stOpt使用手册

七维高科有限公司综合优化软件包1stOpt使用手册第一篇1stOpt简介1．1:概要1stOpt是七维高科有限公司（7D-SoftHighTechnologyInc.）独立开发，拥有完全自主知识产权的一套数学优化分析综合工具软件包。在非线性回归，曲线拟合，非线性复杂模型参数估算求解，线性/非线性规划等领域傲视群雄，首屈一指，居世界领先地位。除去简单易用的界面，其计算核心是基于七维高科有限公司科研人员十数年的革命性研究成果【通用全局优化算法】(UniversalGlobalOptimization-UGO)，该算法之最大特点是克服了当今世界上在优化计算领域中使用迭代法必须给出合适初始值的难题，即用户勿需给出参数初始值，而由1stOpt随机给出，通过其独特的全局优化算法，最终找出最优解。以非线性回归为例，目前世界上在该领域最有名的软件工具包诸如Matlab,OriginPro,SAS,SPSS,DataFit,GraphPad等，均需用户提供适当的参数初始值以便计算能够收敛并找到最优解。如果设定的参数初始值不当则计算难以收敛，其结果是无法求得正确结果。而在实际应用当中，对大多数用户来说，给出(猜出)恰当的初始值是件相当困难的事，特别是在参数量较多的情况下，更无异于是场噩梦。而1stOpt凭借其超强的寻优，容错能力，在大多数情况下（大于90%)，从任一随机初始值开始，都能求得正确结果。1．2:国内外类似软件概况数据综合分析领域，国外软件无疑占绝对统治地位。在非线性曲线拟合，参数优化方面，名声大，应用广的有诸如OriginPro，Matlab，SAS，SPSS，DataFit，GraphPad，TableCurve2D，TableCurve3D等。无论这些软件界面，历史，名声如何，最常用算法有麦夸特法（Levenberg-Marquardt）或简面体爬山法（SimplexMethod）等，均可归属于局部最优法。因而如何有效地确定参数初始值始终是难以克服的瓶颈，由于此，一些实际问题可能永远无法获得正解。国内方面，因无自己独特有效的技术理论与方法，虽有个别分析软件面市，与上述国外类似产品相比，功能相差甚远，即使在国内也无竞争优势，在国际上就更无声影了。而1stOpt凭借自己革命性的算法理论，在非线性拟合，参数估算等优化领域强于目前世界上任何已知软件包，其英文版已远销美国，德国，法国，英国，芬兰，瑞典，荷兰，南非，澳大利亚，新西兰，土耳其等国。1七维高科有限公司1．3：1stOpt应用的优化算法最优化算法包括：1)Levenberg-Marquardt法(LM)+通用全局优化算法(UniversalGlobalOptimization-UGO)2)Quasi-Newton法(BFGS)+通用全局优化算法(UniversalGlobalOptimization-UGO)3)遗传算法(GeneticAlgorithms-GA)4)摸拟退火(SimulatedAnnealing-SA)5)下山単体法(SimplexMethod-SM)+通用全局优化算法(UniversalGlobalOptimization-UGO)6)离子群法(ParticleSwarmOptimization-PSO)7)最大继承法(MaxInheritOptimization-MIO)8)差分进化法(DifferentialEvolution-DE)9)自组织群移法(Self-OrganizingMigratingAlgorithms-SOMA)10)共扼梯度法(Conjugate-GradientMethod-CGM)+通用全局优化算法(UniversalGlobalOptimization-UGO)11)包维尔法(PowellOptimization-PO)+通用全局优化算法(UniversalGlobalOptimization-UGO)12)禁忌搜索法(TabuSearch-TS)13)单纯线性规划法(SimplexLinearProgram)1．4：1stOpt应用范围1)模型自动优化率定2)参数估算3)任意模型公式线性，非线性拟合，回归4)非线性连立方程组求解5)任意维 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 ，隐函数极值求解6)隐函数根求解，作图，求极值7)线性，非线性及整数规划8)组合优化问题9)高级计算器1．5：1stOpt特长1)功能强劲，是目前唯一能以任何初始值而求得美国国家 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 与技术研究院(NIST：NationalInstituteofStandardsandTechnology)非线性回归测试题集最优解的软件包。2)可广泛用于水文水资源及其它工程模型优化计算。内镶VB及Pascal语言，可帮助描述处理复杂模型。3)可连接由任何语言（C++,Fortran,Basic,Pascal…）编译而成的外部目标函数动态连接库或命令行可执行文件。4)非线性曲线拟合可处理任意类型模型公式，任意多数目的待求参数及变量5)模型自动率定时可同时处理多个数据文件6)可非常容易处理一些特殊的参数，如降雨径流模型中的流域初期土壤含水量7)可同时处理多个输出量8)实时显示计算结果9)可直接读存Excel，CSV等格式文件2七维高科有限公司10)界面简单友好，使用方便11)自带有上百个实例，覆盖范围包括几乎所有优化方面。通过不同类型实例，用户可轻松掌握1stOpt的用法。1．6:1stOpt关键词表.1：主要关键词关键词名意义及示例Parameter定义参数例：定义a,b,c,d四个参数：Parametera,b,c,d；例：定义a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10十个参数：Parametera1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10；也可简写为：Parametera(1:10);例：定义参数a，其取值范围在【-1，1】，初始值为0.5Parametera=0.5[-1,1];例：定义参数a为整数，其取值范围在【-100，100】Parametera[-100,100,0];Variable定义变量例：定义x,y,z三个变量：Variablex,y,z;Function定义函数例：两变量曲线拟合：Functiony=a+b*exp(c–x);例：两变量函数优化：Function(x+((2-x)*(2+y))^2)*sin(x*y);Constant定义常量例：两变量曲线拟合：Functiony=a+b*exp(c–x);例：两变量函数优化：Function(x+((2-x)*(2+y))^2)*sin(x*y);ConstStr定义常字符串量例：两变量曲线拟合：Functiony=a*（c-x）^2+b*exp((c–x)^4);可写为：ConstStrB＝（c-x）^2Functiony=a*B+b*exp(B^2);VarConstant定义变常量，详情见2.4节VarParameter定义变参数，详情见2.4节Data定义数据开始DataFile定义数据文件NewDivision定义新得代码块StartProgram编程模式开始EndProgram编程模式结束Maximum求最大值Minimum求最小值PlotFunction画函数图Algorithms定义优化方法3七维高科有限公司Exclusive定义问题为排它问题，如TSP问题StartRange定义初始值范围SharedModel定义共享参数问题DataSet定义常数EndDataSet结束定义常数MinFunction最小值求优MaxFunction最大值求优PlotParaFunction画参数方程函数图Title定义代码块名1stOpt还有两个特殊定义符：求和定义：如(1sin(1)niiixx=)⋅+∑，在1stOpt中表达为：Sum(i=1:n)(x[i]*sin(x[i]+1))求积定义：如(1sin(1)niiixx=)⋅+∏，在1stOpt中表达为：Prod(i=1:n)(x[i]*sin(x[i]+1))1．7:1stOpt界面1．7．1：主界面文件游览窗口电子 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 代码页关键词快捷窗口图.11stOpt主画面关键词快捷窗口由组合键“Ctrl+K”弹出，可帮助用户准确快速输入关键词。在同一代码本中可写多个不同问题的代码，由关键词“NewDivision”来区分。可同时开启多个代码编辑本。同一代码文件中还可加入富文本如图，表，公式等，也可把不同格式的文件添付进来。4七维高科有限公司1．7．2：数据处理电子表格1stFit电子表格类似与Excel，多表单，支持公式，直接输入输出到Excel，文本文件（.txt，.csv），树型表单管理，直观并可分类，可方便用于数据前，后处理。图.21stOpt电子表格1．7．3：输入代码每一句代码以‘；’号作结束符。如Parametera,b,c,d;Constantp1=1,p2=4,p3=5;对曲线拟合，对二维，缺省自变量名为x，因变量名为y；对三维或多维，缺省自变量名为x1，x2,x3…,因变量名为y。如下两段代码效果等同，右边代码中无需再定义变量和参数，将由1stOpt自动识别。代码1代码2Variablesx,y;Parametersa,b,c,d;Functiony=a-b*exp(-c*x^d);Data;0.050.130.150.130.250.190.350.34Functiony=a-b*exp(-c*x^d);Data;0.050.130.150.130.250.190.350.34对函数优化，如参数没有范围限制，也可省去参数定义，下列左右两段代码效果等同代码1代码2Parametersx,y;Minimum=True;Functionexp(sin(50*x))+sin(60*exp(y))+sin(70*sin(x))+sin(sin(80*y))-sin(10*(x+y))+(x^2+y^2)/4;MinFunctionexp(sin(50*x))+sin(60*exp(y))sin(70*sin(x))+sin(sin(80*y))-sin(10*(x+y))+(x^2+y^2)/4;5七维高科有限公司1．7．4：执行计算因为1stOpt的初始值通常是随机产生，一次计算不成功，并非意味下次亦同样不成功，反之亦然。按快捷键”F9”执行计算，“F10“中止计算。1．7．5：优化算法设定在1stOpt中，共有13种有化算法。不同的问题该选用何种算法？一般而言：—非线性回归，曲线拟合问题：1)Levenberg-Marquardt法(LM)+通用全局优化算法(UniversalGlobalOptimization-UGO)2)BFGS+通用全局优化算法(UniversalGlobalOptimization-UGO)3)下山単体法(SimplexMethod-SM)+通用全局优化算法(UniversalGlobalOptimization-UGO)4)差分进化法5)最大继承法—函数优化，方程求根问题：1)下山単体法(SimplexMethod-SM)+通用全局优化算法(UniversalGlobalOptimization-UGO)2)BFGS+通用全局优化算法(UniversalGlobalOptimization-UGO)3)差分进化法4)最大继承法—线性规划问题：1)单纯线性规划法(SimplexLinearProgram-SLP)2)下山単体法(StandardSimplexMethod-SM)+通用全局优化算法(UniversalGlobalOptimization-UGO)3)差分进化法—优化组合问题：1)最大继承法2)禁忌搜索法3)模拟退火4)遗传算法6七维高科有限公司图.3优化算法设置对90％以上的问题，缺省优化设置均可满足要求。对个别较为复杂的问题，可适当改变参数，方法如下表.2：表.2：优化参数修改方法算法参数改变Levenberg-Marquardt法(LM)+通用全局优化算法Quasi-Newton法(BFGS)+通用全局优化算法共扼梯度法+通用全局优化算法包维尔法+通用全局优化算法加大“重复数”，如从缺省值“30”变为“60”。“重复数”越大，成功概率越高，但计算时间相对变长。最大继承法增加“种群数”和“局部步长”差分进化法启动“局部搜索”，变换进化法选项下山単体法变换“模式”选项，增加“多重计算数”自组织群移法增加“种群数”，减少“步长”摸拟退火加大“内部循环数”遗传算法增加“种群数“禁忌搜索法离子群法增加“种群数“7七维高科有限公司第二篇1stOpt应用2．1：求任意形式，任意维数，约束或非约束的函数最优值。1stOpt即可用于无约束函数求优，也可用于有约束函数求优。约束函数即可是不等式也可是等式。例2．1．1：求下列一维函数最小值)sin()sin(xxxf⋅=+（1）其中，]3,3[ππ−∈x1stOpt代码：Parameterx=[-3*pi,3*pi];Minimum;Functionx*sin(x)+sin(x);-8-6-4-20246810-9.4-7.4-5.4-3.4-1.40.62.64.66.68.6或更为简单形式：MinFunctionx*sin(x)+sin(x);Parameterx=[-3*pi,3*pi];图.4一维函数图结果：f=-5.7976，x=4.8808例2.1.2：求下列多维函数最小值()()∑−=++++⋅+⋅⋅=112121)2sin()2cos(3niiiiixxxxf(2)其中，]30,30[−∈X，n=201stOpt代码：结果：f=-51.7695Constantn=20;Parameterx(1:n)=[-30,30];MinFunctionSum(i=1:n-1)(3*(Cos(2*x[i])+Sin(2*x[i+1]))+Sqrt(x[i+1]^2+x[i]^2));图.5多维函数优化三维图8七维高科有限公司例2.1.3：求下列隐函数z的最小值()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−++−−−−⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅⋅+−⋅=35)exp(5.0exp102)5.0(sin2222zyzyxzyxxzz(3)其中，，]7,1[−∈x]2,2[−∈y1stOpt代码：Parametersx[-1,7],y[-2,2];Minimum=z;Functionz=sin((z*x-0.5)^2+x*2*y^2-z/10)*exp(-((x-0.5-exp(-y+z))^2+y^2-z/5+3));结果：z=0.02335(x=2.898329，y=-0.8573138)隐函数最优化乃1stOpt特色之一。据测试，目前尚无其它软件，如著名的Lingo/Lindo，能求出此例的正确 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 。图.6隐函数优化三维图2．1．4针优状全局最的函数22sin()()14(50)(50)0,100rfrrrxyexy=+=−+−+≤≤（）其中：图.7针维图状函数三该函数的函数图形如上所示，在(50,50)处取得全局最大值1.1512，其第二极大值为1.12837，它是一个多峰值函数，采用传统优化方法几乎不能找到全局最优点。1stOpt可轻易求的最优值1stOpt代码：9Parameterx[0,100],y[0,100];ConstStrr=sqrt((x-50)^2+(y-50)^2)+exp(1);MaxFunctionSin(r)/r+1;七维高科有限公司2．1．4线性规划实例潘森等等将线性规划用于饲料配方工作中的应用，见<<计算机农业应用专刊>>(全国农业计算机应用技术学术交流会(二)1992P148-151)。其目标函数和约束条件方程如下：Min:0.44x1+0.94x2+0.88x3+0.48x4+4x5+3.4x6+2.3x7+0.12x8+1.6x9+19x10+25x113230x1+2640x2+2500x3+1730x4+2900x5+2230x6+2500x7>27508.27x1+43x2+40x3+15.4x4+62x5+50x6+45x7>158.27x1+43x2+40x3+15.4x4+62x5+50x6+45x7<160.038x1+0.32x2+0.32x3+0.14x4+3.91x5+4.6x6+33.4x8+21x9>2.850.038x1+0.32x2+0.32x3+0.14x4+3.91x5+4.6x6+33.4x8+21x9<30.058x1+0.15x2+0.14x3+0.32x4+2.9x5+2.15x6+0.14x8+18.5x9>0.50.058x1+0.15x2+0.14x3+0.32x4+2.9x5+2.15x6+0.14x8+18.5x9<0.550.26x1+2.45x2+2.41x3+0.54x4+4.35x5+3.28x6+2.6x7+99x11>0.80.125x1+0.48x2+0.51x3+0.18x4+1.65x5+1.31x6+0.65x7+99x10>0.310.298x1+1.08x2+1.4x3+0.58x4+2.21x5+1.74x6+0.83x7+99x10>0.580.298x1+1.08x2+1.4x3+0.58x4+2.21x5+1.74x6+0.83x7+99x10<0.630.077x1+0.6x2+0.6x3+0.27x4+0.8x5+0.64x6>0.19x1>0.5,x1<0.66x2+x3>0.1,x2+x3<0.22x4>0.04,x4<0.2x5+x6>0.03,x5+x6<0.07x7<0.035x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11=11stOpt代码：Parameterx1[0.5,0.66],x4[0.04,0.2],x7[,0.035];MinFunction0.44*x1+0.94*x2+0.88*x3+0.48*x4+4*x5+3.4*x6+2.3*x7+0.12*x8+1.6*x9+19*x10+25*x11;3230*x1+2640*x2+2500*x3+1730*x4+2900*x5+2230*x6+2500*x7>2750;8.27*x1+43*x2+40*x3+15.4*x4+62*x5+50*x6+45*x7>15;8.27*x1+43*x2+40*x3+15.4*x4+62*x5+50*x6+45*x7<16;0.038*x1+0.32*x2+0.32*x3+0.14*x4+3.91*x5+4.6*x6+33.4*x8+21*x9>2.85;0.038*x1+0.32*x2+0.32*x3+0.14*x4+3.91*x5+4.6*x6+33.4*x8+21*x9<3;0.058*x1+0.15*x2+0.14*x3+0.32*x4+2.9*x5+2.15*x6+0.14*x8+18.5*x9>0.5;0.058*x1+0.15*x2+0.14*x3+0.32*x4+2.9*x5+2.15*x6+0.14*x8+18.5*x9<0.55;0.26*x1+2.45*x2+2.41*x3+0.54*x4+4.35*x5+3.28*x6+2.6*x7+99*x11>0.8;0.125*x1+0.48*x2+0.51*x3+0.18*x4+1.65*x5+1.31*x6+0.65*x7+99*x10>0.31;0.298*x1+1.08*x2+1.4*x3+0.58*x4+2.21*x5+1.74*x6+0.83*x7+99*x10>0.58;0.298*x1+1.08*x2+1.4*x3+0.58*x4+2.21*x5+1.74*x6+0.83*x7+99*x10<0.63;0.077*x1+0.6*x2+0.6*x3+0.27*x4+0.8*x5+0.64*x6>0.19;x2+x3>0.1;x2+x3<0.22;x5+x6>0.03;x5+x6<0.07;x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11=1;10七维高科有限公司原文最小值DPS最小值1stOpt最小值0.65670.65440.48133*1stOpt优化算法：简面体爬山法（标准）+通用全局优化法显而易见，1stOpt结果最优。例2．1．5：线性规划问题Max23213xxx+⋅+⋅St.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+−≤−⋅+⋅≤+⋅+0,,31832153321321321321xxxxxxxxxxxx(5)(6)1stOpt代码：结果：x1=5,x2=3,x3=1,最大值为20例2．1．6：非线性规划问题()Max3123112sin(2)sin(2)()xxxxxππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+0(7)St.21221212101(4)010010xxxxxx⎧−+≤⎪−+−≤⎪⎨(8)≤≤⎪⎪≤≤⎩1stOpt代码：x1-x2+x3<=3;Parametersx1[0,10],x2[0,10];MaxFunction(sin(2*pi*x1))^3*sin(2*pi*x2)/(x1^3*(x1+x2));x1^2-x2+1<=0;1-x1+(x2-4)^2<=0;Parameterx(1:3)[0,];MaxFunction2*x1+3*x2+x3;x1+3*x2+x3<=15;2*x1+3*x2-x3<=18;结果：x1=1.22797,x2=4.24537,最大值为0.095825例2．1．7：非线性混合整数规划问题1Min1(9)()321212322221125.0)sin(5.xxxxxxxxxx⋅+⋅−⋅−+⋅+−−⋅11七维高科有限公司⎪⎩⎪⎧<<−<<−<<−101020202020321xxx1x，St.⎨2x为实数，为整数(10)3x1stOpt代码：结果：当x1=4.49712，x2=9.147501，x3=-4时，得最小值为-10.51832例2．1．8：非线性整数规划问题212345243xMin：xxxx−⋅−−⋅−⋅−⎪∈∈∈∈⎩(11)St.⎨(12)234512345123452425434562,[0,100];[3,100],[0,100],[2,100]xxxxxxxxxxxxxx⋅++⋅+⋅<⎧⎪⋅+⋅+⋅−−<其中，x1至x5均为整数。1stOpt代码：Parametersx1[-20,20],x2[-20,20],x3[-10,10,0];MinFunction1.5*(x1-sin(x1-x2))^2+0.5*x2^2+x3^2-x1*x2-2*x1+x2*x3;Parameterx(1:2)[0,100,0],x3[3,100,0],x4[0,100,0],x5[2,100,0];MinFunction-2*x1-x2-4*x3-3*x4-x5;2*x2+x3+4*x4+2*x5<54;3*x1+4*x2+5*x3-x4-x5<62;结果有两组：x1,x2,x3,x4,x5=(15,0,6,11,2)或x1,x2,x3,x4,x5=(19,0,4,10,5)，最小值为-892．1．9北师大范例此列来自北京师范大学系统科学系系统分析与集成实验室开发的通用遗传算法平台所付带的实例。Min：（13）331212(,)(10)(20)fxxxx=−+−其中：12[13,100],[0,100]xx∈∈约束条件：1122(-5)(-5)(-5)(-5)-1000xxxx⋅+⋅≥(14)1stOpt代码：(x1-5)*(x1-5)+(x2-5)*(x2-5)-100>=0;Parameterx1[13,100],x2[0,100];MinFunction(x1-10)^3+(x2-20)^3;结果：，x12(,)-7950.96189fxx=1=13.660254,x2=0；而北师大给出的正解是：，x12(,)-7936fxx=1=14,x2=0；显然，1stOpt所的结果优于后者。12七维高科有限公司2．2:非线性拟合如第一章前所述，1stOpt的非线性拟合功能强于目前任何已知软件包，如著名的SPSS，SAS，Matlab，Origin，Systat，DataFit等。其最大特点是，在绝大多数情况下，不需要使用者提供(猜测)任何初始值，仅依靠自身的全局搜索能力，从任意随机值出发，既可求得最优解。美国国家标准与技术研究院（NIST:NationalInstituteofStandardsandTechnology）提供有一套27道非线性拟合测试题，世界上几乎所有著名的数据分析软件包都以能通过该套测试题集为验证标准。经对比测试，1stOpt是目前唯一不依赖使用NIST提供的初始值，而能以任意随机初始值就可求得全部最优解的软件包(如果使用NIST提供的初始值，则更可轻易求得最优解)。由于在实际应用当中，选择确定合理的初始值组是一件非常困难的事，尤其是在参数量比较多的情况下。从此意义而言，1stOpt的实用能力达业界领先水平。表.3NIST测试题结果序号测试题名难度待定参数量初始值1stOpt使用算法成功率(%)1Misra1a2任一算法1002Chwirut23任一算法1003Chwirut13任一算法1004Lanczos36改进LM及BFGS1005Gauss18改进LM及BFGS>906Gauss28改进LM及BFGS>907DanWood2任一算法1008Misra1b低21stOpt默认设置：0-5间随机值任一算法1009Kirby25任一算法10010Hahn17改进LM，BFGS及SM10011Nelson3改进LM，BFGS及MIO10012MGH175任一算法10013Lanczos16改进LM及BFGS10014Lanczos26改进LM及BFGS10015Gauss38改进LM及BFGS>9016Misra1c2任一算法10017Misra1d2任一算法10018Roszman14任一算法10019ENSO中9任一算法10020MGH094任一算法10021Thurber7改进LM，BFGS，SM及DE10022BoxBod2任一算法10023Rat423任一算法10024MGH103任一算法10025Eckerle43MIO及改进SM10026Rat43高41stOpt默认设置：0-5间随机值任一算法10013七维高科有限公司27Bennett53任一算法>90注：SM：下山単体法；MIO：最大继承法；DE：差分进化法；SA：摸拟退火NIST网址：http://www.itl.nist.gov/div898/strd/nls/nls_main.shtml例2．2．1：两变量非线性回归Parameterb(1:8);Variablex,y;Functiony=b1*exp(-b2*x)+b3*exp(-((x-b4)^2/b5^2))+b6*exp(-((x-b7)^2/b8^2));Data;1.00000097.622272.00000097.807243.00000096.62247.248.00003.362571249.00001.182746回归模型公式：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅+⋅−⋅=282762524321)()()exp(bbxbbbxbxbby(15)其中：b1至b8：待定参数、x：自变量、y：因变量表.2原回归数据Xy图.81.0000002.0000003.000000...248.0000249.0000250.000097.6222797.8072496.62247..3.362571020406080100120140160050100150200250xy1.1827464.8753591stOpt代码：结果：14七维高科有限公司图.9非线性拟合示图例2．2．2：两变量非线性回归–回归模型公式自动搜索1stOpt可自动搜索最匹配的模型公式。对常用的两变量及三变量问题，1stOpt模型公式库中分别预置有超过３,７００和近1,000个函数式，且可根据需要自行随意添加修改。而对多变量问题，也可非常容易建立自己的函数库。表.4原数据Xy图.10123...484950370..8010203040506070809001020304050xy711stOpt代码：15Variablex,y;Data;132730.488497501七维高科有限公司结果：图.11非线性拟合示图例2．2．3：多变量多模型公式非线性回归此例有两个自变量，两个因变量，两个回归模型共享部分参数。回归模型1:)ln()(21211xxdxxbayc+⋅++⋅+=(16)回归模型2:cxxbay)(212⋅⋅+=(17)1stOpt代码：快捷模式：Parametersa,b,c,d;Variablex1,x2,y1,y2;SharedModel；Functiony1=a+b*(x1+x2)^c+d*LN(x1+x2);y2=a+b*(x1*x2)^c;Data;14.800014.592121032.2562977225.724616.651847692.43178254836.361618.038970852.586695244........4012.897030.860006336.2415951594112.987031.016100576.3229042714213.075431.169010976.4037490694112.987031.016100576.3229042714213.075431.169010976.403749069编程模式：16七维高科有限公司Parametersa,b,c,d;Variablex1,x2,y1[Output],y2[Output];StartProgram;vari:integer;beginfori:=0toDataLength-1dobeginy1[i]:=a+b*(x1[i]+x2[i])^c+d*LN(x1[i]+x2[i]);y2[i]:=a+b*(x1[i]*x2[i])^c;end;end;EndProgram;Data;14.800014.592121032.2562977225.724616.651847692.43178254836.361618.038970852.586695244........4012.897030.860006336.2415951594112.987031.016100576.3229042714213.075431.169010976.403749069结果：图.12非线性拟合示图例2．2．4：隐函数非线性回归在有些情况下，非线性回归的模型式为隐函数，如下式：()4353432153534)sin()()cos(*)(ln)sin()cos()()sin()(pppyppxppppppyppx+⋅−+−⋅⋅+=+⋅−+⋅−−（18）其中，x为自变量，y为因变量。对于此类问题，1stOpt可轻易处理。1stOpt代码：17七维高科有限公司结果：图.13非线性拟合示图例2．2．5：渐开线渐隐函数非线性回归已知渐开线参数方程及数据如下：[][]00cos()()sin()sin()()cos()xRttBtxyRttBt⎧=⋅+−⋅+⎪⎨=⋅−−⋅+⎪⎩y（19）其中，t是自变量，R，B，x0，y0为待求渐开线方程参数。表5.数据XY序号115.591086.2142224.660183.7114333.373280.2618449.344570.7216562.799258.0891668.396250.8058773.158442.9946Variablex,y;Function-(x-p4)*sin(p3)+(y-p5)*cos(p3)+p5=p1+p2*sin(p3)*ln((x-p4)*cos(p3)+(y-p5)*sin(p3)+p4);Data;//xy0.0000262.50791.0000262.83002.0000263.14523.0000263.453218七维高科有限公司879.995526.1718983.05318.4225此题难点是不知到对应于x及y的自变量t值。运用1stOpt，此题有两种解法：—方法1：将未知t变量值当作参数来求，即有9个t变量参数及R，B，x0，y0共13个参数。优化目标函数是最小化下列函数：99'2'2119201921min:()()(([sin()-(-)cos()]))(([cos()(-)sin()]0))iiiiiiiiiifyyxxyRttBtyxRttBtx=====−+−=−⋅⋅++−⋅+⋅+∑∑∑∑（20）1stOpt码代：ParameterR,B,x0,y0;Parametert(1:9);DataSet;X,Y=15.591086.214224.660183.711433.373280.261849.344570.721662.799258.089168.396250.805873.158442.994679.995526.171883.05318.4225EndDataSet;MinFunctionSum(i=1:9)((-X[i]+R*(COS(t[i])+(t[i]-B)*SIN(t[i]))+X0)^2)+Sum(i=1:9)((-Y[i]+R*(SIN(t[i])-(t[i]-B)*COS(t[i]))+Y0)^2);结果：R=3.1995227,B=-24.438500,x0=-0.000329680,y0=0.000374680t1=2.926154,t2=2.8184350,t3=2.710714,t4=2.495275,t5=2.2798359t6=2.1721167,t7=2.064396,t8=1.848957,t9=1.633520该种解法虽能得到正解，但当数据较多时，如500组数据，即有500个t值要被当作参数来求，如此多的参数量将会大大增加求解的难度，况且中间变量t值也并非我们想获得的值。—方法2：将公式进行变换，消除t变量由公式[][]00cos()()sin()sin()()cos()xRttBtxyRttBt⎧y=⋅+−⋅+⎪⎨=⋅−−⋅+⎪⎩（21）变换得2220022()()1()xxyytBRR−−+=+−（22）即220022()()1xxyytBRR−−=+−+（23）19七维高科有限公司目标函数如方法19201921(([sin()-(-)cos()]))(([cos()(-)sin()]0))iiiifyRttBtyxRttBtx===−⋅⋅+−⋅+⋅+∑∑+（24）再将上述t代入目标函数用于消除t。主意关键词ConstStr。1stOpt代码：结果：R=3.199541,B=0.694399,x0=-0.0003171,y0=0.00035955例2．2．6：有约束的非线性回归回归公式及数据如下：公式21abxycxdx+⋅=+⋅+⋅（25）数据：X12812172124Y1236644与一般拟合问题不同之处是，该例拟合后的曲线必须通过点1和3，即点(x1,y1)=（1，1），(x2,y2)=（8，3）；此约束条件即：112111abxycxdx+⋅=+⋅+⋅及222221abxycxdx+⋅=+⋅+⋅（26）1stOpt代码：ConstStrt=B+Sqrt(1/R^2*((X[i]-X0)^2+(Y[i]-Y0)^2)-1);ParameterR,B,X0,Y0;DataSet;X,Y=15.591086.214224.660183.711433.373280.261849.344570.721662.799258.089168.396250.805873.158442.994679.995526.171883.05318.4225EndDataSet;MinFunctionSum(i=1:9)((-X[i]+R*(COS(t)+(t-B)*SIN(t))+X0)^2)+Sum(i=1:9)((-Y[i]+R*(SIN(t)-(t-B)*COS(t))+Y0)^2);Constantx1=1,y1=1，x2=8,y2=3;DataSet;x,y=112283126176214244EndDataSet;MinFunctionSum(i=1:7)((y[i]-(a+b*x[i])/(1+c*x[i]+d*x[i]^2))^2);y1=(a+b*x1)/(1+c*x1+d*x1^2);y2=(a+b*x2)/(1+c*x2+d*x2^2);20七维高科有限公司结果：a=0.861917，b=0.035839,c=-0.105828,d=0.0035860如果无约束条件，本例答案为：a=1.011742,b=0.056511,c=-0.103843,d:=0.003781868例2．2．7：峰值拟合拟合模型公式如下：22221134221100225exp2.77exp2.772exp0.52exp0.5xpxpyppppxaxaaaaa⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟=⋅−⋅+⋅−⋅⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎛⎞⎛⎞−−⎜⎟⎜+⋅−⋅+⋅⋅−⋅⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⋅⎞⋅⎟⎟⎠(27)其中，1p至4p，至为待求参数0a2a表.6:峰值拟合数据序号X值Y值序号X值Y值序号X值Y值序号X值Y值1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435360.00000.28570.57140.85711.14291.42861.71432.00002.28572.57142.85713.14293.42863.71434.00004.28574.57144.85715.14295.42865.71436.00006.28576.57146.85717.14297.42867.71438.00008.28578.57148.85719.14299.42869.714310.00000.01690.02940.05400.08320.17690.30100.48220.89091.46732.60913.94876.186110.285414.197120.815427.962234.189350.994452.889674.714878.273994.834197.1913106.9074110.576499.709495.2368100.980095.305184.723672.502863.761353.868845.343347.686839.261137383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717210.285710.571410.857111.142911.428611.714312.000012.285712.571412.857113.142913.428613.714314.000014.285714.571414.857115.142915.428615.714316.000016.285716.571416.857117.142917.428617.714318.000018.285718.571418.857119.142919.428619.714320.000020.285741.260338.482641.061442.871852.424754.630958.565557.691062.233563.659874.559376.365776.834376.416673.933783.632679.573577.333382.757974.843670.298669.107262.965463.991163.360854.334154.798354.160250.502846.676537.314835.473331.401131.614129.318129.209273747576777879808182838485868788899091929394959697989910010110210310410510610710820.571420.857121.142921.428621.714322.000022.285722.571422.857123.142923.428623.714324.000024.285724.571424.857125.142925.428625.714326.000026.285726.571426.857127.142927.428627.714328.000028.285728.571428.857129.142929.428629.714330.000030.285730.571425.645623.543421.642620.546921.037923.023023.378622.613228.586229.228534.625340.524143.532844.407855.342263.879070.383764.792584.106085.234696.3957101.5065101.5635125.4770123.0295116.8548132.5786146.0718152.3447149.5277149.2917167.8167140.3957146.2560140.2877150.330610911011111211311411511611711811912012112212312412512612712812913013113213313413513613713813914014130.857131.142931.428631.714332.000032.285732.571432.857133.142933.428633.714334.000034.285734.571434.857135.142935.428635.714336.000036.285736.571436.857137.142937.428637.714338.000038.285738.571438.857139.142939.428639.714340.0000151.0844135.0494124.1520128.2794121.8187127.7168109.323798.8645101.041395.461982.9761108.2798173.0225125.904355.389448.474940.553832.513430.720326.072221.656219.835316.429114.360211.69578.86107.20476.08735.14354.17573.04792.76442.107921七维高科有限公司0501001502000246810121416182022242628303234363840图.14:多峰曲线拟合如上图示，共有4个峰，最后一个峰仅有三个数据点。对任何其它拟合软件来说，求得正解都将很困难，因为很难给出合适的参数初始值。而1stOpt则无需给出初始值，将自动求出最优解，成功率高于90％。1stOpt代码：Functiony=p1*exp(-2.77*((x-p2)/p3)^2)+p1*exp(-2.77*((x-5*p2)/p4)^2)+a0*exp(-0.5*((x-a1)/a2)^2)+2*a0*exp(-0.5*((x-2*a1)/a2)^2);Data;//xy0.00000.01690.28570.02940.57140.0540...39.42863.047939.71432.764440.00002.10792．3:任意形式，线性，非线性方程或方程组求解例2．3．1：求下列方程组的根:cos(1)cos(2)cos(3)(0.3)sin()()1(0.2)sin()()(0.1)sin()()3zyyxzxyxzxxxyzxyzyzyyyzxyzxzxzzzxyzxyxy−−−⎧−+−⋅⋅++−=⎪⋅⎪⎪−+−⋅⋅++−=⎨⋅⎪⎪−+−⋅⋅++−=⎪⋅⎩2（28）1stOpt代码：(z-0.1)^x^y+z/x/y-z*x*sin(y)+(z+x-y)^cos(z-3)=3;Parameterx,y,z;Fu