2009年第 l2期 数学教学 12一ii
记一次利用生成性资源的教学
215011江苏省苏州新区第一中学 顾日新
在数学课堂教学过程中，难免会有一些生成
性资源和我们不期而遇，有的是我们熟悉的，有
的则是我们陌生的．面对它们，是回避，还是做
一 个有心人，和学生一道去研究它?很明显，要
珍惜生成性资源．
I．问题的提出
题1 设点(二)是△ B 内部一点，且满足
(二) +2(二)JEi+(二) = 0 ，则△ (二)B与△ (二)
的面积之比为— — ．(
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
：1：2)
批阅作业时，笔者发现题1的出错率极高，于
是在随后的课上对该题作了详细的讲解，讲解完
之后，照惯例给了学生两分钟的自由讨论和订正
整理时间，一个学生提出的疑问吸引了所有人的
注意．
． - -- ． - - - - - — }
生1：本题的面积之比和条件“OA+20B+
o = 0 ”中 “(=) ”、“0B”的系数之比相同，这
是巧合，还是存在相应的结论?
笔者一时不知如何回答，便灵机一动，对题
1的条件稍作变化，给出了如下变式：
变式：已知点(二)在△ jE} 内部，且有0 +
30B+(=)C= 0‘，则AA0B与△ (=) 的面积
之比为— — ．
师：到底是巧合，还是确实存在相应的结论，
请同学们完成变式题后自己去判断．
很快，学生得出答案是 1：3，这和题 目条件
中“O ’、“O百”的系数之 比也完全相同．规律
的再次出现让课堂气氛悄然升温，几乎所有学生
都觉得这其中一定存在相应的结论．凭直觉，笔
者也觉得这绝不会是一个偶然的巧合，其背后一
定掩藏着必然的规律．可以肯定地说，学生的疑
问正是一个难能可贵的生成性资源．
2．生成性资源的研究
2．1一般规律的猜想
师：看来我们今天会有意外的收获了，请同
学们发挥想象力，对结论进行合理猜想．
生2：(猜想1)设点D是AABC内部一点，且
满足《二) +(二)百+ (二) = 0 (A>0)，贝0SAAOB：
AOC ：SaBOG= 入：1：1．
生3：(猜想2)设点(=)是AABC内部一点，且
满足(二) + 1(二)B+ 2(二)C= 0‘( 1、A2>0)，
则 AOB：SaAOC： BOC= 2： l：1．
生4：(猜想3)设点(二)是△A日 内部一点，且
满足 l(=) + 2(二)矗+ 3D = 0 ( l、 2、A3同
号)，则． AOB：SaAOC：SaBOC= 3： 2：
1．
2．2一般规律的证明
对于上面的三个猜想，只要能证明猜想3，则
猜想1和猜想2同样得证．为了降低证明的难度，
笔者让学生先对猜想l进行证 有了前面题1
的讲解，学生很快得出如下证明过程：
证明：如图1所示，以o 、(二)B为邻边作
(二)BD，连《二)D交 B于点E，则0A+0B=
DD =一AOC，即《二)C ：0D ：1： ，且C、《二)、
D三点共线，则 AOB： AOC=SaAOD：
SAAOC = 0D ：0C = ：1． 又 SAAOC =
S~BOC，所以 AOB：S~AOC：S~Boc= ：
1：1成立．
D
U B
图 1
师：这是一个令人鼓舞的猜想和证明，请同
学们接着证明猜想2．
证明：如图2所示：设AIOB=OD，以0 、
OD为邻边作 AODE，连OE、AD，OE交
AB于点F，则，
oA+A10B=0 +DD =0E=-A20C，
二 星 塾堂垫堂 生箜 塑
即OC：OE=1： 2，KC、0、E三点共线， ： ，以OA、《二)D为邻边作口 oDE
，
贝《SAAOC：S△AOE= OC ：OE =1： 2，即 A1
一 、 一 一 一 一
S△AD ：士s△A。E．又S△AoB：SAAoD： 连(二)E、AD，则《=) + oB=(=) +(二)D：
OB：OD：1： 1， 。B： AoD，则 =一鲁 ，即OC：OE=1： ，且
oB ： A。 ： 士 。D：士 A。E： 、O、E三点l共咎，则SAAOC_l、 ADE
OC：OE ：丽IA31， AA。G= I AA 入
2： 1． ‘ 一 ‘I 1 l’” u^u— l 3 Au ‘
同理可证S~AOC：SABOC=A1：1，所以
SAAOB：SAAOC：SABOC： 2： 1：1成立．
图 2
猜想2的圆满得证，使我们更有信心去相信
猜想3一定是成立的，一位学生则利用猜想2对
猜想3进行了如下证明，真是让人叫绝!
生5：证明：由 1(=) + 2(二)B+ 3《二)C= 0
得o--／+ +．A
、
3 0----~： ．由猜想2可知
／、1 ^1
、 、
△AoB ： △AOC ： △BOC = ： ：1，
即， AOB：SAAOC：S~BOC= 3： 2：AI．
通过上面的证明可知，学生的三个猜想完全
正确，教室里洋溢着收获的喜悦，就在笔者正要
进行课堂小结时，一个爱动脑筋的学生让这节课
的战果又进一步扩大了．
2．3结论的进一步拓展
生6：如果点0位于AABC的外部时，相应
的结论还能成立吗?
笔者并没有对问题进行正面回答，而是鼓励
所有学生积极参与对新结论的发现和证明．几分
钟过后，新结论及其证明过程如下：
结论 设点(=)是AABC外部一点，且满足
1(二) 十 2O百+A30C= 0 ( l、 2、A3均
不为0)，则． AOB：SAAOC：SABOC=l 3 J：
l入2I：1 11．
证明：由 lOA+A20B+A30C= 0得
+ + ：-g，如图3所示，设
一 = ⋯ ．5
标准
excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载
》的基本理念之一，但在
实际课堂教学中，问题的提出往往来自教师，学
(下转第12—14页)
12——14 数学教学 2009年第12期
师：因此，走到 点时，为了不掉下来，聪明
的秦诗他第一次改变了前进的方向，改变的角度
恰好是 1的度数，那么，这个 l与多边形有什
么关系?
生3：顶点 处的外角．
生4：噢，老师，外角和360。!
师：是多边形的外角和为360。!(众笑)这是
我们今天收获的第一项探究成果．
板书：任意多边形的外角和都为360。．
师：好的，因为这项成果是由秦诗同学带领
我们探究得到的，老师建议在我们班，权将它称
为“秦诗定理”好吗?
众生：好!
于是，老师在刚才的结论前添上“秦诗定理
一 多边形外角和定理”几个大字，教室里响起了
热烈的掌声．
生5：多边形有了外角和定理，是否也有内角
和定理?
看到秦诗同学收获了自己的“学术成果”，许
多同学都迫不及待地想要试试．
师：是的，请看练习．
练习题1：如图2，在五边AB DE中，
、、
、
、 B
图 2
Z1、 3、L5、 7、Z9为外角，
Z2、X4、X6、 8、El0为内角
(上接第12—12页)
生则是被动参与，根本就谈不上“积极主动、勇
于探索”，其效果可想而知．那么，如何调动学生
的学习积极性呢?陶行知先生说，发明千千万万，
起点是一问，学生头脑里的疑问越多，他们对知
识的兴趣就越高．中国古代先哲在学习上就十分
推崇“质疑”，清之学者陈宪章说：“学贵有疑，小
疑则小进，大疑则大进．疑者，觉悟之机也，一番
觉悟一番长进．”
试求：(1) 1+ 3+ 5+ 7+ 9=?
(2)Z2+Z4+X6+ 8+Zl0=?
然后再推广到n边形，至此，礼边形的内角和
公式水到渠成．
几点
反思
小班合家欢主题反思小班合家欢主题审议反思小班合家欢反思恩怨历尽后的反思下载恩怨历尽后的反思下载
：
1．从教学实践的角度来看，华东师大版“多边
形的内角和与外角和”一节
教材
民兵爆破地雷教材pdf初中剪纸校本课程教材衍纸校本课程教材排球校本教材中国舞蹈家协会第四版四级教材
的编写是采用传
统手法，把多边形分割成若干个三角形，然后由
三角形的内角和定理推导出“多边形的外角和”
公式的．依据教参安排，用两个课时要让学生弄
清其中的道理，确实不容易．而如今，改用陈教
授的方法，只需一课时的时间，并且能让学生在
参与活动的过程中，亲身体验到知识点在生活中
的原型，记忆特别深刻，课堂效率高．
2．从思想方法上来看，我们教给了学生看问
题的正确方法．正如陈省身所指出的：这样看问
题，不但给“多边形外角和等于360 ’这条普遍规
律找到了直观上的解释，而且立刻把我们的眼光
引向更宽广的天地．
当我们将此结论应用于封闭曲线时，只要
用“方向改变量之和”来代替“外角和”即可；应用
于凹多边形时，只要把“方向改变量总和”改为
“方向改变量的代数和”亦可．
正是凭借这样一种看问题的方法，1944年，
陈省身教授找到了一般曲面上封闭曲线方向改
变量总和的公式(高斯一比内一陈公式)，把几何
学引入了新天地．由此发展出来的“陈氏类”理
论，被誉为划时代的贡献．
参考文献
【1】张景中．数学家的眼光【M】．北京：中国少
年儿童出版社，2007．
所以，教师必须努力构建充满民主气氛的课
堂，并努力倡导“学贵有疑”的教学思想，把创新
教育真正落到实处．
3．2教师要善待课堂动态生成资源
课堂动态生成资源是在教学过程中自然产
生的，能进一步推动知识的有效生成，教师不应
该悄然回避，更不应该粗暴应对．而要充分认识
到课堂动态生成资源的教学价值，真正做到“心
中有学生，眼中有资源”．
浙公网安备 33021202002483