nullnull 第三章 内积空间,正规矩阵与H-阵
定义: 设 是实数域 上的 维线性空间,对于 中的任意两个向量 按照某一确定法则对应着一个实数,这个实数称为
与 的内积,记为 ,并且要求内积满足下列运算条件:
null这里 是 中任意向量, 为任意实数
,只有当 时 ,我们称带有这样内积的 维线性空间 为欧氏空间。
例 1 在 中,对于
规定
容易验证 是 上的一个内积,从而 成为一个欧氏空间。如果规定null容易验证 也是 上的一个内积
,这样 又成为另外一个欧氏空间。
例 2 在 维线性空间 中,规定
容易验证这是 上的一个内积,这样 对于这个内积成为一个欧氏空间。
例 3 在线性空间 中,规定null容易验证 是 上的一个内积,这样 对于这个内积成为一个欧氏空间。
定义: 设 是复数域 上的 维线性空间,对于 中的任意两个向量 按照某一确定法则对应着一个复数,这个复数称为 与
的内积,记为 ,并且要求内积满足下列运算条件:
null这里 是 中任意向量, 为任意复数
,只有当 时 ,我们称带有这样内积的 维线性空间 为酉空间。欧氏空间与酉空间通称为内积空间。
例 1 设 是 维复向量空间,任取null规定
容易验证 是 上的一个内积,从而 成为一个酉空间。
例 2 设
表
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示闭区间 上的所有连续复值函数组成的线性空间,定义null容易验证 是 上的一个内积,于是 便成为一个酉空间。
例 3 在 维线性空间 中,规定
其中 表示 中所有元素取共轭复数后再转置,容易验证 是 上的一个内积,从而 连同这个内积一起成为酉空间。
内积空间的基本性质:null欧氏空间的性质:null酉空间的性质:null定义:设 是 维酉空间, 为其一组基底,对于 中的任意两个向量
那么 与 的内积令null称 为基底 的度量矩阵,而且
定义:设 ,用 表示以 的元素的共轭复数为元素组成的矩阵,记null则称 为 的复共轭转置矩阵。不难验证复共轭转置矩阵满足下列性质:null定义:设 ,如果 ,那么称
为Hermite矩阵;如果 ,那么称 为反Hermite矩阵。
例 判断下列矩阵是H-阵还是反H-阵。nullnullnull(5) 实对称矩阵
(6) 反实对称矩阵
(7) 欧氏空间的度量矩阵
(8) 酉空间的度量矩阵
内积空间的度量
定义:设 为酉(欧氏)空间,向量 的长度定义为非负实数
例 在 中求下列向量的长度null解: 根据上面的公式可知
一般地,我们有: 对于 中的任意向量
其长度为null这里 表示复数 的模。
定理:向量长度具有如下性质
当且仅当 时, null例 1: 在线性空间 中,证明
例 2 设 表示闭区间 上的所有连续复值函数组成的线性空间,证明:对于任意的 ,我们有null定义:设 为欧氏空间,两个非零向量 的夹角定义为
于是有
定理:null因此我们引入下面的概念;
定义:在酉空间 中,如果 ,则称 与 正交。
定义: 长度为1的向量称为单位向量,对于任何一个非零的向量 ,向量
总是单位向量,称此过程为单位化。 null
标准
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正交基底与Schmidt正交化方法
定义:设 为一组不含有零向量的向量组,如果 内的任意两个向量彼此正交,则称其为正交的向量组。
定义:如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量,则称此向量组为标准的正交向量组。
例 在 中向量组null与向量组
都是标准正交向量组。null定义:在 维内积空间中,由 个正交向量组成的基底称为正交基底;由 个标准的正交向量组成的基底称为标准正交基底。
注意:标准正交基底不唯一。在上面的例题中可以发现这一问题。
定理:向量组 为正交向量组的充分必要条件是
;向量组 为标准正交向量组的充分必要条件是null
定理:正交的向量组是一个线性无关的向量组。反之,由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组,甚至是一个标准正交向量组。
Schmidt正交化与单位化过程:
设 为 维内积空间 中的 个线性无关的向量,利用这 个向量完全可以构造一个标准正交向量组。 null第一步 正交化
容易验证 是一个正交向量组。null第二步 单位化
显然 是一个标准的正交向量组。
例 1 运用正交化与单位化过程将向量组
化为标准正交向量组。
解:先正交化 null再单位化 null那么 即为所求的标准正交向量组。
例 2 求下面齐次线性方程组null其解空间的一个标准正交基底。
解: 先求出其一个基础解系
下面对 进行正交化与单位化:null即为其解空间的一个标准正交基底。null 酉变换与正交变换
定义:设 为一个 阶复矩阵,如果其满足
则称 是酉矩阵,一般记为
设 为一个 阶实矩阵,如果其满足
则称 是正交矩阵,一般记为 null例:是一个正交矩阵null是一个正交矩阵是一个正交矩阵null(5)设 且 ,如果
则 是一个酉矩阵。通常称为Householder矩阵。 是一个酉矩阵null酉矩阵与正交矩阵的性质:
设 ,那么
设 ,那么null定理: 设 , 是一个酉矩阵的充分必要条件为 的 个列(或行)向量组是标准正交向量组。
定义: 设 是一个 维酉空间, 是 的一个线性变换,如果对任意的 都有null则称 是 的一个酉变换。
定理:设 是一个 维酉空间, 是 的一个线性变换,那么下列陈述等价:
(1) 是酉变换;
(3)将 的标准正交基底变成标准正交基底;
(4)酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉矩阵。
注意:关于正交变换也有类似的刻划。null 幂等矩阵
定义:设 ,如果 满足
则称 是一个幂等矩阵。
例
是一个分块幂等矩阵。 null幂等矩阵的一些性质:设 是幂等矩阵,那么有
(1) 都是幂等矩阵;
(2)
(3)
(4) 的充分必要条件是
(5)null定理:设 是一个秩为 的 阶矩阵,那么 为一个幂等矩阵的充分必要条件是存在
使得
推论:设 是一个 阶幂等矩阵,则有
定义:设 为一个 维标准正交列向量组,那么称 型矩阵 null为一个次酉矩阵。一般地将其记为
定理: 设 为一个 阶矩阵,则
的充分必要条件是存在一个 型次酉矩阵 使得
其中 。null引理: 的充分必要条件是
证明:设 ,那么null必要性:如果 为一个 维标准正交列向量组,那么nullnull充分性:设 , 那么由
,可得nullnull即
这表明 是一个 维标准正交列向量组。
定理的证明:
必要性:因 ,故 有 个线性无关的列向量,将这 个列向量用Schmidt方法得出 个两两正交的单位向量,以这 个向量为列构成一个 型次酉矩阵null 。注意到 的 个列向量都可以由
的 个列向量线性表出。即如果
那么可得nullnull其中,由于向量组 的秩为 ,所以
的秩为 。null下面证明 。
由 可得 ,即
注意到 ,所以即
因为 ,所以 ,这样得到
于是null充分性:若 ,则Schur引理与正规矩阵
定义:设 ,若存在
,使得
则称 酉相似(或正交相似)于
定理(Schur引理):任何一个 阶复矩阵 酉相似于一个上(下)三角矩阵。null证明:用数学归纳法。 的阶数为1时定理显然成立。现设 的阶数为 时定理成立,考虑
的阶数为 时的情况。
取 阶矩阵 的一个特征值 ,对应的单位特征向量为 ,构造以 为第一列的 阶酉矩阵 ,因为 构成 的一个标准正交基,故null,因此其中 是 阶矩阵,根据归纳假设,存在
阶酉矩阵 满足(上三角矩阵)null令
那么null注意: 等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵 的全部特征值.
定理(Schur不等式):
设 为矩阵 的特征值, 那么
例: 已知矩阵 null试求酉矩阵 使得 为上三角矩阵.
解: 首先求矩阵 的特征值null所以 为矩阵 的三重特征值. 当
时, 有单位特征向量
再解与其内积为零的方程
求得一个单位解向量null再解与 内积为零的方程组
求得一个单位解向量
取null计算可得null令null再求矩阵 的特征值
所以 为矩阵 的二重特征值. 当
时, 有单位特征向量null再解与其内积为零的方程
求得一个单位解向量null取
计算可得
null令
于是有null则null矩阵 即为所求的酉矩阵.
正规矩阵
定义: 设 , 如果 满足null那么称矩阵 为一个正规矩阵.
设 , 如果 同样满足
那么称矩阵 为一个实正规矩阵.
例:
(1) 为实正规矩阵 null
(2)
其中 是不全为零的实数, 容易验证这是一个实正规矩阵.null
(3)
这是一个正规矩阵.
(4) H-阵, 反H-阵, 正交矩阵, 酉矩阵, 对角矩阵都是正规矩阵.
正规矩阵的性质与结构定理null引理 1 : 设 是一个正规矩阵, 则与 酉相似的矩阵一定是正规矩阵.
引理 2 : 设 是一个正规矩阵, 且又是三角矩阵, 则 必为对角矩阵.
由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理
定理 : 设 , 则 是正规矩阵的充要条件是存在一个酉矩阵 使得null其中 是矩阵 的特征值.
推论 1 : 阶正规矩阵有 个线性无关的特征向量 . null推论 2 : 正规矩阵属于不同特征值的征向量 彼此正交.
例 1 : 设
求正交矩阵 使得 为对角矩阵.
解: 先计算矩阵的特征值null其特征值为
对于特征值 解线性方程组
求得其一个基础解系
现在将 单位化并正交化, 得到两个标准正交向量null对于特征值 解线性方程组
求得其一个基础解系
将其单位化得到一个单位向量null将这三个标准正交向量组成矩阵null则矩阵 即为所求正交矩阵且有例 2 : 设null求酉矩阵 使得 为对角矩阵.null解: 先计算矩阵的特征值
其特征值为
对于特征值 解线性方程组
求得其一个基础解系null现在将 单位化, 得到一个单位向量对于特征值 解线性方程组
求得其一个基础解系
将其单位化得到一个单位向量null对于特征值 解线性方程组
求得其一个基础解系
将其单位化得到一个单位向量null将这三个标准正交向量组成矩阵则矩阵 即为所求酉矩阵且有nullnull
例 3 证明:
(1) H-矩阵的特征值为实数; H-矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的.
(2) 反H-矩阵的特征值为零或纯虚数.
(3) 酉矩阵的特征值模长为1.
定理: 设 是正规矩阵, 则
(1) 是H-阵的充要条件是 的特征值为实数 . null (2) 是反H-阵的充要条件是 的特征值的实部为零 .
(3) 是U-阵的充要条件是 的特征值的模长为1 .
注意: 正规矩阵绝不仅此三类.
例 4 : 设 是一个反H-阵, 证明:
是U-阵.
证明: 根据U-阵的定义null由于 是反H-阵, 所以
, 这样
于是可得 null这说明 为酉矩阵.null例 5 : 设 是一个 阶H-阵且存在自然数
使得 , 证明: .
证明: 由于 是正规矩阵, 所以存在一个酉矩阵 使得null于是可得
从而
这样null即
Hermite二次型(Hermite二次齐次多项式)
Hermite矩阵的基本性质
引理: 设 , 则
(1) 都是H-阵.null (2) 是反H-阵.
(3) 如果 是H-阵, 那么 也是H-阵,
为任意正整数.
(4) 如果 是可逆的H-阵, 那么 也是可逆的H-阵.
(5) 如果 是H-阵(反H-阵), 那么 是反H-矩阵(H-阵), 这里 为虚数单位.
(6) 如果 都是H-阵, 那么
也是H-阵, 这里 均为实数.
(7) 如果 都是H-阵, 那么 也是H-阵的充分必要条件是null定理: 设 , 则
(1) 是H-阵的充分必要条件是对于任意的 是实数.
(2) 是H-阵的充分必要条件是对于任意的 阶方阵 为H-阵.
H-阵的结构定理
定理: 设 , 则 是H-阵的充分必要条件是存在一个酉矩阵 使得null其中 , 此定理经常叙述为: H-阵酉相似于实对角矩阵.
推论: 实对称阵正交相似于实对角矩阵. null例 : 设 为一个幂等H-阵, 则存在酉矩阵 使得
证明: 由于 为一个H-阵, 所以存在酉矩阵 使得
null又由于 为一个幂等H-阵, 从而
或
将1放在一起, 将0放在一起, 那么可找到一个酉矩阵 使得null这里 为矩阵 的秩.
Hermite二次型 (Hermite二次齐次多项式)
定义: 由 个复变量 , 系数为复数的二次齐次多项式null称为Hermite二次型, 这里
如果记 nullnull那么上面的Hermite二次型可以记为
称为Hermite二次型对应的矩阵 , 并称 的秩为Hermite二次型的秩.
对于Hermite二次型作可逆的线性替换
则null这里
Hermite二次型中最简单的一种是只含有纯的平方项无交叉项的二次型
我们称这种形状的Hermite二次型为标准形的Hermite二次型.
定理: 对于任意一个Hermite二次型 null必存在酉线性替换
可以将Hermite二次型 化为标准形
其中 是H-矩阵 的特征值.
进一步, 我们有
定理: 对于Hermite二次型 null必存在可逆的线性替换
可以将Hermite二次型 化为
其中 .
我们称上面的标准形为Hermite二次型
的规范形.
例: 写出下面Hermite二次型的矩阵表达式,并用酉线性替换将其化为标准形.null解: nullnull 正定Hermite二次型与正定Hermite矩阵
定义: 对于给定的Hermite二次形
如果对于任意一组不全为零复数
都有null则称该Hermite二次形为正定的(半正定的) , 并称相应的H-矩阵 为正定的(半正定的) .
例: 判断下列Hermite二次形的类别
null与正定的实二次形一样, 关于正定的Hermite二次形我们有
定理: 对于给定的Hermite二次形
下列叙述是等价的 null (1) 是正定的
(2) 对于任何 阶可逆矩阵 都有
为正定矩阵
(3) 的 个特征值都大于零
(4) 存在 阶可逆矩阵 使得
(5) 存在 阶可逆矩阵 使得
(6) 存在正线上三角矩阵 使得
, 且此分解是唯一的.
例 1 : 设 是一个正定的H-阵, 且又是酉矩阵, 则
证明: 由于 是一个正定H-阵, 所以必存在null酉矩阵 使得
由于 又是酉矩阵, 所以
null这样必有 , 从而
例 2 : 设 是一个正定的H-阵, 是一个反H-阵, 证明: 与 的特征值实部为零.
证明: 设 为矩阵的任意一个特征值, 那么有 . 由于 是一个正定H-阵, 所以存在可逆矩阵 使得
将其代入上面的特征多项式有null这说明 也是矩阵 的特征值. 另一方面注意矩阵 为H-反阵, 从而 实部为零.
同样可以证明另一问. null例 3 : 设 是一个正定的H-阵, 是一个反H-阵, 证明: 是可逆矩阵.
证明: 由于 是一个正定H-阵, 所以存在可逆矩阵 使得
这表明 是可逆的. 于是
另一方面注意矩阵 仍然为正定H-阵, 而矩阵 为H-反阵, 由上面的例题结论可知null矩阵 的特征值实部为零, 那么矩阵
的特征值中不可能有零, 从而定理: 对于给定的Hermite二次形
下列叙述是等价的:
(1) 是半正定的null(2) 对于任何 阶可逆矩阵 都有
为半正定矩阵
(3) 的 个特征值全是非负的
存在 阶可逆矩阵 使得
(5) 存在秩为 的 阶矩阵 使得null定理: 设 是正定(半正定)Hermite矩阵, 那么存在正定(半正定) Hermite矩阵 使得
例 1 : 设 是一个半正定的H-阵且 证明:
证明: 设 为 的全部特征值,由于 是半正定的, 所以 . 于是有 null例 2 : 设 是一个半正定的H-阵且
是一个正定的H-阵, 证明:
证明: 由于 是一个正定的H-阵, 所以存在可逆矩阵 使得
这样有null注意矩阵
仍然是一个半正定的H-阵, 有上面的例题可知
从而null例 3 : 证明:
(1) 半正定H-矩阵之和仍然是半正定的;
(2) 半正定H-矩阵与正定H-阵之和和是正定的;
证明:设 都是半正定H-阵,那么二者之和 仍然是一个H-阵,其对应的Hermite二次型为
其中null由于 都是半正定H-矩阵,所以对于任意一组不全为零的复数
我们有
这说明 为一个半正定H-阵。
类似地,可以证明另外一问。null例 4 : 设 都是 阶正定H-阵,则
的根全为正实数。
证明:因为 是正定的,所以存在可逆矩阵
使得
另一方面注意到 是一个正定H-阵,从而有null的根全为正实数。又由于
故 的根全为正实数。
定理 : 设 是一个(半)正定H-阵,那么必存在唯一的一个(半)正定H-阵 ,使得null Hermite矩阵偶在复合同(复相合)
下的标准形
例 :设 均为 阶Hermite-阵,且
又是正定的,证明必存在 使得null与
同时成立,其中 是与 无关的实数。
证明: 由于 是正定H-阵,所以存在
使得
又由于 也是H-阵,那么存在
使得null其中 是H-阵 的 个实特征值。
如果记 ,则有null下面证明 个实特征值 与 无关。令 ,那么 是特征方程null的特征根。又由于
因此 是方程
的根。它完全是由 决定的与 无关 。
由此可以得到下面的H-阵偶标准形定理:null定理:对于给定的两个二次型
其中 是正定的,则存在非退化的线性替换
可以将 同时化成标准形null其中 是方程 的根,而且全为实数。
定义:设 均为 阶Hermite-阵,且
又是正定的,求 使得方程
有非零解的充分必要条件是null关于 的 次代数方程方程
成立。我们称此方程是 相对于 的特征方程。它的根 称为 相对于 的 广义特征值。将 代入到方程
中所得非零解向量 称为与 相对应的广义特征向量。
广义特征值与广义特征向量的性质;null命题:
(1)有 个广义特征值;
(2)有 个线性无关的广义特征向量
,即
(3)这 个广义特征向量可以这样选取,使得其满足null其中 为Kronecker符号。null