概率统计习题三及答案

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以 X 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出 X 和 Y 的联合分布律. 【解】X 和 Y 的联合分布律如表： 0 1 2 3 1 0 1 3 1 1 1 3C 2 2 2 8 × × =i 23 1 1 1C 3/ 82 2 2× × =i 0 3 1 8 0 0 1 1 1 1 2 2 2 8 × × = 2.盒子里装有 3 只黑球、2 只红球、2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只 数，以 Y 表示取到红球的只数.求 X 和 Y 的联合分布律. 【解】X 和 Y 的联合分布律如表： 0 1 2 3 0 0 0 2 2 3 2 4 7 C C 3 C 35 =i 3 1 3 2 4 7 C C 2 C 35 =i 1 0 1 1 2 3 2 2 4 7 C C C 6 C 35 =i i 2 1 1 3 2 2 4 7 C C C 12 C 35 =i i 3 1 3 2 4 7 C C 2 C 35 =i 2 P（0 黑,2 红,2 白） = 2 2 4 2 2 7 1C C / C 35 =i 1 2 1 3 2 2 4 7 C C C 6 C 35 =i i 2 2 3 2 4 7 C C 3 C 35 =i 0 3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 F（x，y）= ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤≤≤≤ .,0 2 0, 2 0,sinsin 其他 ππ yxyx 求二维随机变量（X，Y）在长方形域 ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ≤<≤< 36 , 4 0 πππ yx 内的概率. 【解】如图 π π π{0 , } (3.2) 4 6 3 P X Y< ≤ < ≤ 公式 π π π π π π( , ) ( , ) (0, ) (0, ) 4 3 4 6 3 6 F F F F− − + X Y X Y 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com π π π π π πsin sin sin sin sin 0 sin sin 0 sin 4 3 4 6 3 6 2 ( 3 1). 4 = − − + = − i i i i 题 3 图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ⎩⎨ ⎧ >>+− .,0 ,0,0,)43( 其他 yxA yxe 求：（1） 常数 A； （2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1） 由 -(3 4 ) 0 0 ( , )d d e d d 1 12 x y Af x y x y A x y +∞ +∞ +∞ +∞ + −∞ −∞ = = =∫ ∫ ∫ ∫ 得 A=12　 （2） 由定义，有 ( , ) ( , )d d y x F x y f u v u v−∞ −∞= ∫ ∫ (3 4 ) 3 4 0 0 12e d d (1 e )(1 e ) 0, 0, 0,0, y y u v x yu v y x− + − −⎧ ⎧ − − > >⎪= =⎨ ⎨⎩⎪⎩ ∫ ∫ 其他 （3） {0 1,0 2}P X Y≤ < ≤ < 1 2 (3 4 ) 3 8 0 0 {0 1,0 2} 12e d d (1 e )(1 e ) 0.9499.x y P X Y x y− + − − = < ≤ < ≤ = = − − ≈∫ ∫ 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ⎩⎨ ⎧ <<<<−− .,0 ,42,20),6( 其他 yxyxk （1） 确定常数 k； （2） 求 P{X＜1，Y＜3}； （3） 求 P{X<1.5}； （4） 求 P{X+Y≤4}. 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 【解】（1） 由性质有 2 4 0 2 ( , )d d (6 )d d 8 1,f x y x y k x y y x k +∞ +∞ −∞ −∞ = − − = =∫ ∫ ∫ ∫ 故 1 8 R = 　 （2） 1 3 { 1, 3} ( , )d dP X Y f x y y x−∞ −∞< < = ∫ ∫ 1 3 0 2 1 3(6 )d d 8 8 k x y y x= − − =∫ ∫ （3） 11.5 { 1.5} ( , )d d a ( , )d d x D P X f x y x y f x y x y < < = ∫∫ ∫∫如图 1.5 4 0 2 1 27d (6 )d . 8 32 x x y y= − − =∫ ∫ （4） 24 { 4} ( , )d d ( , )d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y + ≤ + ≤ = ∫∫ ∫∫如图b 2 4 0 2 1 2d (6 )d . 8 3 x x x y y −= − − =∫ ∫ 题 5 图 6.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为 fY（y）= ⎩⎨ ⎧ >− .,0 ,0,5 5 其他 yye 求：（1） X 与 Y 的联合分布密度；（2） P{Y≤X}. 题 6 图 【解】（1） 因 X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以 X 的密度函数为 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 1 , 0 0.2, ( ) 0.2 0, . X x f x ⎧ < <⎪= ⎨⎪⎩ 其他 而 55e , 0, ( ) 0, . y Y y f y −⎧ >= ⎨⎩ 其他 所以 ( , ) , ( ) ( )X Yf x y X Y f x f yi独立 5 51 5e 25e , 0 0.2 0, 0.2 0,0, y y x y− −⎧ ⎧× < < >⎪= =⎨ ⎨⎩⎪⎩ 且 其他. （2） 5( ) ( , )d d 25e d dy y x D P Y X f x y x y x y− ≤ ≤ = ∫∫ ∫∫如图 0.2 0.2-5 5 0 0 0 -1 d 25e d ( 5e 5)d =e 0.3679. x y xx y x−= = − + ≈ ∫ ∫ ∫ 7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 F（x，y）= ⎩⎨ ⎧ >>−− −− .,0 ,0,0),1)(1( 24 其他 yxyx ee 求（X，Y）的联合分布密度. 【解】 (4 2 )2 8e , 0, 0,( , )( , ) 0, x y x yF x yf x y x y − +⎧ > >∂= = ⎨∂ ∂ ⎩ 其他. 8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= 4.8 (2 ), 0 1, 0 , 0, . y x x y x− ≤ ≤ ≤ ≤⎧⎨⎩ 其他 求边缘概率密度. 【解】 ( ) ( , )dXf x f x y y +∞ −∞= ∫ x 2 0 4.8 (2 )d 2.4 (2 ), 0 1, = 0, .0, y x y x x x⎧ ⎧− − ≤ ≤⎪ =⎨ ⎨⎩⎪⎩ ∫ 其他 ( ) ( , )dYf y f x y x +∞ −∞= ∫ 1 2 y 4.8 (2 )d 2.4 (3 4 ), 0 1, = 0, .0, y x x y y y y⎧ − ⎧ − + ≤ ≤⎪ =⎨ ⎨⎩⎪⎩ ∫ 其他 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 题 8 图 题 9 图 9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ⎩⎨ ⎧ <<− .,0 ,0, 其他 e yxy 求边缘概率密度. 【解】 ( ) ( , )dXf x f x y y +∞ −∞= ∫ e d e , 0, = 0, .0, y x x y x +∞ − −⎧ ⎧ >⎪ =⎨ ⎨⎩⎪⎩ ∫ 其他 ( ) ( , )dYf y f x y x +∞ −∞= ∫ 0 e d e , 0, = 0, .0, y y xx y y− −⎧ ⎧ >⎪ =⎨ ⎨⎩⎪⎩ ∫ 其他 题 10 图 10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ⎩⎨ ⎧ ≤≤ .,0 ,1, 22 其他 yxycx （1） 试确定常数 c； （2） 求边缘概率密度. 【解】（1） ( , )d d ( , )d d D f x y x y f x y x y +∞ +∞ −∞ −∞∫ ∫ ∫∫如图 2 1 1 2 -1 4= d d 1. 21x x cx y y c= =∫ ∫ 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 得　 21 4 c = . （2） ( ) ( , )dXf x f x y y +∞ −∞= ∫ 2 1 2 42 2121 (1 ), 1 1,d 84 0, 0, . x x x xx y y ⎧⎧ − − ≤ ≤⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪⎩ ⎩ ∫ 其他 ( ) ( , )dYf y f x y x +∞ −∞= ∫ 5 2 2 21 7d , 0 1, 4 2 0, 0, . y y x y x y y− ⎧⎧ ≤ ≤⎪ ⎪= =⎨ ⎨⎪ ⎪⎩ ⎩ ∫ 其他 11.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ⎩⎨ ⎧ <<< .,0 ,10,,1 其他 xxy 求条件概率密度 fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）. 题 11 图 【解】 ( ) ( , )dXf x f x y y +∞ −∞= ∫ 1d 2 , 0 1, 0, . x x y x x− ⎧ = < <⎪= ⎨⎪⎩ ∫ 其他 1 1 1d 1 , 1 0, ( ) ( , )d 1d 1 , 0 1, 0, . y Y y x y y f y f x y x x y y − +∞ −∞ ⎧ = + − < <⎪⎪⎪= = = − ≤ <⎨⎪⎪⎪⎩ ∫ ∫ ∫ 其他 所以 | 1 , | | 1,( , )( | ) 2 ( ) 0, . Y X X y xf x yf y x x f x ⎧ < <⎪= = ⎨⎪⎩ 其他 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com | 1 , 1, 1 ( , ) 1( | ) , 1, ( ) 1 0, . X Y Y y x y f x yf x y y x f y y ⎧ < <⎪ −⎪⎪= = − < <⎨ +⎪⎪⎪⎩ 其他 12.袋中有五个号码 1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为 X，最大 的号码为 Y. （1） 求 X 与 Y 的联合概率分布； （2） X 与 Y 是否相互独立？ 【解】（1） X 与 Y 的联合分布律如下表 3 4 5 { }iP X x= 1 3 5 1 1 C 10 = 3 5 2 2 C 10 = 3 5 3 3 C 10 = 6 10 2 0 3 5 1 1 C 10 = 3 5 2 2 C 10 = 3 10 3 0 0 2 5 1 1 C 10 = 1 10 { }iP Y y= 110 3 10 6 10 （2） 因 6 1 6 1{ 1} { 3} { 1, 3}, 10 10 100 10 P X P Y P X Y= = = × = ≠ = = =i 故 X 与 Y 不独立　 13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 2 5 8 0.4 0.8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 （1）求关于 X 和关于 Y 的边缘分布； （2） X 与 Y 是否相互独立？ 【解】（1）X 和 Y 的边缘分布如下表　 2 5 8 P{Y=yi} 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.8 0.05 0.12 0.03 0.2 { }iP X x= 0.2 0.42 0.38 Y X X Y X Y 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com （2） 因 { 2} { 0.4} 0.2 0.8P X P Y= = = ×i 0.16 0.15 ( 2, 0.4),P X Y= ≠ = = = 故 X 与 Y 不独立.　 14.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为 fY（y）= ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ >− .,0 ,0, 2 1 2/ 其他 yye （1）求 X 和 Y 的联合概率密度； （2） 设含有 a 的二次方程为 a2+2Xa+Y=0，试求 a 有实根的概率. 【解】（1） 因 1, 0 1, ( ) 0,X x f x < <⎧== ⎨⎩ 其他; 21 e , 1,( ) 2 0, y Y yf y −⎧ >⎪== ⎨⎪⎩ 其他. 故 / 21 e 0 1, 0, ( , ) , ( ) ( ) 2 0, . y X Y x y f x y X Y f x f y −⎧ < < >⎪= ⎨⎪⎩ i独立 其他 题 14 图 （2） 方程 2 2 0a Xa Y+ + = 有实根的条件是 2(2 ) 4 0X YΔ = − ≥ 故 X2≥Y， 从而方程有实根的概率为： 2 2{ } ( , )d d x y P X Y f x y x y ≥ ≥ = ∫∫ 21 / 2 0 0 1d e d 2 1 2 [ (1) (0)] 0.1445. x yx y π −= = − Φ − Φ = ∫ ∫ 15.设 X 和 Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设 X 和 Y 相互独立，且服 从同一分布，其概率密度为 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com f（x）= ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > .,0 ,1000,10002 其他 x x 求 Z=X/Y 的概率密度. 【解】如图,Z 的分布函数 ( ) { } { }Z XF z P Z z P z Y = ≤ = ≤ （1） 当 z≤0 时， ( ) 0ZF z = （2） 当 0 = = = = + = =∑ ∑ 0,1,2,3,i = 于是 U=min（X,Y） 0 1 2 3 P 0.28 0.30 0.25 0.17 （4）类似上述过程，有 W=X+Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05 20.雷达的圆形屏幕半径为 R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布. （1） 求 P{Y＞0｜Y＞X}； （2） 设 M=max{X，Y}，求 P{M＞0}. 题 20 图 【解】因（X，Y）的联合概率密度为 2 2 2 2 1 , , ( , ) π 0, . x y R f x y R ⎧ + ≤⎪= ⎨⎪⎩ 其他 （1） { 0, }{ 0 | } { } P Y Y XP Y Y X P Y X > >> > = > 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 0 ( , )d ( , )d y y x y x f x y f x y σ σ >> > = ∫∫ ∫∫ π 2π / 4 0 5 π 4 2π / 4 0 1d d π 1d d π R R r r R r r R θ θ = ∫ ∫ ∫ ∫ 3 / 8 3 ; 1/ 2 4 = = （2） { 0} {max( , ) 0} 1 {max( , ) 0}P M P X Y P X Y> = > = − ≤ 0 0 1 31 { 0, 0} 1 ( , )d 1 . 4 4x y P X Y f x y σ ≤≤ = − ≤ ≤ = − = − =∫∫ 21.设平面区域 D 由曲线 y=1/x 及直线 y=0，x=1,x=e2 所围成，二维随机变量（X，Y） 在区域 D 上服从均匀分布，求（X，Y）关于 X 的边缘概率密度在 x=2 处的值为多少？ 题 21 图 【解】区域 D 的面积为 2 2e e 0 11 1 d ln 2.S x x x = = =∫ （X,Y）的联合密度函数为 21 1, 1 e ,0 , ( , ) 2 0, . x y f x y x ⎧ ≤ ≤ < ≤⎪= ⎨⎪⎩ 其他 （X，Y）关于 X 的边缘密度函数为 1/ 2 0 1 1d , 1 e , ( ) 2 2 0, . x X y x f x x ⎧ = ≤ ≤⎪= ⎨⎪⎩ ∫ 其他 所以 1(2) . 4X f = 22.设随机变量 X 和 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于 X 和 Y 的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. y1 y2 y3 P{X=xi}=pi x1 1/8 Y X 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com x2 1/8 P{Y=yj}=pj 1/6 1 【解】因 2 1 { } { , }j j i j i P Y y P P X x Y y = = = = = =∑ , 故 1 1 1 2 1{ } { , } { , },P Y y P X x Y y P X x Y y= = = = + = = 从而 1 1 1 1 1{ , } . 6 8 24 P X x Y y= = = − = 而 X 与 Y 独立，故 { } { } { , }i j i iP X x P Y y P X x Y y= = = = =i , 从而 1 1 1 1 1{ } { , } . 6 24 P X x P X x Y y= × = = = = 即： 1 1 1 1{ } / . 24 6 4 P X x= = = 又 1 1 1 1 2 1 3{ } { , } { , } { , },P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y= = = = + = = + = = 即 1, 3 1 1 1 { }, 4 24 8 P X x Y y= + + = = 从而 1 3 1{ , } . 12 P X x Y y= = = 同理 2 1{ } , 2 P Y y= = 2 2 3{ , } 8P X x Y y= = = 又 3 1 { } 1j j P Y y = = =∑ ,故 3 1 1 1{ } 1 6 2 3P Y y= = − − = . 同理 2 3{ } . 4 P X x= = 从而 2 3 3 1 3 1 1 1{ , } { } { , } . 3 12 4 P X x Y y P Y y P X x Y y= = = = − = = = − = 故 1y 2y 3y { }i iP X x P= = 1x 1 24 1 8 1 12 1 4 2x 1 8 3 8 1 4 3 4 { }j jP Y y p= = 16 1 2 1 3 1 23.设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 λ（λ>0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概 Y X 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 率为 p（0⎩ 1 , 0 3, ( ) 3 0, 0, 3. y f y y y ⎧ ≤ ≤⎪= ⎨⎪ < >⎩ 因为 X，Y 相互独立，所以 1 , 0 3,0 3, ( , ) 9 0, 0, 0, 3, 3. x y f x y x y x y ⎧ ≤ ≤ ≤ ≤⎪= ⎨⎪ < < > >⎩ 推得 1{max{ , } 1} 9 P X Y ≤ = . 26. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com −1 0 1 −1 0 1 a 0 0.2 0.1 b 0.2 0 0.1 c 其中 a,b,c 为常数，且 X 的数学期望 E（X）= −0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5，记 Z=X+Y.求： （1） a,b,c 的值； （2） Z 的概率分布； （3） P{X=Z}. 解 （1） 由概率分布的性质知， a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由 ( ) 0.2E X = − ，可得 0.1a c− + = − . 再由 { 0, 0} 0.1{ 0 0} 0.5 { 0} 0.5 P X Y a bP Y X P X a b ≤ ≤ + +≤ ≤ = = =≤ + + , 得 0.3a b+ = . 解以上关于 a，b，c 的三个方程得 0.2, 0.1, 0.1a b c= = = . （2） Z 的可能取值为−2，−1，0，1，2， { 2} { 1, 1} 0.2P Z P X Y= − = = − = − = ， { 1} { 1, 0} { 0, 1} 0.1P Z P X Y P X Y= − = = − = + = = − = ， { 0} { 1, 1} { 0, 0} { 1, 1} 0.3P Z P X Y P X Y P X Y= = = − = + = = + = = − = ， { 1} { 1, 0} { 0, 1} 0.3P Z P X Y P X Y= = = = + = = = ， { 2} { 1, 1} 0.1P Z P X Y= = = = = ， 即 Z 的概率分布为 Z −2 −1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 （3） { } { 0} 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.4P X Z P Y b= = = = + + = + + = . X Y 圣 才 统 计 学 习 网 w ww .1 00 0t j. co m 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才统计学习网 www.1000tj.com 圣才学习网 www.100xuexi.com