索罗增长模型

第二章 第二章 索洛经济增长模型 一、问题的提出 1.什么因素决定了经济增长？ 2.经济增长的一般趋势是什么？ 3.为什么国家或地区之间存在着收入差异？ 4.穷国能否赶上富国？ 二、生产函数 1.投入与产出的函数形式 其中，Y为产量，K为资本，L为劳动力，A为知识或劳动的有效性，t表示时间 注意：AL为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型”或“哈罗德中性” 思考：如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中性），结果会有何不同？ [只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致] 2.生产函数的特性假设 （1）规模报酬不变： F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于c≥0 含义：经济足够大，专业化收益被穷尽；其他投入品（如自然资源）相对不重要 令c=1/AL,则 令有效劳动的人均资本k=K/AL，有效劳动人均产量y=Y/AL，则y=f(k),总产量Y=ALf(k) （2）边际产品递减： f(k)满足f(0)=0,f’(k)>0,f”(k)<0，f’(k)是资本的边际产品 【证明】 Y=ALf(k)两边分别对K、L求导数： 资本的边际产品为： 有效劳动的边际产品为： （3）稻田条件： , 一个满足上述条件假设的新古典生产函数图示 f(k) f(k) k 一个特殊的生产函数：C-D生产函数 ， 思考：试证明C-D生产函数满足3个特性假设。 3．生产投入品的变动 假设时间t是连续的（非离散的） （1）劳动力的增长： （2）知识的增长： 其中n为人口增长率，g为技术进步率，均为外生参数，表示不变增长速度 思考：L，A为何种形式的增长方式？（指数形式增长，证明） （3）资本的增长： 其中s为储蓄率， 为资本折旧率，均为外生变量 三、平衡增长路径 1．k的动态学 （1）k(t)的动态方程 已知 , 先做变换，两边取自然对数 对t求导数，得： 代入，有： 是索洛模型的基本微分方程，它表明 是 的方程。 含义说明：人均实际投资 用于两方面：一是“资本的深化”，即 ，二是“资本的广化”（“持平投资”），即 。 （2）稳态均衡 定义“稳态”：一种其中各种数量都以不变速度增长的状况，即 =0。 当 > 时， >0（储蓄大于投资） 当 < 时， <0（储蓄小于投资） 当 = 时， =0（储蓄等于投资），即实际投资与持平投资相等。无论k从何处开始，它都收敛于k*。 （3）图示： 稳态均衡图示1 k* k 稳态均衡图示2 k* k 证明： 稳态均衡图示3（k的相图） k* k 2.平衡增长路径 当k=k*时，模型中的各个变量将如何变动？ 变量 含义 平衡增长速度 备注证明 绝 对 量 K 资本存量 n+g k=K/AL L 劳动力 n A 知识或技术 g AL 有效劳动 n+g Y 总产出 n+g F(cK,cAL)=cF(K,AL) C 总消费 n+g C=(1-s)Y 相 对 量 k(Y/AL) 有效劳动的平均资本 0 K/L 人均资本 g y(Y/AL) 有效劳动的人均产出 0 y=f(k)=Y/AL Y/L 人均产出 g c(Y/AL) 有效劳动的人均消费 0 c=(1-s)f(k) C/L 人均消费 g K/Y 资本产出比 0 注意：区分各变量（X）与时间（t）之间的变化关系，即X(t)、lnX(t)、 [dX(t)/dt]/X(t)。 结论：在索洛模型中，无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数，且是外生决定的。特别是，在该路径上，人均产出的增长率仅取决于技术进步率。 四、非均衡动态与收敛 考察两个非均衡问题： （1）当经济增长处在非稳态时（k≠k*时）各变量如何向稳态调整？（如何收敛？） （2）向稳态调整有多快？（收敛的速度和时间？） 1．非均衡动态 定义k的增长率 ， 当 > 时， >0； 当 < 时， <0。 非稳态动态图示1 增长率<0 增长率>0 k* k 非稳态动态图示2 增长率<0 增长率<0 k* k 这表明k离k*越远，其增长率（正或负）越大，即 。（思考：这意味着什么样的理论预测？与现实是否相符？） 接下来，可以证明索洛模型中的其他变量X的非均衡动态增长率（ ）与 保持比例或线形关系，例如： 因此，对k的非均衡动态分析可以同样适用于X，即 。 结论（索洛模型的收敛性）：每个经济都收敛于其自身的稳态，而且这一收敛的速度与其离稳态的距离成反比，或者说，经济离其自身的稳态值越远，其增长率就越快。 2．绝对收敛与相对收敛 对索洛模型的收敛性的实证检验（样本的同质性与异质性），产生绝对收敛与相对收敛的概念。 条件收敛的图示： k(0)poor k*poor k(0)rich k*rich k 含义：当穷国人均初始资本存量较小，而富国的储蓄率较高时，富国会比穷国有更高的增长率。因此，一旦控制了稳态的决定的情况下，条件收敛将成立。 3．收敛的速度 考察收敛的速度的意义在于如果收敛的速度很快，就集中研究稳态情况，如果收敛的速度很缓慢，研究动态过程就更有意义。 关键在考察k 以多快的速度趋近k *。 由平衡增长的条件可知： ，在k=k*处对 作一阶泰勒级数近似，可得： 因此 含义：在平衡增长路径上，k向k*收敛的速度与k与k*之间的距离成比例。 令 ，“收敛系数” ，则 ，所以x的路径为 （指数增长），即： 可以证明， 。 举例：假设 ， =1/3，则 （表示k和y向k*和y*每年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离（即消除与初始收入差距）的一半约需18年时间。 证明： ， 五、黄金分割律、最优消费和黄金率资本存量水平 产出、储蓄和消费的关系：有效劳动的平均消费 令c=c*（处在平衡增长路径上），则： 由于 = ， 所以， 目标为人均消费最大化，令 ，则 ，即为最优消费的一阶条件，该 为黄金资本存量水平，最优消费 ，这被称为“黄金分割律”。 图示： c gold k*gold k 再考虑储蓄率s变化对消费c*的影响。 由平衡增长路径的稳定条件可知： ，由此 两边对s求导，有： >0,因此 的符号决定于 与 的大小。 当 ， > , >0 当 ， < , <0 因此s与c*的关系为： c* cgold sgold s 六、储蓄率变动的影响 下面考察政策控制变量s的变动的影响，包括： （1）​ 对稳态均衡的影响； （2）​ 两个稳态均衡之间的动态路径； （3）​ 对长期增长的影响程度； （4）​ 对长期增长的影响持续时间。 1．储蓄率变化的比较静态均衡 图示1 k* k*’ k 图示2 k* k*’ k 2. 储蓄率变化的动态影响 （1）​ 对k的影响：先增加，并逐步收敛于新的更高水平。 k t 思考：s与k的动态变化有何不同？ （2）对Y/L的影响：先暂时性的增加，但随后收敛于原来的平衡增长速度。 思考：如何证明？提示：Y/L=Af(k)。 Y/L增长率 t ln(Y/L) t 思考：储蓄率变动对K 、Y、K/Y的动态影响如何？ 结论： （1）储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响。或者说，储蓄率的变化只有水平效应，而没有增长效应。 （2）​ 只有技术进步率的变化有增长效应。 （3）​ 政策含义：投入驱动的增长不会持续。 3.储蓄率变化对产出的长期影响 考察储蓄率s变化对有效劳动人均产出y的影响（弹性分析）。 由 可知： 由平衡增长的条件 得到： 两边对s求导数， 解得： 则 两边同乘s/y*，并用 代换s，得到： 定义 为k=k*处的产出的资本弹性 ，它也是资本收入占总收入的份额。（思考：为什么？） 因此 ， 为产出的储蓄率弹性。 举例：设 =1/3，则 =1/2，当储蓄率增加10%时，人均产出长期内仅变化5%。 结论：储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较小的影响。 4．储蓄率变化的影响时间 注意“收敛系数” 与s无关。 前例：假设 ， =1/3，则 （表示k和y向k*和y*每年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离的一半约需18年时间。 因此，当储蓄率增加10%时，人均产出长期内仅变化5%。第1年增长0.04(5%)=0.2%，18年后增长0.5(5%)=2.5%。 结论：储蓄率变化对人均产出变化的作用较缓慢。 七、对索洛模型的总结和评论 1．主要结论 （1）无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数。 （2）在其他外生变量相似的条件下，人均资本低的经济有更快的人均资本的提高，人均收入低的经济有更高的增长率。 （3）人均产出（Y/L）的增长来源于人均资本存量和技术进步，但只有技术进步才能够导致人均产出的永久性增长。 （4）通过调节储蓄率可以实现人均最优消费和最优资本存量的“黄金律”增长。 （5）储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响；储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较小的影响，且作用缓慢。 2．批评 （1）未能够解释长期经济增长的真正来源。把技术进步（劳动的有效性）看成为外生给定的，而这恰恰是长期经济增长的关键。因此，索洛模型是通过“假定的增长”来解释增长的。 （2）理论预测与实际数据不符。如果资本取得的市场收益大致体现了其对产出的贡献，那么实物资本积累的变化既不能很好地解释世界经济增长，也不能说明国家间的收入差距。 例如：根据C-D生产函数， ，一般的 =1/3，设穷国变量带*，若 ，则 。（如此大的资本存量差异！） 资本的边际产品 ，若 ，则 。（如此高的资本报酬率差异！）