定义：l矩阵A(l)的所有k阶子式的最大公因式定理：等价的l矩阵有相同的各阶行列式因子。事实上，初等变换不会改变A(l)各阶子式的最大公因式也就不会改变其各阶行列式因子。性质：GEM*求A(l)的各阶行列式因子方法：GEM例：求l矩阵的各阶行列式因子。GEMGEM例：求l矩阵的各阶行列式因子。GEMGEM*不变因子定义：设为l矩阵A(l)的k阶行列式因子，定理：等价的l矩阵有相同的各阶不变因子。称为A(l)的k阶不变因子。GEM*定理：l矩阵的等价标准形是唯一的。注意到，A(l)的等价标准形中D(l)的对角元是A(l)的各阶不变因子。GEM例：GEM*定义：设A(l)的各阶不变因子在复数域的标准分解式初等因子GEM初等因子定义等价论述：设A(l)的每一个次数大于零的不变因子分解成互不相同一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的必须按照出现的次数计算）称为矩阵A(l)初等因子。定理：等价的l矩阵有相同的初等因子。GEM则其初等因子有7个，它们是GEM*例2设求矩阵lE-A的行列式因子,不变因子,和初等因子。GEM解：GEMGEM2.5矩阵相似的条件定理：数字方阵A相似于B的充分必要条件是lE－A等价于lE－BGEM定理:方阵A相似于B的充分必要条件是lE－A与lE－B有相同的:1.行列式因子组,2.不变因子组,3.初等因子组.GEM定义:数字矩阵，数字矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子。GEM引理：设2阶l矩阵GEMGEM*定理设A(l)为分块对角阵GEMGEM定理在应用中把问题变得比较简单，例如GEM*例2设求矩阵lE-A（也就是矩阵A）的行列式因子,不变因子,和初等因子。GEM解：GEMGEM*求矩阵lE-A的行列式因子，不变因子和初等因子。例3设GEMGEMlE-A的行列式因子：lE-A的初等因子:lE-A的不变因子：(简称:A的初等因子)(简称:A的不变因子)(简称:A的行列式因子)GEM结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，则它们就有相同的初等因子；反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有结论2、两个同级数字矩阵相似可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量（？）.相同的不变因子.GEM2.6矩阵的若当标准形Jordan块:形如的ni阶矩阵称为ni阶Jordan块（若当块完全由两个因素决定，一是阶数，二是对角线元素）。GEMJordan块的等价形式:GEMGEM分块对角阵称为A的Jordan标准形.GEM定理：设矩阵A的初等因子是：则存在Jordan标准形GEM推论：n阶矩阵A相似于对角阵的充要条件是A的初等因子都是l的一次多项式。GEM*例设求矩阵A的Jordan标准形。GEM*GEM*例设求矩阵A的Jordan标准形。GEM*GEM*定义：设A为n阶方阵，若多项式满足则称j(l)为A的零化多项式。2.7矩阵的最小多项式GEMGEM定理：(Hamilton-Cayley)设A为n阶方阵，则A的特征多项式为A的零化多项式。GEM定义：设A为n阶方阵，则称A的次数最低的零化多项式为A的最小多项式，*GEM最小多项式的性质：设A为n阶方阵，则GEM例设求矩阵A的Jordan标准形及最小多项式。GEMGEMGEM*