放缩法在不等式的应用

放缩法在不等式的应用 放缩法在不等式的应用 所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 证题时的一个重要步骤。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一. “添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证 。 证明：由题设得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜ （a＋b）2，而（a＋b）2＝a＋b＋ab＜a＋b＋ （a＋b）2，即 （a＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜ ，故有1＜a＋b＜ 。 例2. 已知a、b、c不全为零，求证： 证明：因为 ，同理 ， 。 所以 二. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例3. 已知a、b、c为三角形的三边，求证： 。 证明：由于a、b、c为正数，所以 ， ， ，所以 ，又a，b，c为三角形的边，故b+c＞a，则 为真分数，则 ，同理 ， ， 故 . 综合得 。 三. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知n∈N*，求 。 证明：因为，则 ，证毕。 例5. 已知 且 ，求证： 对所有正整数n都成立。 证明：因为 ，所以 ， 又 ， 所以 ，综合知结论成立。 例6 设数列 满足 （Ⅰ）证明 对一切正整数 成立；（Ⅱ）令 ，判定 与 的大小，并 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 理由（04年重庆卷理科第（22）题） 简析 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（Ⅰ）进行减项放缩，有 法1 用数学归纳法（只考虑第二步） ； 法2 则 . 四. 利用重要不等式放缩 1.均值不等式 利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。 例7 设 求证 解析 此数列的通项为 ， ， 即 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 ，若放成 则得 ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中， 等的各式及其变式公式均可供选用。 例8已知 为正数，且 ，试证：对每一个 ， .（88年全国联赛题） 简析 由 得 ，又 ，故 ，而 ， 令 ，则 = ，因为 ，倒序相加得 = ， 而 ，则 = ，所以 ，即对每一个 ， . 2．利用有用结论 例9 求证 简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1 利用假分数的一个性质 可得 即 法2 利用贝努利不等式 的一个特例 (此处 )得 注：例9是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是： 证明 (可考虑用贝努利不等式 的特例) 例10 已知函数 求证： 对任意 且 恒成立。（90年全国卷压轴题） 简析 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ；这里给出运用柯西（ ）不等式 的简捷证法： 而由 不等式得 ( 时取等号) （ ），得证！ 例11 已知 用数学归纳法证明 ； 对 对 都成立，证明 （无理数 ）（05年辽宁卷第22题） 解析 结合第 问结论及所给题设条件 （ ）的结构特征，可得放缩思路： 。于是 ， 即 注：题目所给条件 （ ）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论 来放缩： ， 即 例12 已知不等式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示不超过 的最大整数。设正数数列 满足： 求证 （05年湖北卷第（22）题） 简析 当 时 ，即 于是当 时有 注：①本题涉及的和式 为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论 来进行有效地放缩； ②引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。 例13 设 ，求证：数列 单调递增且 解析 引入一个结论：若 则 （证略） 整理上式得 （ ） 以 代入（ ）式得 即 单调递增。 以 代入（ ）式得 此式对一切正整数 都成立，即对一切偶数有 ，又因为数列 单调递增，所以对一切正整数 有 。 注：①上述不等式可加强为 简证如下： 利用二项展开式进行部分放缩： 只取前两项有 对通项作如下放缩： 故有 ②上述数列 的极限存在，为无理数 ；同时是下述试题的背景： 已知 是正整数，且 （1）证明 ；（2）证明 （01年全国卷理科第20题） 简析 对第（2）问：用 代替 得数列 是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列 递减，且 故 即 。 当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！ 例14 设数列 满足 ，当 时证明对所有 有 ； （02年全国高考题） 解析 用数学归纳法：当 时显然成立，假设当 时成立即 ，则当 时 ，成立。 利用上述部分放缩的结论 来放缩通项，可得 注：上述证明 用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩： ；证明 就直接使用了部分放缩的结论 。 五 利用单调性放缩 1．​ 构造数列 如对上述例7，令 则 ， 递减，有 ，故 再如例9，令 则 ，即 递增，有 ，得证！ 注：由此可得例9的加强命题 并可改造成为探索性问题：求对任意 使 恒成立的正整数 的最大值；同理可得理科姊妹题的加强命题及其探索性结论，读者不妨一试！ 2．构造函数 例15 已知函数 的最大值不大于 ，又当 时 （Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）设 ，证明 （04年辽宁卷第21题） 解析 （Ⅰ） =1 ；（Ⅱ）由 得 且 用数学归纳法（只看第二步）： 在 是增函数，则得 例16 数列 由下列条件确定： ， ．（I）证明：对 总有 ；(II)证明：对 总有 （02年北京卷第（19）题） 解析 构造函数 易知 在 是增函数。 当 时 在 递增故 对(II)有 ，构造函数 它在 上是增函数，故有 ，得证。 注：①本题有着深厚的科学背景：是计算机开平方 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 迭代程序的根据；同时有着高等数学背景—数列 单调递减有下界因而有极限： ② 是递推数列 的母函数，研究其单调性对此数列本质属性的揭示往往具有重要的指导作用。 六 换元放缩 例17 求证 简析 令 ，这里 则有 ，从而有 注：通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。 例18 设 ， ，求证 . 简析 令 ，则 ， ，应用二项式定理进行部分放缩有 ，注意到 ，则 （证明从略），因此 七 递推放缩 递推放缩的典型例子，可参考上述例14中利用 部分放缩所得结论 进行递推放缩来证明 ，同理例11 中所得 和 、例12中 、 例13（Ⅰ）之法2所得 都是进行递推放缩的关键式。 八 分项讨论 例19 已知数列 的前 项和 满足 （Ⅰ）写出数列 的前3项 ；（Ⅱ）求数列 的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数 ，有 （04年全国卷Ⅲ） 简析 （Ⅰ）略，（Ⅱ） ； （Ⅲ）由于通项中含有 ，很难直接放缩，考虑分项讨论： 当 且 为奇数时 （减项放缩），于是 ①当 且 为偶数时 ②当 且 为奇数时 （添项放缩）由①知 由①②得证。