平行四边形的动点问题(尖)

第1页（共22页）平行四边形的动点问题1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造□PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE=AO．（1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（2）当点P运动的时间为32秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？第2页（共22页）2．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=5cm，E、F为直线BD上的两个动点（点E、F始终在▱ABCD的外面），且DE=12OD，BF=12OB，连接AE、CE、CF、AF．（1）求证：四边形AFCE为平行四边形．（2）若DE=13OD，BF=13OB，上述结论还成立吗？由此你能得出什么结论？（3）若CA平分∠BCD，∠AEC=60°，求四边形AECF的周长．3．平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，E、F分别从A、C两点同时以2cm/s的相同的速度向C、A运动（1）四边形DEBF是平行四边形吗？说明你的理由．（2）若BD=10cm，AC=18cm，当运动时间t为多少时，以D、E、B、F为顶点的四边形为矩形．第3页（共22页）4．如图，M、N是平行四边形ABCD对角线BD上两点．（1）若BM=MN=DN，求证：四边形AMCN为平行四边形；（2）若M、N为对角线BD上的动点（均可与端点重合），设BD=12cm，点M由点B向点D匀速运动，速度为2（cm/s），同时点N由点D向点B匀速运动，速度为a（cm/s），运动时间为t（s）．若要使四边形AMCN为平行四边形，求a的值及t的取值范围．5．如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，E，F分别是BC，AD上的两点，且BE=DF，连AE，BF，DE，CF分别交于点G，H．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形．（2）若E，F分别是BC，AD上的两个动点，设BE=DF=x，试推断当x等于多少时，四边形GEHF是矩形．第4页（共22页）6．如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AB=3cm，BC=5cm，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△ABP为等腰三角形？7．如图，在△ABC中，△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE，AC和BE相交于点O．（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，并说明理由．（2）P是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化，请说明理由．第5页（共22页）8．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？9．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，C的坐标分别为（10，0），（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动，速度为2cm/s（1）当点P运动多少秒时，四边形PCDA是平行四边形？并求此时点P的坐标；（2）当△ODP是等腰三角形时，求点P的坐标．第6页（共22页）10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，D是AC中点，CE∥BA，动点P以每秒1个单位长的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P移动时间为t秒．（1）求AB与CE间的距离；（2）t为何值时，四边形PBCF为平行四边形；（3）直接写出t为何值时，PF=3．11．如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=8，∠B=60°，点P以每秒2个单位速度，从点B出发沿射线BA方向运动，同时直线l以每秒1个单位速度，从CD出发沿射线CB方向运动，分别交BC，AC于点G，H，连结PG，设运动的时间为t，当G与B重合时，运动停止．（1）当t为何值时，以P，G，H，A为顶点的四边形是平行四边形；（2）在运动过程中，是否存在以P，G，H，A为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．第7页（共22页）平行四边形的动点问题参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 与试题解析一．解答题（共11小题）1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造□PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE=AO．（1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（2）当点P运动的时间为32秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？【分析】（1）连接CD交AE于F，根据平行四边形的性质得到CF=DP，OF=PF，根据题意得到AF=EF，又CF=DP，根据平行四边形的判定定理证明即可；（2）根据题意计算出OC、OP的长，根据勾股定理求出AC、CE，根据平行四边形的周长 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 计算即可．【解答】（1）证明：连接CD交AE于F，∵四边形PCOD是平行四边形，∴CF=DF，OF=PF，∵PE=AO，∴AF=EF，又CF=DF，∴四边形ADEC为平行四边形；（2）解：当点P运动的时间为32秒时，OP=32，OC=3，第8页（共22页）则OE=92，由勾股定理得，AC=√𝑂𝐴2+𝑂𝐶2=3√2，CE=√𝑂𝐶2+𝑂𝐸2=32√13，∵四边形ADEC为平行四边形，∴周长为（3√2+32√13）×2=6√2+3√13．【点评】本题考查的是平行四边形的性质和判定、勾股定理的应用，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键，注意坐标与图形的关系的应用．2．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=5cm，E、F为直线BD上的两个动点（点E、F始终在▱ABCD的外面），且DE=12OD，BF=12OB，连接AE、CE、CF、AF．（1）求证：四边形AFCE为平行四边形．（2）若DE=13OD，BF=13OB，上述结论还成立吗？由此你能得出什么结论？（3）若CA平分∠BCD，∠AEC=60°，求四边形AECF的周长．【分析】（1）由平行四边形的性质可知OA=OC、OB=OD，结合DE=12OD、BF=12OB可得出OE=OF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形；第9页（共22页）（2）由DE=13OD、BF=13OB可得出OE=OF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形，由此可得出原结论成立，再找出结论“若DE=1𝑛OD，BF=1𝑛OB，则四边形AFCE为平行四边形”即可；（3）根据平行四边形的性质结合CA平分∠BCD，即可得出AD=CD，进而可得出OE是AC的垂直平分线，再根据∠AEC=60°可得出△ACE是等边三角形，根据OA的长度即可得出AE、CE的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形AECF的周长．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵DE=12OD，BF=12OB，∴DE=BF，∴OE=OF，∴四边形AFCE为平行四边形．（2）∵DE=13OD，BF=13OB，∴DE=BF，∴OE=OF，∴四边形AFCE为平行四边形．∴上述结论成立，由此可得出结论：若DE=1𝑛OD，BF=1𝑛OB，则四边形AFCE为平行四边形．（3）在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．∵CA平分∠BCD，∴∠BCA=∠DCA，∴∠DCA=∠DAC，∴AD=CD．∵OA=OC，∴OE⊥AC，∴OE是AC的垂直平分线，第10页（共22页）∴AE=CE．∵∠AEC=60°，∴△ACE是等边三角形，∴AE=CE=AC=2OA=10cm，∴C四边形AECF=2（AE+CE）=2×（10+10）=40cm．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的定义以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形AFCE为平行四边形；（2）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形AFCE为平行四边形；（3）根据平行四边形的性质找出△ACE是等边三角形．3．平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，E、F分别从A、C两点同时以2cm/s的相同的速度向C、A运动（1）四边形DEBF是平行四边形吗？说明你的理由．（2）若BD=10cm，AC=18cm，当运动时间t为多少时，以D、E、B、F为顶点的四边形为矩形．【分析】（1）由平行四边形ABCD中，可得OA=OC，OB=OD，又由若E、F是AC上两动点，E、F分别从A、C两点同时以2cm/s的相同的速度向C、A运动，易得AE=CF，即可得OE=OF，则可判定四边形DEBF是平行四边形；（2）由四边形DEBF是平行四边形，可得当EF=BD时，四边形DEBF为矩形，即可得方程：18﹣2t﹣2t=10，继而求得答案．【解答】解：（1）四边形DEBF是平行四边形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，第11页（共22页）∴OA=OC，OB=OD，∵E、F是AC上两动点，E、F分别从A、C两点同时以2cm/s的相同的速度向C、A运动，∴AE=CF，∴OE=OF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）根据题意得：AE=CF=2tcm或18﹣2tcm，∵四边形DEBF是平行四边形，∴当EF=BD时，四边形DEBF为矩形．即AC﹣AE﹣CF=BD或AE+CF﹣AC=EF，∴18﹣2t﹣2t=10或2t+2t﹣18=10，解得：t=2或t=7∴当运动时间t为2s或7s时，四边形DEBF为矩形．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，正确应用矩形的判定方法得出EF=BD是解题关键．4．如图，M、N是平行四边形ABCD对角线BD上两点．（1）若BM=MN=DN，求证：四边形AMCN为平行四边形；（2）若M、N为对角线BD上的动点（均可与端点重合），设BD=12cm，点M由点B向点D匀速运动，速度为2（cm/s），同时点N由点D向点B匀速运动，速度为a（cm/s），运动时间为t（s）．若要使四边形AMCN为平行四边形，求a的值及t的取值范围．【分析】（1）首先连解AC，AC交BD于O，易证得AC、MN互相平分；即可判定四边形AMCN为平行四边形；（2）由要使四边形AMCN为平行四边形，即OM=ON，可得a=2；又由当M、M第12页（共22页）重合于点O，即t=𝐵𝐷𝑎+2=124=3时，则点A、M、C、N在同一直线上，不能组成四边形，且当点M由A运动到点D时，t=12÷2=6，即可求得答案．【解答】（1）证明：连接AC，交BD于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵BM=DN，∴OB﹣BM=OD﹣DN，∴OM=ON，∴四边形AMCN为平行四边形；（2）解：要使四边形AMCN为平行四边形，即OM=ON，∴a=2；∵当M、N重合于点O，即t=𝐵𝐷𝑎+2=124=3时，则点A、M、C、N在同一直线上，不能组成四边形，且当点M由B运动到点D时，t=12÷2=6，∴当0≤t＜3或3＜t≤6时，四边形AMCN为平行四边形．【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．5．如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，E，F分别是BC，AD上的两点，且BE=DF，连AE，BF，DE，CF分别交于点G，H．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形．（2）若E，F分别是BC，AD上的两个动点，设BE=DF=x，试推断当x等于多少时，四边形GEHF是矩形．第13页（共22页）【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证明四边形FBED是平行四边形，得出BF∥ED，同理：四边形AECF是平行四边形，得出AE∥FC，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出∠BAD=120°，证明△ABE是等边三角形，得出BE=DF=AB=2，证出AB=AF，得出∠ABG=∠AFG=30°，证出∠EGF=90°，即可得出四边形GEHF是矩形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴BE∥DF，∵BE=DF，∴四边形FBED是平行四边形，∴BF∥ED，即GF∥EH，同理：四边形AECF是平行四边形，∴AE∥FC，即GE∥FH，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：当AE平分∠BAD，CF平分∠BCD时，BE=DF=2，四边形GEHF是矩形；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=180°﹣∠ABC=180°﹣60°=120°，∴∠ABC=∠BAC=∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE=DF=AB=2，∴AF=CE=BC﹣BE=4﹣2=2，∴AB=AF，∴∠ABG=∠AFG=30°，∴∠AGB=90°，∴∠EGF=90°，∴四边形GEHF是矩形；第14页（共22页）即当x=2时，四边形GEHF是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．6．如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AB=3cm，BC=5cm，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△ABP为等腰三角形？【分析】（1）利用AAS先证明△ABC≌△CDA，可得AD=BC，AB=CD，所以可证四边形ABCD是平行四边形；（2）利用勾股定理先求得AC的长，再根据点P在BC上，点P在CD上，点P在AD上三种情况，结合等腰三角形的判定和勾股定理进行计算即可．【解答】解：（1）证明：在△ABC和△CDA中，∵{∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐷=90°∠𝐵=∠𝐷𝐴𝐶=𝐶𝐴，∴△ABC≌△CDA（AAS），∴AD=BC，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=√𝐵𝐶2−𝐴𝐵2=√52−32=4．设经过ts时，△ABP为等腰三角形．当P在BC上时，①BA=BP=3，即t=3时，△ABP为等腰三角形；②BP=AP=12BC=52，即t=52时，△ABP为等腰三角形；③AB=AP．过A作AE⊥BC，垂足为E，AE=𝐴𝐵⋅𝐴𝐶𝐵𝐶=125．第15页（共22页）在Rt△ABE中，BE=√𝐴𝐵2−𝐴𝐸2=√32−(125)2=95．∴BP=2BE=185，即t=185时，△ABP为等腰三角形；当P在CD上不能得出等腰三角形；当P在AD上时，只能AB=AP=3，∴BC+CD+DP=10，即t=10时，△ABP为等腰三角形．答：从运动开始经过52s或3s或185s或10s时，△ABP为等腰三角形．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定及勾股定理等知识，注意要分情况考虑问题．7．如图，在△ABC中，△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE，AC和BE相交于点O．（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，并说明理由．（2）P是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化，请说明理由．【分析】（1）由△ECD是△ABC平移得到的，可得AB∥EC，AB=EC，继而可证得四边形ABCE是平行四边形；（2）易证得△AOQ≌△COP，则可得四边形QPDE的面积等于四边形ACDE的面积，继而可证得四边形PQED的面积是不随点P的运动而发生变化．【解答】解：（1）四边形ABCE是平行四边形，理由：∵△ECD是△ABC平移得到的∴AB∥EC，AB=EC，第16页（共22页）∴四边形ABCE是平行四边形；（2）不发生变化．理由：∵AE∥BC，∴∠QAO=∠PCO，∵四边形ABCE是平行四边形，∴OA=OC，在△AOQ和△COP中，{∠𝑄𝐴𝑂=∠𝑃𝐶𝑂𝑂𝐴=𝑂𝐶∠𝐴𝑂𝑄=∠𝐶𝑂𝑃，∴△AOQ≌△COP（ASA），∴四边形QPDE的面积等于四边形ACDE的面积，∴四边形PQED的面积是不随点P的运动而发生变化．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平移的性质．此题难度适中，注意掌握平移图形的性质，注意数形结合思想的应用．8．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？【分析】若四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，那么QD=CQ或AP=BQ或PD=BQ，根据这个结论列出方程就可以求出时间．【解答】解：设P，Q同时出发t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，根据已知得到AP=t，PD=24﹣t，CQ=2t，BQ=30﹣2t．（1）若四边形PDCQ是平行四边形，则PD=CQ，∴24﹣t=2t，∴t=8，∴8秒后四边形PDCQ是平行四边形；（2）若四边形APQB是平行四边形，则AP=BQ，∴t=30﹣2t，∴t=10，∴10秒第17页（共22页）后四边形APQB是平行四边形．∴出发后10秒或8秒其中一个是平行四边形．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，不过用运动的观点结合梯形的知识出题学生不是很适应．9．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，C的坐标分别为（10，0），（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动，速度为2cm/s（1）当点P运动多少秒时，四边形PCDA是平行四边形？并求此时点P的坐标；（2）当△ODP是等腰三角形时，求点P的坐标．【分析】由四边形OABC是平行四边形，得到OA=BC，OA∥BC，于是得到OA=10，OE=AF=2，得到OD=AD=12OA=5，（1）根据四边形PCDA是平行四边形，得到PC=AD，即10﹣2t=5，解方程即可得到结论；（2）如图2，分三种情况①当PD=OD=5时，过P作PE⊥OA于E，则PE=4，得到DE=3，求出P1（8，4），②当PD=OP时，过P作PF⊥OA于F，则PF=4，OF=52，得到P3（52，4）；③当PO=OD=5时，过P作PG⊥OA于G，则PG=4，得到P2（3.4）．【解答】解：如图1，过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA=BC，OA∥BC，∵A，C的坐标分别为（10，0），（2，4），∴OA=10，OE=AF=2，∴BC=10，∵点D是OA的中点，第18页（共22页）∴OD=AD=12OA=5，（1）设点P运动t秒时，四边形PCDA是平行四边形，由题意得：PC=10﹣2t，∵四边形PCDA是平行四边形，∴PC=AD，即10﹣2t=5，∴t=52，∴当点P运动52秒时，四边形PCDA是平行四边形；∴P（92，4）；（2）如图2，①当PD=OD=5时，过P作PE⊥OA于E，则PE=4，∴DE=3，∴P1（8，4），②当PD=OP时，过P作PF⊥OA于F，则PF=4，OF=52，∴P3（52，4）；③当PO=OD=5时，过P作PG⊥OA于G，则PG=4，∴OG=3，∴P2（3.4），综上所述：当△ODP是等腰三角形时，点P的坐标为（8，4），（52，4），（3.4）．第19页（共22页）【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质世界的推根据．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，D是AC中点，CE∥BA，动点P以每秒1个单位长的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P移动时间为t秒．（1）求AB与CE间的距离；（2）t为何值时，四边形PBCF为平行四边形；（3）直接写出t为何值时，PF=3．【分析】（1）根据勾股定理，可得AB的长，根据面积的不同表示方法，可得答案；（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案；（3）根据平行四边形的判定与性质，可得52；根据等腰三角形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质，可得t=4.3．【解答】解：（1）如图，作CH⊥AB于点H，∵BC=3，AC=4，∴根据勾股定理得：AB=√𝐵𝐶2+𝐴𝐶2=5，∴12AB•CH=12AC•BC，即12×5×CH=12×4×3，第20页（共22页）∴CH=125，则AB与CE间的距离为125；（2）∵D是AC中点，∴当P为AB中点时，PD∥BC，又∵CE∥BA，∴四边形PBCF为平行四边形，此时PB=12AB，即t=52；（3）∵EC∥AB，∴∠A=∠FCD，∠APD=∠CFD．在△ADP和△CDF中，{∠𝐴=∠𝐹𝐶𝐷∠𝐴𝑃𝐷=∠𝐶𝐹𝐷𝐴𝐷=𝐶𝑃∴△ADP≌△CDF，FD=DP=32=12BC，∴P是AB的中点，PB=52，即t=52；作FH∥BC，FG⊥AB于G，如图1，∵EC∥AB，∴∠A=∠FCD，∠APD=∠CFD．在△ADP和△CDF中，{∠𝐴=∠𝐹𝐶𝐷∠𝐴𝑃𝐷=∠𝐶𝐹𝐷𝐴𝐷=𝐶𝑃∴△ADP≌△CDF，AP=FC．∵FH∥BC，FC∥HB，第21页（共22页）∴FH=BC=PF=3，HB=FC=AP．∵FG=𝐴𝐶⋅𝐵𝐶𝐴𝐵=125=2.4．HG=√𝐻𝐵2−𝐹𝐺2=√32−(2.4)2=1.8，PH=2HG=3.6．HB=AP=5−3.62=0.7，PB=AB﹣AP=5﹣0.7=4.3，即t=4.3，综上所述：t的值为52，4.3．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．11．如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=8，∠B=60°，点P以每秒2个单位速度，从点B出发沿射线BA方向运动，同时直线l以每秒1个单位速度，从CD出发沿射线CB方向运动，分别交BC，AC于点G，H，连结PG，设运动的时间为t，当G与B重合时，运动停止．（1）当t为何值时，以P，G，H，A为顶点的四边形是平行四边形；（2）在运动过程中，是否存在以P，G，H，A为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）当PA=GH时，以P，G，H，A为顶点的四边形是平行四边形，列出方程即可解决．（2）不存在，根据（1）中的两种情形进行证明．【解答】解：（1）当PA=GH时，以P，G，H，A为顶点的四边形是平行四边形，如图取BC中点M，连接AM，∵AB=4，BM=MC=4，∠ABC=60°，第22页（共22页）∴△ABM是等边三角形，∴AM=MC=4，∠AMB=60°，∴∠MAC=∠MCA，∵∠AMB=∠MAC+∠MCA，∴∠BCA=30°，∴∠BAC=90°，∵AB∥GH，∴∠GHC=∠BAC=90°∵PA=4﹣2t或2t﹣4，GH=12CG=12t由题意：4﹣2t=12t或2t﹣4=12𝑡，t=85或83，（2）不存在．理由如下：由（1）可知①t=85时四边形APGH是平行四边形，∵∠PAH=90°，∴四边形APGH是矩形，∵GH=45，PG=16√35，∴GH≠PG，∴四边形APGH不是正方形．②t=83时，点P在BA的延长线上，四边形PAGH显然不是正方形．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、正方形的判定和性质，解决问题的关键是用方程的思想思考问题，属于 中考 中考数学全套课件中考心理辅导讲座中考语文病句辨析修改中考语文古诗文必背中考单选题精选 常考题型．