不是欧氏环的主理想环

第 �� 卷 第 期 ! ∀∀ 年 # 月 张 家 口 师 范 专 科 学 校 学 报 ∃% & ∋ ( ) ∗ % + ,− ) ( ./ 0) 1 % & 23 ) 3 −3 ∋ 4 5 % ∗∗3.3 从〕�6 � � 7 % 6 ∃& ( 3 ! ∀ ∀ 不是欧氏环的主理想环‘ 寇 福 来 8张家 口 师范专科学校 , 张 家口 , ∀ 9: ∀ ! :; 摘 要 < 介绍 了一个 不是 欧 氏环 的主理想环 的例 子 6 关键词 < 整环 = 主理想环 = 欧氏环 = 不 可 约元 = 素元 中图分类号 < ∀ � : ! 6 > 文献标识码 < ? 文章编号 < �∀ ∀ : 一 ! 9 ! 98! ∀ ∀ ;∀ 一∀ ∀ �一∀ 9 文中不加定义的术语的意义同 【�≅ 6 众所周知 , 欧氏环一定是主理想环 , 主理想环一定是唯一分解环 , 唯一分解环 一 定是整环 , 但是反过来都不一定 6 一般教科书上都给出了不是唯一分解环 的整环 、 不 是主理想环 的唯一分解环的例子 , 不是欧氏环的主理想环未引入一般的教科书中 6 现 将 【!�中提供的例子整理 、 修改如下 6 我们用 Α 8Β ;表示整环 Β 的全体单位所组成的集合 8即 Β 的 “单位群 ” ;6 定义 � 设 Β 是一个整环 , Χ 〔 Β , 且 Χ 尹 ∀ , Χ 杯Α 8Β ;6 如果 Χ 的因子只有单位和 Χ 的 相伴元 , 则称 Χ 是一个 不 可 约元 6 定义 ! 设 Β 是一个整环 , Δ 〔 Β , 且 Δ 尹∀ , Δ 彭Α 8Β ;6 如果对于 ) , Χ 任 Β , 由刘)Χ 可 推出川) 或 叫Χ , 则称 Δ 是一个 素 元 6 命题 � 设 Β 是一个整环 6 Β 中的素元一定是不可约元 6 证明 用反征法 6 设 Δ 是 Β 中的一个素元 6 如果 Δ 可约 , 并且 Δ 二 )Χ , 这里 ) , Χ偌Α8 川 , 那么由 Δ 是素元之故 , 叫) 或 叫Χ6 不妨设 川) , 并且 ) 二 ΕΦ 8Φ 任 Β ;, 那么 Δ Γ )Χ Γ ΕΦ Χ6 因 为 Β 是一个整环 , 所以 由消去律 , ΦΧ Γ � 6 这与 Χ 杯Α 8Β ;矛盾 6 口 值得注意的是 , 命题 � 的逆不成立 6 看下面的一个例子 < 例 ∗ 设 Β Γ Η。 Ι Χ抓不 ϑ) , Χ 〔 Κ ϑ 二Φ6 显然 Β 是一个整环 6 今断言 事实上 , 如果 。 〔 Α 8Β ;时 , 】& ϑ! Γ 果 ϑ。ϑ! Γ � , 即 Α 8Β ;Γ Η士� ϑ6 Α 8Β ;, 则有 。 任 Β , 使得 二 Γ ∗ , 从而 回 ! Λ。�! Γ � 6 因为当 & Γ ) Ι Χ沪巧 〔 。! Ι :Χ ! 是一个整数 , 同样 ΜΝ∗ , 也是一个整数 , 所以 回 ! 二 � 6 反之 , 如 ) , Ι : Χ! Γ � 8) , Χ 〔 Κ ;, 收稿 Ο 期< !∀∀ 一∀ 一∀ � 签盘项目< 河北省教育厅 自然科学研 究 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 项 目8!∀ ∀ ! �∀ : ; 作者简介< 寇福 来 8� � :Π 一 ;, 男 , 河北 安折县人 , 张家口 师范专科学校 教授 6 张家口 师范专科学校学报 第 �� 卷 那么 Χ Γ % , ) 我们说 , 二 士� , 所以此时 。 Γ 士 � 是 Β 的单位 6 Β 中满足条件 ϑΘ∗ “ Γ � 的元一定是不可约元 6 事实上 , 因为 回! Θ 笋。, 并且 Θ 兴士 � , 即 Θ 忆Α8 卿 6 设 , Γ ) Ι Χ了二万是 Θ 的一个因子 , 且 Θ Γ 界 , Γ � , 所以 那么 Η。�! ϑ< ϑ! Γ � 6 注意到对任意整数 ) , Χ , 都有 护 十 :Χ ! 兴 , 所以 �, �! Γ 0或 � 6 如果 回! Γ � , 那么 。任 Α8Β ;= 如果 国“ Γ � , 那么 同! Γ � , 从而 < Φ Α 8Β ;6 因此 Θ 的因子只 能是单位或 Θ 的相伴元 , 所以 二 不可约 6 根据上 面的讨论 , 是 Β 中的一个不可约元 6 另一方面 , 因为 ϑ� , � 二 8! 十 、左万;8! Ρ 了二万;, 而 Λ! 士 了花ϑ! Γ � , 即 ! 士 训二亏是 Β 中的不可约元 , 再注意到 尹∀ , 努州用 , 不与 ! 士 了瓦 相伴 , 所以 士8! 土 了二亏;, 即 不是素元二 口命题 ! 如果 Β 是一个主理想环 , 那么 Β 中的每个不可约元都是素元 6证明 设 Δ 是 Β 中的一个不可约元 , 并且 刘)Χ 8) , Χ 〔 川 如果 Δ 寸) , 那么 Δ 与 ) 互素 , 从而有 。 , 。 〔 Β , 使得 ) & 十ΕΣ Γ �于是 Χ Γ 8。。 Ι Δ Ν; Χ Γ 二8)Χ ;十 8动;Δ 6 注意到川)Χ , 所以 刘Χ6 因此 Δ 是 Β 中的一个素元 6 口现在 , 设 。 任 Κ , 。 护 ∀ , � , 并且 。 无平方因子 8即不存在 1 〔 Κ , 1 Τ � , 使得 护�二;6定义 Β 。 如下 < 如果 。 三 ! 或 8Υ %ς Π;, 那么Μ−) Γ Η) Ι Χ了蔽 ϑ) , Χ 任 Κ ϑ6如果 Υ 二 �8Υ % ς Π ;, 那么 、 一 Η合8。 Ι Χ而;ϑ) , “。 Κ , )与‘偶性相同 ϑ· 命硒 Β 二 是一个整环 , 并且 Ω 8侧不; Γ Η< Ι 4Ν氛 ϑ< , 。 Φ Ωϑ 是 Β , 的商域 6 证明 显然 Β 。 是一个整环 6 设 Ξ 是 凡” 的商域 , 对任意的 Θ 二 < Ι >了不 任 Ω 8了而;, 因为 ∋ , 。 任 Ω , 所以 Θ ) Ι Χ而 那么 显然有 Ξ . Ω 8了不;6 反之 , 可表示 为 Ψ 二二二一5其中 ) , Χ , 。 任 Κ , 并且 8) , Χ , Φ; Γ � 6 于是 二 〔 Ξ 6 因此 Ξ 二 Ω8Ν万五;·我们把 Ω8侧不;叫做有理数域 Ω 上的一个 二次数城 ,瓜 叫做 Ω 8了币;对于 Θ 二 < 十 4了蔽 〔 Ω 8了而;, 定义 二 的 范数7 8幻 为 7 8二; Γ , ! 一 。。! 6 注意到 7 8Θ; Γ 8< 十 , 了币;8< 一 4丫币;, 所以对于 Θ , , 〔 Ω8了币;, ‘有 7 8Θ 夕; Γ 7 8Θ ;7 8夕;· 命肠 Π 在代数整数环 几Υ 中 , 8∗; 对任意 二 〔 Β 。 , 有 7 8Θ; 任 Κ = 口 的 代数 整数环 6 8�; 第 期 寇福 来 不是欧 氏环的主 理怒环 8! ; 二 任 Α 8凡 � ;当且仅当 7 8、;Γ 8 ; Α 8Β 一 � ; Γ Η士 � , 士坛ϑ< Α 8Β 一 ;幼 Ι8 � Ι 、瓜 ΡΓ �土甄二二云Ρ一 ∃= 当 Υ Ζ 认 Υ 并 一� , 一 时 ,Α 8Β 。 ; Γ Η士 � ϑ 证明 8� ; 当 二 二 ! 或 8Υ% ς Π ;时 , 显然有 7 8Θ ; 〔 , 8Θ 任 Β Υ ;6 下设 。 三 � 8Υ% ς Π ;,并且 Υ Γ Π[ Ι � , [ ∀ ! 6 如果 Θ Γ 盖8) Ι Χ丫而;。瓜 , 其中 。 与 Χ是奇偶性相同的整数 , 那么 ∗ 。 ∴ 。 、 � 。 ∴ 。 、 �/Σ 8Θ ; Γ 二 8) ‘ 一 9( Χ‘ ; Γ , 8) ‘ 一 8Π [ Ι � ;Χ‘ ; Γ , 8) Ι Χ ;8) 一 白; 一 口Χ‘ 6Π ’ Π” 一 Π 、由于 ) 与 Χ 奇偶性相同 , 所以 ) Ι Χ 和 ) 一 Χ 都是偶数 , 从而 7 8司 任 乙8! ; 如果 。 〔 Α 8Β 。;, 则有 Ν 任 Β 。 , 使得 。。 Γ � 6 由 8� ;式 , � Γ 7 8� ; Γ 7 8二。; Γ 7 8。;7 8Ν ;, 所以 7 8。 ; Γ 士 � 6 反之 , 设 7 8动 Γ 士�6 当 。 三 ∗8 Υ %ς Π;时 , 。 Γ 告8) Ι Χ了而;, 其中 ) , Χ是奇偶性相同 的整数 , 于是 士卜 7 8Α ;一去8一“!卜 8叠8· Ι 。二;;8=8一 。二;卜 Α 8告8一 。二;;·因为 。 与 乙的奇偶性相同 , 所以 告8) 一 乙了不; 。 Β % 6 因此 。 。 州Β司 6 类似地 , 这个结论 对于 Υ 二 ! 或 8Υ % ς Π ;的情形也成立 6 8 ; 首先注 意 , 当 9( Ζ ∀ 时 , 对任意 Θ 〔瓜 , 有 7 8Θ; Τ ∀ 6 所以当 二 Ζ % 时 , 由8! ;可知 & 〔 Α 8凡” ;当且仅当 7 8。; Γ � 6 先设 。 Γ ) Ι Χ、厂工任 Β 一 ∗ 卜 � 三 8Υ % ς Π ;;6 如果 。 〔 口8Β 一 < ;, 那么 由 8! ;, 7 8。; Γ 0 , 即 ) , Ι Χ, Γ � , 所以 ) Γ ∀ , Χ Γ 士 � 或 Χ Γ ∀ , ) Γ 士� , 从而 。 Γ 士� 或 。 Γ 士云6 再设 、 Γ 告8) Ι Χ侧二万; 。 Α 8Β 一 ;, 其中 ) , Χ % Κ , 一 二 �8Υ % ς Π ;6 因 7 8。; Γ 0 , 即告8) , Ι Χ! ; Γ � , 所以 ) , Ι Χ! Γ Π , 从而 ) Γ 士� , Χ Γ 士� 或 ) Γ 土! , Χ Γ ∀ , 即 。 Γ 士告8�士了二百; 或 。 二 士] 最后设 二 Ζ ∀ , Υ 劣一 � , 一 , 9( 无平方因子 6 如果 。 三 ! 或 8Υ% ς Π;, 那么当 。任 Α 8Β 。; 时 , 。 Γ ) Ι Χ了于五, 7 8。; Γ ) , 一。Χ, Γ � , 所以 ) Γ 土 � , Χ Γ ∀ 6 因此 。 Γ 士� < 如果 。 三 �8Υ % ς Π ;, 那么对于 Α Γ 合8) Ι Χ了而; 任 Α 8瓜;8) 与崎偶性相同;, 7 8& ; Γ 爱8) , 一 Υ Χ, ;6 因为爪 三 ∗8 Υ %ς Π ;, 。 尹一 所以 9( ‘ 一9 6 再由 7 8司 Γ 去8) Ι Χ丫而;8) 一 Χ了不;, 二 无平方因子 , 得 ) Γ 士! , 乙Γ ∀ 6 因此 & Γ 士� 6 口 命题 : 8⊥ 3 ς 3 10( ς ) ( ς _ )4 43 , 见 【 」; 设 Υ 是一个无平方因子的整数 , Υ 笋。, � 6 如 果对于任意的非零元 Θ , , 〔 凡( , 只要 ⎯ 寸Θ 且 ϑ7 8Θ; �七 ϑ7 8&;Μ , 就有 。 , 。 任凡( , 使得 Θ 二 兴万Ν 并且 】7 8Θ 。 一 夕。;ϑΖ ϑ7 8, ;ϑ, 那么 月Υ 是一个主理想环 6 证明 设 Μ 尹 Η∀ϑ 是 Β 二 的任一理想 6 选取 加 〔 Μ , 使得 Λ7 8加 ;卜 Υ 0( ΗΗ7 8, 川% 尹 , 任 Μ ϑ6 如果对于某个 Θ 〔 Μ , 有 ⎯∀ 卞Θ , 那么 Θ 兴。, 并且 由 ⎯∀ 的取法知 Μ7 8加;Λ 三 Μ7 8劝ϑ6 由假 设 , 存在 。 , Ν 任 几Υ , 使得 Θ 二 笋加。并且 Λ7 8Θ 。 一 加。;ϑΖ ϑ7伽;ϑ, 8!; 因为 Θ , ⎯∀ 任 Μ , 而 Μ 是 月Υ 的一个理想 , 所以 翻 一 加 Ν 〔 � 6 这样一来 , 8! ;式与 ⎯∀ 的取 法矛盾 6 因此对任意的 Θ 任 Μ , 都应有 ⎯∀ 】Θ , 从而 Μ 是由 ⎯。 生成的一个主理想 6 口 张 家口师范专科学校学报 第 �� 卷 定理 � 代数整数环 Β 一 �。 是一个主理想环 6 证明 8∃ 6 5 6 α 0∗4 % ( , 见 βΠ ϑ; 因为 一 �� 三 �8Υ% ς Π ;, 所以Β ∴ �。 一 Η委8。 十 。了二丙;ϑ。 , 。。 Κ , 。与 。奇偶性相同ϑ 6 一 乙 对任意 Θ 任 Ω份匀万;, 有 7 8Θ; 全 ∀ 6 假设 Θ , ⎯ 任 Β 一 �� , , 寸Θ , 并且 7 8Θ; 七 7 8功, 我们希望 找到 。 , Ν 〔 Β 一 �� , 使得 Θ 二 旁夕Ν , 并且 7 8二。 一 夸。; Ζ 7 8, ;, 或等价地 7 88Θ 加;。 一 。; Ζ � 6 因 Θχ 。〔 Ω8训万百;, 所以可写 Θχ ⎯ Γ 8。 Ι Χ了二�百;χΦ , 其中 ) , Χ, 。是三个互素的整数 , 且 。 Τ � 6 考虑 以下四种情形 < 80; Φ Γ ! 6 此时因对。萝Β 一 � � , 。 与 Χ 的奇偶性相反 6 于是 。 Γ 告88。一 ∗; Ι Χ沪万百;任 Β 一 ��6 再取 。 二 � , 得 8Θχ 。;。 一 。 二 告, 并且 ∀ Ζ 7 咭; 二 去Ζ � 68��; 3 Γ 6 此时 寸) 或 寸Χ , 于是 ) , Ι 乙! 葬∀ 8Υ % ς ;6 因为 。! Ι �� #! 三 。! Ι #! 8Υ% ς ;, 所以可设 护 Ι ��Χ ! 二 . 十 < ,其 中 [ , ∋ 任 Κ 且 厂 Γ � 或 !6 令 。 Γ ) 一 乙诺万百, 。 Γ [ 6 那么 8二 χ、;二 一 Ν Γ 8) Ι Χ⎯住而;8) 一 Χ⎯住而;χ 一 。 Γ 8) , Ι � � #! ;χ 一 。Γ < χ , 而且 7 8∋χ ;二 合或 普·800 0; 。 二 Π 6 此时因 8) , Χ , Φ; 二 � 之故 , ) 和 Χ 不能都是偶数 6 如果 ) 与 Χ 的奇偶性 相反 , 那么 ) , Ι �� #! 三 ) , 一 #! 二 土08Υ % ς Π ;6 设 护 Ι � �Χ ! Γ Π[ Ι ∋ , 其中 [ , ∋ 〔 Κ 且 < Γ � 或 6 在这种情况 下 , 令 。 Γ ) 一 Χ甲二Μ百, 。 Γ 仇 则有 8Θ χ 。;。 一 。 二 ∋ χ Π , 它的范数为 壳或 矗6 如果 。 与 乙都是奇数 , 那么 。! Ι � � #! 二 ) , Ι #! 三 Π 8Υ% ς 4;, 并且可以写 ) , Ι � � #! Γ : ∀ � Ι Π 8。= 。 Κ ;6 此时取 。 Γ 告8) 一 Χ了二百;, 。 Γ 。� , 则有�8Θ χ “;δ] 一 ” 二 8) ‘ Ι � � Χ‘ ;χ > 一 [ ‘ Γ 万 它的范数为 毒680Ν ; 。 全 : 6 因 为 8) , Χ, 3; Γ � , 所以有 ς , 3 , + 任 , , 使得 ) ς Ι Χ3 Ι 3 + Γ � 6 用 。 去除 ) 3 一 � � Χς , 有 . , ∋ 任 , , 使得 ) 3 一 � � Χς Γ 5[ 十 叭 其中 】∋ ϑ三 Φχ ! 8这里允许 ∋ 为负整数;6 令 。 二 。 Ι ς寸二再 , 。 二 [ 一 了丫二�酉6 那么 8Θ χ , ;。 一 。 Γ 8) Ι Χ沪二,丽;83 Ι ς了二丽;χ 3 一 8。一 +侧二�百; Γ 8) 3 一 0� #ς 一 。3;χ 3 Ι 8) ς Ι Χ3 Ι 3 +;训二两χ 3 Γ 8< Ι 了二百;χ Φ , 第 期 寇福来 不是欧氏环的 主理怒环 并且 7 88∋ Ι 了二丁互;χ 3 ;Γ 8< ! Ι � � ;χ 3, 如果 。 Τ : , 那么 门了一� 一一��一 # Ζ � 6Ι �上工月任8< ! Ι �� ;χ 3 , 三 如果 。 Γ : , 那么 回 三 ! 6 于是 83 , χ Π Ι ��;χ 3 , Γ 8∋ ,玉匕军丝、 8Π 十 < � ;χ ! : 、 �5 石 以下用符号 Β 粼表示 瓜 中全体非零元素的集合 6 命题 # 如果 。 Γ , ! , 一 � , 一! , 一 , 一 9 或 一 �� , 那么代数整数环 凡 ( 是欧氏环 6 证明 分以下两种情况讨论 < 80; 。 Γ , ! , 一 � 或 一 ! 6 令 叻 < ∋ ε Λ7 8叫 8∋ 〔嵘;6 则 沪是 Β 氛到 自然数集 双 的一个映射 6 设 ) , Χ 〔 Β , , Χ 尹∀ , 那么 )χ Χ 任 Ω 8丫而;6 设 ) χ Χ Γ 4 Ι δ了不 84 , δ 任 Ω;6 取 Φ , ς % Κ , 使得 ∗4 一 Φ/ ‘告, Λ‘一 司兰告6 令 [ Γ 。Ι ς了蔽 , ∋ 二 。 一 匆6 那么 [ , < 。 Β δ( , 且 ) Γ Χ[ Ι ∋ 6 由于 ∋ χ Χ Γ ) χ Χ 一 口二 84 一 3 ;Ι 8亡一 ς;了而 , 所以 7 8< χ Χ; Γ 84 一 3;! 一 二8δ 一 ς;! 6 如果 二 Γ 一∗ 或 一! , 那么 ∀ 兰7 8< χ Χ;三 Ζ ∗Υ一Π一 曰工一吐� 如果 。 二 � 或 , 那么一方面 ! ∀# ∃ %& 三 ∀ ∋ 一 ·& � ∋ 叠 另一方面 ! ∀∋ ∃ %& 全一二∀亡一 即 一爱‘! ∀叮的兰毒( 总之 , 当 ) ∗ , � , 一 + , 一� 时 , 】! ∀∋ ∃ %& ,− + ( 所以在 . ∀了币& 中 , /! ∀∋ &∃! ∀%&0 − + , 从而在 凡1 中或 # ∗ 2 , 或 ,! ∀# &3 − 0! ∀%&0( 因此 凡 , 4 5 , 4 一 + , 4 一 � 是欧氏环 ( ∀++& 。 ∗ 一 , 一6 或 一 + + ( 此时令 沪∋ # 7 ! ∀劝 ∀∋ 任礁 & ( 则 价为 4 氛到 双 的一个映射 ( 设 8 , % 〔 /98 , % 尹 2 , 那么 8 ∃ % 任 . ∀了而& ( 假定 8 ∃ % ∗∗ 。 : 。了币 ∀。 , ; 〔 . & ( 取 < 2 = , 使得 0�; 一 司‘盖( 再取 。 。 = , 使得 3�> 一 ?/ 三 + , 且 。与 < 奇偶性相同 ( 令 ≅ 二 ∀。十 <了币&∃ � , 则因 。 三 Α∀ )2 < Β & 之故 , ≅ 任 凡1 ( 取 # ∗ 8 一 峋, 则有 8 ∗ 峋 : 仁 由于 张 家口 师范专科学校学报 第 �� 卷 ∋ ) 一、 � , 一 、 � ∴ 、 ∴ 6 、 一、= Γ 于一 [ Γ 8。 Ι Ν了。; 一 妥83 Ι ς了Υ ; Γ 云88!。 一 3; Ι 8, Ν 一 ς ;斌二;,Χ Χ ∗ 、 一 ’ 一 , 一 了 ! ‘ 一 ’ 一 ’ 一 ‘ ! 、 “一 所以 、汀 、 �,, 。 ∴ ∴ ∴ 、! ∴ 。 ∴ 6 ∃ 、! 、 ∴ ∗ χ , 。 、 ∴ ∴ � 。 ∴ Π 一 。 7 8, ; Γ 二 88,& 一 3 ∗‘ 一 Υ 8,& 一 ς ;‘飞8 二 8� 一 么卜一 一 Γ— 6一 、 Χ ‘ Π ‘ 、Ρ Ρ Ρ 一 ‘ 一 ‘Ρ Ρ 一 ‘ ’ 一 Π ‘一 Π ‘ Π �# � #因为 。 二 一 , 一9 或 一( , 所以 7 8叮的 Ζ � , 从而 7 8劝 Ζ 7 8的, 亦即 护 Γ ∀ 或 诚门 Ζ 拭句6 因此 Β 一 , Β 一 9 , Β 一 ∗ , 是欧氏环 6 口 定理 ! 设 9( 〔 Κ , 。 Ζ % , Υ 无平方因子 6 如果 。 笋一 ∗ , 一! , 一 , 一 9 , 一 ( , 那么代数 整数环 几Υ 不是欧氏环 6 证明 用反证法 6 如果 月Υ 是欧氏环 , 沪是相应的映射 , 那么 由例 � 和命题 !, 2( 笋一: , 所以 Υ 只能取 一# , 一 �∀ 或其他的 三 一 � 的无平方因子的负整数 6 由命题 Π , Β 二 不是域 , 从而可取 Χ 〔 Β 粼一 Α 8Β 二 ;8即 Χ 〔几氛而 Χ 彭Α 8瓜 ;;使得 拭Χ; 最小 , 即 沪8Χ; Γ Υ 0( Η价8Θ ;ϑΘ 〔 Β 粼一 Α8Β , ;ϑ 6 对任意的 ) 任 Β 。 , 因为 几Υ 是欧氏环 , 所以存在 [ , ∋ Φ Β 。 , 使得 ) Γ Χ[ Ι ∋ , 其中 ∋ 二 。或 拭叼 Ζ 叔句6 由 Χ 的取法知 护 Γ ∀ 或 < 〔 Α 8瓜;6 再 由命题 Π , ∋ Γ ∀ 或 < 二 士� , 即对任意 ) 任 Β , , 有 [ 〔 Β , , 使得 ) Γ Χ. 或 ) Γ Χ. 士 � , 所以 例) 或 酬8) 土 �; 6 特别地 , 取 ) 二 ! , 我们有 川! 或 川 8注意 Χ 杯Α扭Υ ;;6 我们说 ! 和 都是 凡 ( 中的不可约元 6 事实上 , 如果 。 三 ∗8 Υ% ς Π ;, 且 在 月Υ 中 可约 , 那么可写 Γ 88。 Ι Ν训不;χ ! ;88Θ Ι , 了不;χ ! ;, 其中 。 , Ν , Θ , , 任 Κ , 并且 8。 Ι 。了币;χ ! 和 8Θ Ι , 了而;χ ! 都不是 凡几 中的单位 , 于是 7 8 ; Γ ! Γ 88。! 一 。Ν , ;χ Π ;88Θ , 一 Υ Ν ,;χ Π ;6 由命题 Π , 注意到 二 Ζ ∀ , 所以在 , 中, 有 8。! 一 。Ν , ;χ Π Γ 8二 ! 一 。 , ! ;χ Π Γ , 即 & , 一 爪。! Γ Θ , 一 Υ , ! Γ � ! 6 因为 。 三 �8Υ% ς Π ;, 所以 二 尹 一# , 一 �∀ , 即 。 Ζ 一� 6 因此 8 ;式在 个矛 盾表明 是 凡介 中的不可约元 6 如果 Υ 二 ! 或 8Υ% ς Π ;, 并且 在 Β 二 中可约 , 那么 同样有 Β φ 一 Α 8Β 二;, 使得 Γ 8。 Ι 。了不;8Θ 十 夕了不;6 8 ; , 中不可能成立 6 这 。 十 Ν而 , 二 十 ⎯而 任 于是 7 84; Γ ! Γ 8。! 一 。Ν , ;8Θ , 一 。 , ! ;, 从而有 & , 一 饥”! Γ 工 ! 一 Υ , ! Γ 6 第 期 寇 福 来 不是欧氏环的主 理怒环 因为 。 Γ 一# , 一�∀ 或 Υ 兰 一 � , 所以上述方程不可能有整数解 6 因此 在 Β 。 中不可约 6 同理可证 ! 是 几Υ 中的不可约元 6 因此 乙Γ 土! 或 Χ 二 士γ 现在 , 对于 。 三 �8Υ % ς Π ;, 取 ) Γ 8� Ι 侧而;χ ! , 则 ) Ι � Γ 8 Ι 训而;χ ! , ) 一 � Γ 8一� Ι 训而;χ ! 6 容易看出 , 在 斤仇 中 ) 和 ) 士 � 都不能被 ! 或 整除 8因为 8� Ι 训不;χ Π 等都不属 于 凡 ( ;6 这与 列) 或 酬8) 上 ∗; 矛盾 6 如果 。 二 ! 或 8Υ% ς Π ;, 取 ) Γ � 十 丫而 , 那么类似地可知 ) 和 ) 士 ∗ 都不能被 ! 或 整除 , 这 又与 训) 或 酬8) 士 ∗; 矛 盾 6 因此 , 对于无平方因子的负整数 。 , 当 Υ 半 一� , 一 ! , 一 , 一9 , 一( 时 , 代数整数环 Β 。 不是欧氏环 6 口 推论 代数整数环 Β 一 �。不是欧氏环 6 口 关于代数整数环 Β 。 在什么情况 下是主理想环 , 在什么情况下是欧 氏环 , 迄今 已 知的结果有 <80; 关于虚二次数域 Ω8了而;8即 。 Ζ ∀; , 其代数整数环 凡 ( 是主理想环的只有 � 种 , 即 。 Γ 一 � , 一 ! , 一 , 一9 , 一� � , 一 � � , 一 Π , 一# 9 , 一� # , 其中前 : 种还是欧氏环 8取 叻8Θ ;Γ 7 8Θ ;;, 而后 Π 种则不是欧氏环 6 800 ; 关于 实二次数域 Ω 8训而;8即 二 Τ ∀; , 其代数整数环 Β 。 为欧氏环的只有 �# 种 8取 功8Θ ; Γ ϑ7 8Θ ;ϑ;, 即 。 Γ ! , , : , # , 9 , � � , � , � 9 , � � , ! � , ! � , , 9 , Π � , : 9 , 9 · 至于 实二次数域 Ω 8了而;的代数整数环 Μ−) 有多少个是主理想环 , 高斯 8η )& 44; 曾猜想有无限多个实二次数域 , 它们的代数整数环为主理想环 , 但这一猜想至今未能证实 6 φ 本文对文献 βΚ≅ 中的相关内容进行了编译和整理 , 并修改了其推导过程中的某些错误 6 参 考 文 献 � ! ι ) δ− 6 Π � � 9 6 张禾瑞 6 近世代数基础 Λι Λ6 北京 < 高等教育出版社 , � � 9 > 年修订本 6 ])∋ ∋⎯ 5 ·η ∋%Ν3 · ? ∗. 3 Χ ∋ )【ι」· 7 3 ϕ κ% ∋ 1 ] % ( ς % ( < ? 3)ς 3 Υ 03 Δ ∋34 4 , Μ(4 , �� > 6_ 6 Δ % ∗∗)∋ ς ) ( ς _ 6 η 6 ⊥ 0) Υ % ( ς 6 2 −3 2 −3% ∋⎯ % + ? ∗. 3 Χ ∋ ) 03 7 & ΥΧ 3∋ 4 βι Λ, ,( ς 3ς 6 5 )∋ & 4 ι % ( % . ∋ ) Δ −4 , 7 % · � , ι ) δ−3Υ ) δ03 ) ∗?4 4 % 3 0)δ 0% ( % + ? Υ 3 ∋ 03 ) , Ν陌‘− 0( . δ%马, ⊥ · 5 , � � 9 > · ∃ 6 5 6 α 0∗4% ( 6 ? Ε∋ 0( 30Ε)∗ 0ς 3 )∗ ∋ 0(. δ− ) δ �: ( % δ ) λ & 3∗0ς 3 ) ( ∋ 0( . 6 ι ) δ− 6 ι ). 6 Π # , Π 一 > , ? Δ ∋0( 30Ε) ∗ 0ς 3 )∗ ∋0( . δ−)δ �: ( % δ ) λ & 3∗0ς 3 ) ( ∋0( . μ % & ΞΑ ∗) 0 8ι ) δ−3 Υ )δ 034 ⊥ 3Δ δ = , −)( 幻0) 1 % & 23 ) 3− 3∋ 4 5 % ∗∗路3 , Κ −) ( 幻0) 1 % & , ∀ 9 : ∀ ! >; ? Χ 4δ ∋ ) 3 δ < 2 − 04 Ε) Ε3 ∋ 0(δ ∋ % ς & 334 δ−3 3Θ )Υ Ε∗3 4 δ−) δ ) Ε∋ 0( 30Ε)∗ 0ς 3 )∗ ∋ 0( . δ−)δ �: ( % δ ) λ & 3 ∗0ς 3) ( ∋ 0( . 6 μ 3 ⎯ ϕ% ∋ ς 4 < 0( δ3 . ∋ ) ∗ ς % Υ ) 0( = Ε∋ 0( 30Ε)∗ 0ς 3 ) ∗ ∋ 0( . = λ & 3 ∗0ς 3) ( ∋ 0( . = 0∋ ∋ 3ς & 3 0Χ∗3 = Ε ∋ 0Υ3 8贵任编辑 高亚 萍;