概率统计习题四及答案

1 习题四 1.设随机变量 X 的分布律为 X −1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求 E（X），E（X2），E（2X+3）. 【解】（1） 1 1 1 1 1( ) ( 1) 0 1 2 ; 8 2 8 4 2 E X = − × + × + × + × = （2） 2 2 2 2 2 1 1 1 1 5( ) ( 1) 0 1 2 ; 8 2 8 4 4 E X = − × + × + × + × = （3） 1(2 3) 2 ( ) 3 2 3 4 2 E X E X+ = + = × + = 2.已知 100 个产品中有 10 个次品，求任意取出的 5 个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的 5 个产品中的次品数为 X，则 X 的分布律为 X 0 1 2 3 4 5 P 5 90 5 100 C 0.583 C = 1 4 10 90 5 100 C C 0.340 C = 2 3 10 90 5 100 C C 0.070 C = 3 2 10 90 5 100 C C 0.007 C = 4 1 10 90 5 100 C C 0 C = 5 10 5 100 C 0 C = 故 ( ) 0.583 0 0.340 1 0.070 2 0.007 3 0 4 0 5E X = × + × + × + × + × + × 0.501,= 5 2 0 ( ) [ ( )]i i i D X x E X P = = −∑ 2 2 2(0 0.501) 0.583 (1 0.501) 0.340 (5 0.501) 0 0.432. = − × + − × + + − × = " 3.设随机变量 X 的分布律为 X −1 0 1 P p1 p2 p3 且已知 E（X）=0.1,E（X2）=0.9,求 P1，P2，P3. 【解】因 1 2 3 1P P P+ + = ……①, 又 1 2 3 3 1( ) ( 1) 0 1 0.1E X P P P P P= − + + = − =i i ……②, 2 2 2 2 1 2 3 1 3( ) ( 1) 0 1 0.9E X P P P P P= − + + = + =i i i ……③　 由①②③联立解得 1 2 30.4, 0.1, 0.5.P P P= = = 4.袋中有 N 只球，其中的白球数 X 为一随机变量，已知 E（X）=n，问从袋中任取 1 球为白 球的概率是多少？ 【解】记 A={从袋中任取 1 球为白球}，则 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 2 0 ( ) { | } { } N k P A P A X k P X k = = =∑ i全概率公式 0 0 1{ } { } 1 ( ) . N N k k k P X k kP X k N N nE X N N = = = = = = = = ∑ ∑ i 5.设随机变量 X 的概率密度为 f（x）= ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤≤− <≤ .,0 ,21,2 ,10, 其他 xx xx 求 E（X），D（X）. 【解】 1 22 0 1 ( ) ( )d d (2 )dE X xf x x x x x x x +∞ −∞= = + −∫ ∫ ∫ 21 3 3 2 0 1 1 1. 3 3 xx x ⎡ ⎤⎡ ⎤= + − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 22 2 3 2 0 1 7( ) ( )d d (2 )d 6 E X x f x x x x x x x +∞ −∞= = + − =∫ ∫ ∫ 故 2 2 1( ) ( ) [ ( )] . 6 D X E X E X= − = 6.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量 的数学期望. （1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ −4X. 【解】（1） [ ] (2 3 1) 2 ( ) 3 ( ) 1E U E X Y E X E Y= + + = + + 2 5 3 11 1 44.= × + × + = （2） [ ] [ 4 ] [ ] 4 ( )E V E YZ X E YZ E X= − = − , ( ) ( ) 4 ( )Y Z E Y E Z E X−i因 独立 11 8 4 5 68.= × − × = 7.设随机变量 X，Y 相互独立，且 E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求 E（3X −2Y）， D（2X −3Y）. 【解】（1） (3 2 ) 3 ( ) 2 ( ) 3 3 2 3 3.E X Y E X E Y− = − = × − × = （2） 2 2(2 3 ) 2 ( ) ( 3) 4 12 9 16 192.D X Y D X DY− = + − = × + × = 8.设随机变量（X，Y）的概率密度为 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 3 f（x，y）= ⎩⎨ ⎧ <<<< .,0 ,0,10, 其他 xyxk 试确定常数 k，并求 E（XY）. 【解】因 1 0 0 1( , )d d d d 1, 2 x f x y x y x k y k +∞ +∞ −∞ −∞ = = =∫ ∫ ∫ ∫ 故 k=2　 1 0 0 ( ) ( , )d d d 2 d 0.25 x E XY xyf x y x y x x y y +∞ +∞ −∞ −∞= = =∫ ∫ ∫ ∫ . 9.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 fX（x）= ⎩⎨ ⎧ ≤≤ ;,0 ,10,2 其他 xx fY（y）= ( 5)e , 5, 0, . y y− −⎧ >⎨⎩ 其他 求 E（XY）. 【解】方法一：先求 X 与 Y 的均值　 1 0 2( ) 2 d , 3 E X x x x= =∫ i 5( 5) 5 0 0 ( ) e d 5 e d e d 5 1 6.z yy z zE Y y y z z z +∞ +∞ +∞= −− − − −= + = + =∫ ∫ ∫令 由 X 与 Y 的独立性，得 2( ) ( ) ( ) 6 4. 3 E XY E X E Y= = × =i 方法二：利用随机变量函数的均值公式.因 X 与 Y 独立，故联合密度为 ( 5)2 e , 0 1, 5, ( , ) ( ) ( ) 0, , y X Y x x y f x y f x f y − −⎧ ≤ ≤ >= = ⎨⎩ i 其他 于是 1 1( 5) 2 ( 5) 5 0 0 5 2( ) 2 e d d 2 d e d 6 4. 3 y yE XY xy x x y x x y y +∞ +∞− − − −= = = × =∫ ∫ ∫ ∫i i 10.设随机变量 X，Y 的概率密度分别为 fX（x）= ⎩⎨ ⎧ ≤ >− ;0,0 ,0,2 2 x xxe fY（y）= ⎩⎨ ⎧ ≤ >− .0,0 ,0,4 4 y yye 求（1） E（X+Y）;（2） E（2X −3Y2）. 【解】 2 2 -200 0 ( ) ( )d 2e d [ e ] e dx x xXX xf x x x x x x +∞ +∞ +∞− − +∞ −∞= = −∫ ∫ ∫i 2 0 1e d . 2 x x +∞ −= =∫ 4 0 1( ) ( )d 4e dy . 4 y YE Y yf y y y +∞ +∞ − −∞= =∫ ∫ i 2 2 2 4 20 2 1( ) ( )d 4e d . 4 8 y YE Y y f y y y y +∞ +∞ − −∞= = = =∫ ∫ i 从而（1） 1 1 3( ) ( ) ( ) . 2 4 4 E X Y E X E Y+ = + = + = 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 4 （2） 2 2 1 1 5(2 3 ) 2 ( ) 3 ( ) 2 3 2 8 8 E X Y E X E Y− = − = × − × = 11.设随机变量 X 的概率密度为 f（x）= ⎪⎩ ⎪⎨⎧ < ≥− .0,0 ,0, 22 x xcx xke 求（1） 系数 c;（2） E（X）;（3） D（X）. 【解】（1） 由 2 2 20 ( )d e d 1 2 k x cf x x cx x k +∞ +∞ − −∞ = = =∫ ∫ 得 22c k= . （2） 2 22 0 ( ) ( )d( ) 2 e dk xE X xf x x x k x x +∞ +∞ − −∞= =∫ ∫ i 2 22 2 0 π2 e d . 2 k xk x x k +∞ −= =∫ （3） 2 22 2 2 2 20 1( ) ( )d( ) 2 e .k xE X x f x x x k x k +∞ +∞ − −∞= =∫ ∫ i 故 　 2 2 2 2 2 1 π 4 π( ) ( ) [ ( )] . 2 4 D X E X E X k k k ⎛ ⎞ −= − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 12.袋中有 12 个零件，其中 9 个合格品，3 个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取 出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量 X，求 E（X）和 D（X）. 【解】设随机变量 X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则 X 的可能取值为 0，1，2， 3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知 9{ 0} 0.750, 12 P X = = = 3 9{ 1} 0.204, 12 11 P X = = × = 3 2 9{ 2} 0.041, 12 11 10 P X = = × × = 3 2 1 9{ 3} 0.005. 12 11 10 9 P X = = × × × = 于是，得到 X 的概率分布表如下： X 0 1 2 3 P 0.750 0.204 0.041 0.005 由此可得 ( ) 0 0.750 1 0.204 2 0.041 3 0.005 0.301.E X = × + × + × + × = 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 750 1 0.204 2 0.041 3 0.005 0.413 ( ) ( ) [ ( )] 0.413 (0.301) 0.322. E X D X E X E X = × + × + × + × = = − = − = 13.一工厂生产某种设备的寿命 X（以年计）服从指数分布，概率密度为 f（x）= ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤ >− .0,0 ,0, 4 1 4 x x x e 为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备， 工厂获利 100 元，而调换一台则损失 200 元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利 Y 只有两个值：100 元和 −200 元　 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 5 / 4 1/ 4 1 1{ 100} { 1} e d e 4 xP Y P X x +∞ − −= = ≥ = =∫ 1/ 4{ 200} { 1} 1 e .P Y P X −= − = < = − 故 1/ 4 1/ 4 1/ 4( ) 100 e ( 200) (1 e ) 300e 200 33.64E Y − − −= × + − × − = − = （元）. 14.设 X1，X2，…，Xn 是相互独立的随机变量，且有 E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…， n，记 ∑ = = n i i SXn X 1 2,1 ，S2= ∑ = −− n i i XXn 1 2)( 1 1 . （1） 验证 )(XE =μ， )(XD = n 2σ ； （2） 验证 S2= )( 1 1 1 22∑ = −− n i i XnXn ； （3） 验证 E（S2）=σ2. 【证】（1） 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) . n n n i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n= = = ⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ ∑ i 2 2 1 1 1 1 1 1( ) ( ) n n n i i i i i i i D X D X D X X DX n n n= = = ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ ∑i之间相互独立 2 2 2 1 .n n n σσ= =i （2） 因 2 22 2 2 1 1 1 1 ( ) ( 2 ) 2 n n n n i i i i i i i i i X X X X X X X nX X X = = = = − = + − = + −∑ ∑ ∑ ∑ 2 22 2 1 1 2 n n i i i i X nX X nX X nX = = = + − = −∑ ∑i 故 22 2 1 1 ( ) 1 n i i S X nX n = = −− ∑ . （3） 因 2( ) , ( )i iE X u D X σ= = ,故 2 2 2 2( ) ( ) ( ) .i i iE X D X EX uσ= + = + 同理因 2 ( ) , ( )E X u D X n σ= = ,故 22 2( )E X u n σ= + . 从而 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 6 2 22 2 2 1 1 1 1( ) ( ) [ ( ) ( )] 1 1 n n i i i i E s E X nX E X nE X n n= = ⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥− −⎣ ⎦∑ ∑ 22 1 2 2 2 2 2 1 [ ( ) ( )] 1 1 ( ) . 1 n i i E X nE X n n u n u n n σσ σ = = −− ⎡ ⎤⎛ ⎞= + − + =⎢ ⎥⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎣ ⎦ ∑ i i 15.对随机变量 X 和 Y，已知 D（X）=2，D（Y）=3，Cov（X,Y）= −1, 计算：Cov（3X −2Y+1，X+4Y −3）.　 【解】Cov(3 2 1, 4 3) 3 ( ) 10Cov( , ) 8 ( )X Y X Y D X X Y D Y− + + − = + − 3 2 10 ( 1) 8 3 28= × + × − − × = − （因常数与任一随机变量独立，故 Cov（X,3）=Cov（Y,3）=0,其余类似）. 16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= 2 21 , 1, π 0, . x y⎧ + ≤⎪⎨⎪⎩ 其他 试验证 X 和 Y 是不相关的，但 X 和 Y 不是相互独立的. 【解】设 2 2{( , ) | 1}D x y x y= + ≤ . 2 2 1 1( ) ( , )d d d d π x y E X xf x y x y x x y +∞ +∞ −∞ −∞ + ≤ = =∫ ∫ ∫∫ 2π 1 0 0 1= cos d d 0. π r r rθ θ =∫ ∫ i 同理 E（Y）=0. 而 Cov( , ) [ ( )] [ ( )] ( , )d dX Y x E x y E Y f x y x y +∞ +∞ −∞ −∞= − −∫ ∫ i 2 2 2π 1 2 0 0 1 1 1d d sin cos d d 0 π πx y xy x y r r rθ θ θ + ≤ = = =∫∫ ∫ ∫ , 由此得 0XYρ = ,故 X 与 Y 不相关. 下面讨论独立性，当|x|≤1 时， 2 2 1 2 1 1 1 2( ) d 1 . π π x X x f x y x − − − = −∫ 当|y|≤1 时， 2 2 1 2 1 1 1 2( ) d 1 π π y Y y f y x y − − − = −∫ . 显然 ( ) ( ) ( , ).X Yf x f y f x y≠i 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 7 故 X 和 Y 不是相互独立的. 17.设随机变量（X，Y）的分布律为 −1 0 1 −1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 验证 X 和 Y 是不相关的，但 X 和 Y 不是相互独立的. 【解】联合分布表中含有零元素，X 与 Y 显然不独立，由联合分布律易求得 X，Y 及 XY 的 分布律，其分布律如下表 X −1 0 1 P 3 8 2 8 3 8 Y −1 0 1 P 3 8 2 8 3 8 XY −1 0 1 P 2 8 4 8 2 8 由期望定义易得 E（X）=E（Y）=E（XY）=0. 从而 E（XY）=E（X）·E（Y）,再由相关系数性质知 ρXY=0, 即 X 与 Y 的相关系数为 0，从而 X 和 Y 是不相关的. 又 3 3 1{ 1} { 1} { 1, 1} 8 8 8 P X P Y P X Y= − = − = × ≠ = = − = −i 从而 X 与 Y 不是相互独立的. 18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均 匀分布，求 Cov（X，Y），ρXY. 【解】如图，SD= 1 2 ，故（X，Y）的概率密度为 题 18 图 2, ( , ) , ( , ) 0, x y D f x y ∈⎧= ⎨⎩ 其他. X Y 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 8 ( ) ( , )d d D E X xf x y x y= ∫∫ 1 10 0 1d 2d 3 x x x y −= =∫ ∫ i 2 2( ) ( , )d d D E X x f x y x y= ∫∫ 1 1 20 0 1d 2 d 6 x x x y −= =∫ ∫ 从而 2 2 2 1 1 1( ) ( ) [ ( )] . 6 3 18 D X E X E X ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 同理 1 1( ) , ( ) . 3 18 E Y D Y= = 而 1 1 0 0 1( ) ( , )d d 2 d d d 2 d . 12 x D D E XY xyf x y x y xy x y x xy y −= = = =∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 所以 1 1 1 1Cov( , ) ( ) ( ) ( ) 12 3 3 36 X Y E XY E X E Y= − = − × = −i . 从而 1 Cov( , ) 136 2( ) ( ) 1 1 18 18 XY X Y D X D Y ρ − = = = − ×i 19.设（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= 1 π πsin( ), 0 , 0 , 2 2 2 0 . x y x y , ⎧ + ≤ ≤ ≤ ≤⎪⎨⎪⎩ 其他 求协方差 Cov（X，Y）和相关系数 ρXY. 【解】 π / 2 π / 2 0 0 1 π( ) ( , )d d d sin( )d . 2 4 E X xf x y x y x x x y y +∞ +∞ −∞ −∞= = + =∫ ∫ ∫ ∫ i π π 2 2 22 2 0 0 1 π π( ) d sin( )d 2. 2 8 2 E X x x x y y= + = + −∫ ∫ i 从而 2 2 2 π π( ) ( ) [ ( )] 2. 16 2 D X E X E X= − = + − 同理 2π π π( ) , ( ) 2. 4 16 2 E Y D Y= = + − 又 π / 2 π / 2 0 0 π( ) d sin( )d d 1, 2 E XY x xy x y x y= + = −∫ ∫ 故 2 π π π π 4Cov( , ) ( ) ( ) ( ) 1 . 2 4 4 4 X Y E XY E X E Y −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − − × = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠i 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 9 2 2 2 2 2 2 π 4 Cov( , ) (π 4) π 8π 164 . π π π 8π 32 π 8π 32( ) ( ) 2 16 2 XY X Y D X D Y ρ −⎛ ⎞−⎜ ⎟ − − +⎝ ⎠= = = − = −+ − + −+ −i 20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 41 11 ，试求 Z1=X −2Y 和 Z2=2X −Y 的相关 系数. 【解】由已知知：D（X）=1,D（Y）=4,Cov（X,Y）=1. 从而 1 2 ( ) ( 2 ) ( ) 4 ( ) 4Cov( , ) 1 4 4 4 1 13, ( ) (2 ) 4 ( ) ( ) 4Cov( , ) 4 1 4 4 1 4, D Z D X Y D X D Y X Y D Z D X Y D X D Y X Y = − = + − = + × − × = = − = + − = × + − × = 1 2Cov( , ) Cov( 2 , 2 )Z Z X Y X Y= − − 2Cov( , ) 4Cov( , ) Cov( , ) 2Cov( , ) 2 ( ) 5Cov( , ) 2 ( ) 2 1 5 1 2 4 5. X X Y X X Y Y Y D X X Y D Y = − − + = − + = × − × + × = 故 1 2 1 2 1 2 Cov( , ) 5 5 13. 26( ) ( ) 13 4Z Z Z Z D Z D Z ρ = = =×i 21.对于两个随机变量 V，W，若 E（V2），E（W2）存在， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ： ［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）. 这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy −Schwarz）不等式. 【证】令 2( ) {[ ] }, .g t E V tW t R= + ∈ 显然 2 2 2 20 ( ) [( ) ] [ 2 ]g t E V tW E V tVW t W≤ = + = + + 2 2 2[ ] 2 [ ] [ ], .E V t E VW t E W t R= + + ∀ ∈i i 可见此关于 t 的二次式非负，故其判别式 Δ≤0， 即 2 2 20 [2 ( )] 4 ( ) ( )E VW E W E V≥ Δ = − i 2 2 24{[ ( )] ( ) ( )}.E VW E V E W= − i 故 2 2 2[ ( )] ( ) ( )}.E VW E V E W≤ i 22.假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从参数 λ=1/5 的指数分布.设备定时开机，出现 故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机.试求该设备每次开机无故障 工作的时间 Y 的分布函数 F（y）. 【解】设 Y 表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间 X~E 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 10 （λ）,E（X）= 1 λ =5. 依题意 Y=min（X,2）. 对于 y<0,f（y）=P{Y≤y}=0. 对于 y≥2,F（y）=P（X≤y）=1. 对于 0≤y<2,当 x≥0 时，在（0,x）内无故障的概率分布为 P{X≤x}=1 −e −λx,所以 F（y）=P{Y≤y}=P{min（X,2）≤y}=P{X≤y}=1 −e −y/5. 23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装 有 3 件合格品.从甲箱中任取 3 件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数 Z 的数学期 望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【解】（1） Z 的可能取值为 0，1，2，3，Z 的概率分布为 3 3 3 3 6 C C{ } C k k P Z k − = = i , 0,1,2,3.k = Z=k 0 1 2 3 Pk 1 20 9 20 9 20 1 20 因此， 1 9 9 1 3( ) 0 1 2 3 . 20 20 20 20 2 E Z = × + × + × + × = （2） 设 A 表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有 3 0 ( ) { } { | } k P A P Z k P A Z k = = = =∑ i 1 9 1 9 2 1 3 10 . 20 20 6 20 6 20 6 4 = × + × + × + × = 24.假设由自动线加工的某种零件的内径 X（毫米）服从正态分布 N（μ,1），内径小于 10 或 大于 12 为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已 知销售利润 T（单位：元）与销售零件的内径 X 有如下关系 T= ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ >− ≤≤ <− .12,5 ,1210,20 ,10,1 X X X 若 若 若 问：平均直径 μ 取何值时，销售一个零件的平均利润最大？ 【解】 ( ) { 10} 20 {10 12} 5 { 12}E T P X P X P X= − < + ≤ ≤ − > { 10 } 20 {10 12 } 5 { 12 } (10 ) 20[ (12 ) (10 )] 5[1 (12 )] 25 (12 ) 21 (10 ) 5. P X u u P u X u u P X u u u u u u u u = − − < − + − ≤ − ≤ − − − > − = −Φ − + Φ − − Φ − − − Φ − = Φ − − Φ − − 故 2 / 2d ( ) 125 (12 ) ( 1) 21 (10 ) ( 1) 0( ( ) e ), d 2 xE T u u x u ϕ ϕ ϕ π −= − × − − − × − = 令 这里 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 11 得 2 2(12 ) / 2 (10 ) / 225e 21eu u− − − −= 　 两边取对数有 2 21 1ln 25 (12 ) ln 21 (10 ) . 2 2 u u− − = − − 解得 1 25 111 ln 11 ln1.19 10.9128 2 21 2 u = − = − ≈ （毫米）　 由此可得，当 u=10.9 毫米时，平均利润最大. 25.设随机变量 X 的概率密度为 f（x）= ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤≤ .,0 ,0, 2 cos 2 1 其他 πxx 对 X 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 π/3 的次数，求 Y2 的数学期望. （2002 研考） 【解】令 π1, , 3 ( 1,2,3,4) π0, 3 i X Y i ⎧ >⎪⎪= =⎨⎪ ≤⎪⎩ X . 则 4 1 ~ (4, )i i Y Y B p = = ∑ .因为 π π{ } 1 { } 3 3 p P X P X= > = − ≤ 及 π / 3 0 π 1 1{ } cos d 3 2 2 2 xP X x≤ = =∫ , 所以 1 1 1( ) , ( ) , ( ) 4 2, 2 4 2i i E Y D Y E Y= = = × = 2 21 1( ) 4 1 ( ) ( ) 2 2 D Y E Y EY= × × = = − , 从而 2 2 2( ) ( ) [ ( )] 1 2 5.E Y D Y E Y= + = + = 26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间 Ti（i=1,2）服从参数为 5 的指数分布， 首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工 作的总时间 T=T1+T2 的概率密度 fT（t），数学期望 E（T）及方差 D（T）. 【解】由题意知： 55e , 0, ( ) 0, 0 t i t f t t −⎧ ≥= ⎨ <⎩ . 因 T1,T2 独立，所以 fT（t）=f1（t）*f2（t）. 当 t<0 时，fT（t）=0; 当 t≥0 时，利用卷积公式得 5 5( ) 5 1 2 0 ( ) ( ) ( )d 5e 5e d 25 e t x t x t Tf t f x f t x x x t +∞ − − − − −∞= − = =∫ ∫i i 故得 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 12 525 e , 0, ( ) 0, 0. t T t t f t t −⎧ ≥= ⎨ <⎩ 由于 Ti ~E（5）,故知 E（Ti）= 1 5 ,D（Ti）= 1 25 　（i=1,2） 因此，有 E（T）=E（T1+T2）= 2 5 . 又因 T1,T2 独立，所以 D（T）=D（T1+T2）= 2 25 . 27.设两个随机变量 X，Y 相互独立，且都服从均值为 0，方差为 1/2 的正态分布，求随机变 量|X −Y|的方差. 【解】设 Z=X −Y，由于 2 21 1~ 0, , ~ 0, , 2 2 X N Y N ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 且 X 和 Y 相互独立，故 Z~N（0，1）. 因 2 2( ) ( ) (| | ) [ (| |)]D X Y D Z E Z E Z− = = − 2 2( ) [ ( )] ,E Z E Z= − 而 22 / 21( ) ( ) 1, (| |) | | e d 2π zE Z D Z E Z z z +∞ − −∞= = = ∫ 2 / 2 0 2 2e d π2π zz z +∞ −= =∫ ， 所以 2(| |) 1 π D X Y− = − . 28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为 p（0 −≤− ，U ，U 1,1 1,1 若 若 Y= ⎩⎨ ⎧ > ≤− .1,1 1,1 U ，U 若 若 试求（1）X 和 Y 的联合概率分布；（2）D（X+Y）. 【解】（1） 为求 X 和 Y 的联合概率分布，就要计算（X，Y）的 4 个可能取值（ −1, −1）, （ −1,1）,（1, −1）及（1,1）的概率. P{x= −1,Y= −1}=P{U≤ −1,U≤1} 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 14 1 1 2 d d 1{ 1} 4 4 4 x xP U − − −∞ −= ≤ − = = =∫ ∫ P{X= −1,Y=1}=P{U≤ −1,U>1}=P{∅ }=0, P{X=1,Y= −1}=P{U> −1,U≤1} 1 1 d 1{ 1 1} 4 4 xP U −= − < ≤ = =∫ 2 1 d 1{ 1, 1} { 1, 1} { 1} 4 4 xP X Y P U U P U= = = > − > = > =∫ . 故得 X 与 Y 的联合概率分布为 ( 1, 1) ( 1,1) (1, 1) (1,1) ( , ) ~ 1 1 10 4 2 4 X Y − − − −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . （2） 因 2 2( ) [( ) ] [ ( )]D X Y E X Y E X Y+ = + − + ,而 X+Y 及（X+Y）2 的概率分布相 应为 2 0 2 ~ 1 1 1 4 2 4 X Y −⎡ ⎤⎢ ⎥+ ⎢ ⎥⎣ ⎦ , 2 0 4 ( ) ~ 1 1 2 2 X Y ⎡ ⎤⎢ ⎥+ ⎢ ⎥⎣ ⎦ . 从而 1 1( ) ( 2) 2 0, 4 4 E X Y+ = − × + × = 2 1 1[( ) ] 0 4 2, 2 2 E X Y+ = × + × = 所以 2 2( ) [( ) ] [ ( )] 2.D X Y E X Y E X Y+ = + − + = 31.设随机变量 X 的概率密度为 f（x）= x−e 2 1 ，（ −∞ <