弹性地基梁的计算

第3章弹性地基梁的计算计算基础梁常用的三种假设：(1)地基反力按直线分布的假定；(2)文克尔假定；(3)地基为弹性半无限体(或弹性半无限平面)的假定。3.1按文克尔假定计算基础梁的基本方程1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程根据文克尔假定，地基反力用下式表达。(3-1)式中，－任一点的地基反力（kN/m2）－相应点的地基沉陷量（m）－弹性压缩系数（kN/m3）梁的角变，位移、弯矩、剪力及荷载的正方向均如图中所示。推导出基础梁的挠度曲线微分方程。图3-1从弹性地基梁中取出微段，根据平衡条件∑=0，得()－+－＝0化简后变为(3-2)再根据∑=0，得－(+)+()+=0整理并略去二阶微量，则得(3-3)由式(3-2)和式(3-3)，知(3-4)若不计剪力对梁挠度的影响，则由材料力学中得=(3-5)将式(3-5)代人式(3-4)，并应用式(3-1)，则得(3-6)令＝（3-7）代入式(3-6)，得(3-8)式中叫做梁的弹性标值。式(3-8)就是弹性地基梁的挠度曲线微分方程。为了便于计算，在上式中用变数代替变数，二者有如下的关系：(3-9)将上式代入式(3-9)，则得(3-10)2.挠度曲线微分方程的齐次解解的一般形式为：（3-11）在上式中引用了，3.2按文克尔假定计算短梁1.初参数和双曲线三角函数的引用图示一等截面基础梁，设左端有位移，角变、弯矩和剪力，它们的正方向如图中所示。求式(3-11)的各阶导数，并应用梁左端的边界条件，注意当＝0时ch＝cos＝l，sh=sin=0。得到：解以上四式，求出（3-12）图3-2这样，将式(3-11)中的四个常数C1至C4用、、和表达。将式(3-12)代入式(3-11)中，变为chcos+（chsin+shcos）－shsin－（chsin－shcos）(3-13)为了计算方便，引用下列记号：=chcos=chsin+shcos(3-14)=shsin=chsin-shcos其中、、、叫做双曲线三角函数。这四个函数之间有如下的关系：(3-15)将式(3-14)代入式(3-13)并按式(3-7)消去，再按式(3-5)逐次求导数，并注意式(3-15)，则得以下各式：(3-16)2荷载引起的附加项(1)集中荷载引起的附加项将座标原点移到荷载的作用点。因为仅考虑的作用，故在它的作用点处的四个初参数为,，,用、、和代换式(3-16)中的、、与则得(3-17)式(3-17)即为荷载P引起的附加项。式中双曲线三角函数、、、均有下标，表示这些函数随变化。当求荷载P左边各截面的位移，既角变，弯矩和剪力时只用式(3-16)即可，不需用式(3-17)，因此，当＜时式(3-17)不存在。(2)力矩引起的附加项当梁只作用着力矩时，将座标原点移到力矩的作用点，此点的四个初参数为,，,用、、Mx2、Qx2，代换式(3-16)中的、、、就得力矩M引起的附加项如下：(3-18)式中、、、均有下标，表示这些函数随变化。当＜时式(3-18)不存在。(3)分布荷载q引起的附加项设求座标为截面的位移、角变、弯矩和剪力。将分布荷载看成是无限多个集中荷载qdu，代入式(3-17)，得(3-19)在式(3-19)中、、、随(x-u)变化。如视x为常数，则d(x-u)=-du．考虑这一关系，并注意式(3-15)，得下列各式：(3-20)将以上各式代人式(3-19)，再施用部分积分，则得(3-21)式(3-21)就是求分布荷载q的附加项的一般 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 。(a)梁上有一段均布荷载的附加项(图3-3)：这时，＝0，代入式(3-21)得附加项为(b)梁上有一段三角形分布荷载的附加项(图3-3)：梁上有一段三角形分布荷载。在到区段内任一点的荷载集度为而将以上关系代入式(3-21)，则得(3-23)在式(3-22)和式(3-23)中，函数的下标有的为，在式(3-23)中第一个方括号内还有乘数。使用此二式时要注意，当小于或等于时，圆括号内的均应换为，即改为，()改为()。(c)梁的全跨布满均布荷载的附加项(图3-4)：当均布荷载布满梁的全跨时，则=0，并且任一截面的座标距永小于或等于。这样，将式(3-22)中各函数的下标改为，则，，，由此，得全跨受均布荷载的附加项为(d)梁的全跨布满三角形荷载的附加项(图3-4)：当三角形荷载布满梁的全跨时，=0，任一截面的座标距永小于或等于。与推导式(3-23)相同，从式(3-23)得(3-25)式(3-25)就是梁的全跨布满三角形荷载时的附加项。图3-3图3-4在衬砌结构的计算中，常见的荷载有均布荷载、三角形分布荷载、集中荷载和力矩荷载，根据这几种荷载，将以上求位移、角变、弯矩和剪力的公式综合写出如下：===(3-26)=式(3-26)中,—表示附加项只当>时才存在，余类推。例题3-1图3-5所示基础梁，长度=4m，宽度b=0.2m。EJ=1333kN-m2。地基的弹性压缩系数K=40000kN／m3，梁的两端自由。求梁截面1和截面2的弯矩。解：(1)查出双曲线三角函数因梁宽b=0.2m，故K值须用K=0.2×40000=8000kN／m2从表中查出各值，见表3-1图3-11表3-1x(m)αx1234l.13.23.34.40.7568-3.6882-13.4048-13.51802.093O1.0702-15.5089-51.27461.19043.6036-2.1356-38.7486O.88116.316311.2272-26.2460(2)确定初参数、、、Q。由梁左端的边界条件，知。=0，Q。=0其它两个初参数和可用梁右端的边界条件M=0与Q=0由式(3-26)确定。因梁上作用着一段均布荷载q0，故须将式(3-22)迭加到式(3-26)中。尚须注意：=3m，=0，=2m。这样，便可写出下列二式将值，K值和表3-1中相应的值代入以上二式中，得[3.6036+38.7486]=0[1.0702+51.2746]-40×0.7568=0解出=0.00247m，=-0.0001188。以上将四个初参数、、、Q。都求出来了。(3)求截面1与截面2的弯矩将式(3-22)迭加到式(3-26)中。集中荷载P的附加项对截面1和截面2的弯矩没有影响。并注意=0，由此，则得将值，K值、、和表3-1中相应的值代人上式，算出截面1与截面2的弯矩如下：(a)截面1的弯矩截面1距座标原点x=1m，在均布荷载范围以内，故应等于，因此，为零。截面1的弯矩==-0.270kN-m(b)截面2的弯矩截面2在均布荷载范围以外，故=2m，=3m。可得截面2的弯矩==7.957kN-m3.3按文克尔假定计算长梁1无限长梁梁的挠度曲线方程(3-11)又可写为：当趋近于∞时，梁的值应趋近于零。根据这一关系，上式变为(3-28)再确定常数A3与A4。依据式(3-5)求的各阶导数，得图3-6(3-29)在荷载作用点O。应有和代人式(3-29)，得注意式(3-7)，解出将A3及A4代入式(3-28)和式(3-29)中，得以下各式：(3-30)引用符号，令(3-31)因此，式(3-30)变为(3-32)式(3-32)就是计算无限长梁的方程。其中函数～可以从表中查出，它们之间存在下列关系：，，,用式(3-32)计算图3-6所示的无限长梁，求出地基反力和、及的曲线如图中所示，距离荷载P越远则、、和越小。计算证明，与荷载P的作用点距离为处，荷载的影响很小。因此，给出如下的规定：当集中荷载P与梁端的距离x满足≥时，则可按无限长梁计算。有的文献中规定，当≥2.75时即可按无限长梁计算。例题3-2图3-7所示基础梁，E=2×l08kN／m2，J=2500×10-8m4，梁的宽度b=20cm。地基的弹性压缩系数K=15×l04kN／m3，求点B的挠度及弯矩．(1)判定梁的类别因梁的宽度b=20cm，故K值须用K=0.2×15×l04=30000kN／m2根据式(3-7)求出梁的弹性标值为靠近梁端的荷载至梁端的距离为3.6m，则=1.1×3.6=3.86>2.75故可按无限长梁计算。图3-7(2)查出双曲线三角函数将座标原点分别放置于A、B，C、D各点，从表中查出各值见表3-2。表3-2荷载至点B的距离x01m2m01.13.21.0000-O.1457-O.15481.00000.44760.0244(3)计算点B的挠度和弯矩由式(3-32)求出点B的挠度和弯矩为==0.00355m=(1-2×0.1457-0.1548)=12.59kN.m2半无限长梁左端的边界条件为(参照图3-8)，代人式(3-29)中则得,解出，将A3和A4代人式(3-28)与式(3-29)中，得(3-33)在上式中引用式(3-31)中的各函数，并注意则变为(3-34)图3-8所示的梁当它的长度满足(或≥2.75)时，即可按半无限长梁进行计算。按文克尔假定计算基础梁，区分为三类：①刚性梁当梁的长度符合(或≤1)时，地基反力可按直线分布计算。②长梁当荷载与梁两端的距离符合(或≥2.75)时，叫做无限长梁，用式(3-32)计算。当梁端上作用着集中力和力矩，而梁的长度1符合(或≥2.75)时，叫做半无限长梁，用式(3-34)计算。③短梁凡不属于刚性梁和长梁类型的就叫做短梁，用式(3-26)计算。Wcj5I!#F1d5N16!sJHkOYPlILu&95R9i6L(-Pdrl*msfT22Rdqi!gl6HZXB(6)E!&Oeuq3vEt+km4CQLmNUHbvvbHUNmLRD5nl0uFx4swgQ(%G+8-E#$K9oj<hV56Wjwq+pvhT21QbmeWae+AQOrV&UqNPy)d8Uck8M)-Pdqk&kqdQ+-O9ldWaf0BSQuY-YvSVE3jf!jshW78#oCw6xEr&ed%pCu3sxiU20O8jaR48!rHEgJSHdyAiQ*ZA!+WqKKqX0%C!)TlDBgLWNlIMx)daXgqfV7a$rGBcELz3oo5CPJiIOA3ml0vHy6uzjU1-M5f5M-1Ujyu5xGu+jk2zNHhHNA3ml1xJB9yDoZ64ScmdU6a%tIEgJSGbxygO$WxX&RlEEkQ%VuTYKcts6ALC9xAkU0)J2b0G$%Maoj<gU44Vhun)mseQ-)L6i9R48%tKHkNWMiEHpY3-J19)BWWD0d7R7d+CUTz&6-G&-TkBycFPGcyBkT+*G-7*AVWD1e8T9f2FYYE+b4M16!sKImQ#RnKOx)dqOldoTxwOg27x6+cIppJc07y94iQyAWrgpSvrH7!&iZP#l+)fQCH(ExJ5VV4IvC$DxL9#$dSGP7TP*uehEa1bFjgy+UYdVNZl0+jVIO5PIWj01m#PXf#W1AjmIe4eHliz+UYcUMXj-(fRDJ+JCPc%%eSFN5QL#o69v0#+s52iTDH&CtE+NM&whnMlerXEEXremNniw&MO0FuD(IEUk47u1$3xb9r$OT7QJVh)(gTGN3SYKcvu9EPHeCHr$86TcmcS47ZoEzaCKy3oo5DQKkKQD5oo3zKCbzEo#74ScmcT69$rHDfHPE9uvdKYStT#NgAzfLXQoNSE5nl+tEv1pscM$YA%2!wSTB0e8Tah5I$$J5ibU9f0CUTx$3&CZ%Neur4xGw1np8GVQrT!OiDDkR&XxX%PhAzeJPXf!X2BlnKh7hLomD4Z%h#R%p43mYLR7RLYl23n$QYf!W1AjlHd3dGjgx)SWaRJUf&%bNzF*ExK7XY8MzH-JETh+1n%S!k)%9KtxVsjuYDBTl6bBa2fLrrLe18za4iQyAVqfoQsoE4X!eULVg%!9KvAH-6&yTTA)a4N39*yQPu#1%BZ&Ofwt7AKA6twfO%ZA$0ZtOPw&81L28*yRQw$4(E%-TkBzdHRIeBFoX3+L4c1G$%L9nh!ipcQ++PbogZej5HYXB*6)E$*Pfvs4xGv1no7FTOpSLYk0+jWKQ7SM#o67s)W*n++eOxAXulvZDASj49y6-aGllE7%0q0&8FmnId19Bd9oXGJ*BrB*IGXn8cA80cHmlE6$-o-!5CijD7*3v61gPxzVrhqTwtKa&-aCLA5qsaIWQrSZMfzzfLYQpPUF7pn2wHy6txhR)%G+8-DZ!J8mh$jreS23Tgtm*lrdP)(L6h9Q48%tKHkOXNjFIqZ4+L3b+DYYF2g9T9f2FXXCCqy#BxMb&)jZPZi(%aKvzXvny%IH#sekKkdqXEEYtgoPrmA+RU6LBK3QN%uehFc4fJomF6$-n(Z2yeey2Z)n-%7FnpKg5eGjfv*PS5T%SoKMu%72N5c0EYZF2f8S7d+CUTy%4(E$(Qhyv8BLB7twfO%YA$0YsNOv$5+J+5$vONsY0$AY%Ofwu7BLC8vyhQ($E(5%yTO)zlrRqjx%KK*ymuVwrG4XZbQGP8VR-yimJg8iNsqIa(1q+$5BhhB4$+q0*9HprMh6fIkgw(PT6NDO8WU1DotSqjv!H#G3gaT9f1DWVA*7-G&-TkBybFOEbxAiR)$E(4$xRSz)a4O4b)ATSy%5)G&+UlCAeISIfCFoY3+L4c1G!$K8mg!iboUBBVpdkMniw*NP0GvF)KHXn7by5(7Cgew-UZeXQ$o54o$PWdXS(ubdy3$1u62iRBE!yoz%HFWo9eCb3hV56Wjxq0qwiU32RcogYcg1CTQtX)XtQSB0gbXfnbQ12Thuo-oviV43Teqi!fk5HYWA&4&BY!Laqm-r0bGljB4Z*l&X0wddx1Y(n-%7GoqLh6fIkhx)RU8PGRbZY5HtyXwoB)NN(AnuUvpD1TU6LzI0NJYool-sBr)jl4DSNoQYMgABiP$WvV$OgzydJUMkJNy+gd!kuk!dg+yOJlNWKfABiQ%XxY&RkDDiO#Q8TO%sacy4&3w96w)RV8QHSd$#9LwC!BuG3TT3HuC%EyNb%*gWLUdZW2ClpMjalPtrJb(15xEs(gg)tGA9zEq%baYjvm&im6HYVy!1#wTVE3idYgocR12Tgtn)ntfS10PbneXbg0BSQ5MBL5SP(xhmKi9lQvuMf17x6+dJqrLf3aCd8nVEG$ynw#CzQg04r+#1wa9r%PU9SLYkvvbHUNmLQC4mk+uEw3queO*!E)6(CXZI6lg!iqeS22Tgtm*lrdP-)M7iaR5a&vMJmUKUe$Z6HsxVtlx%IH#tgmMmgt#HI%xltVxsH6Z!eUKTd#X4EptRpgsXCATl7dDcqdQ0+PbngYdi4FXVz%4*CZ$Mcso0tCr(ik2AOJjKSF9st9FSLkJPB2lj-sDv295lVEI*CsD)LJ!sdiHg8kQwvPi4bCc6kRzAYthqSupF4X#dTKUd!Y6HrwUsk0EZ#H4icWci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