第七章 图形的变换与坐标第32课 平移与旋转1．平移的性质：图形经过平移后，对应点所连的线段__________(或在一条直线上)，对应线段__________(或在一条直线上)，对应角________．一、考点知识，2．图形经过旋转后，对应点旋转的角度都________，旋转方向都相同，对应点到旋转中心的距离________，对应线段________，对应角________．平行且相等3．平移和旋转都不改变图形的________和________．平行且相等相等相等相等相等相等形状大小【例1】如图，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，若AB＝8，BC－AD＝，求cosC的值．【考点1】平移的性质二、例题与变式解：如图①，将AB平移到DE的位置，则AB∥DE,且AB=DE=8,∴AD=BE，且∠B=∠DEC,即BC－AD=BC－BE=EC=,∵∠B+∠C=90°,∴∠DEC+∠C=90°,∠EDC=90°.∴CD=,∴cosC=.【变式1】如图，AB＝AD，AD∥BC，AC平分∠BCD，AB⊥AC，求∠B的度数．解：如图②，将AB平移到DE的位置，则AB∥DE,∠B=∠DEC,AB=DE.∵AB⊥AC,∴DE⊥AC.∵AC平分∠BCD,∴∠BCA=∠ACD=∠DAC.∴AD=DC.∴∠DEC=∠EDC,∴EC=DC.∴EC=DC=DE,即△DEC为等边三角形.∴∠B=∠DEC=60°.【考点2】旋转的性质【例2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将△ABC绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C，若B′恰好落在线段AB上，AC，A′B′交于O点．求∠COA′的度数．解：∵∠ACB＝90°，∠B＝50°，∴∠A=∠A′=40°.∵将△ABC绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C，∴CB=CB′,∠B＝∠BB′C=50°.∴∠BCB′=∠ACA′=80°.∴∠COA′=180°－80°－40°=60°.【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(3，0)，B(0，4)，把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，求点B′的坐标．解：∵A(3，0)，B(0，4)，∴OA=3，OB=4.∵线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，AB=AB′=5,∴OB′=8,∴点B′的坐标为（8，0）.【考点3】平移和旋转的画图【例3】在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)．(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位长度，画出平移后得到的△A1B1C1；(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2，C2的坐标．解：（1）图略.（2）图略，B2(4，－2），C2(1，－3）．【变式3】如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2)．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形；(2)平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为(2，－2，－6)，请画出平移后对应的△A2B2C2的图形．解：（1）图略.（2）图略.A组1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(3，2)，B(3，5)，C(1，2)．把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上．(1)旋转角为多少度？(2)写出点B2的坐标．三、过关训练解:（1）∵旋转后点C的对应点C2在AB上，∴旋转角即∠CAC2＝∠CAB＝90°.（2）由旋转性质可知∠BAB2＝∠CAC2＝90°，∴点C,A,B2在一条直线上，且AB2＝AB.∵点A(3，2)，点C(1，2)，点B(3，5)，∴AB2＝AB＝5－2＝3，且点B2的纵坐标为2，∴点B2的坐标为(6，2).B组2．两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F.已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，求CF的长．解：∵将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，∴DC＝AC，∠D＝∠CAB.∴∠D＝∠DAC.∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，∴∠D＝∠CAB＝60°.∴∠DCA＝60°.∴∠ACF＝30°.可得∠AFC＝90°，∵AB＝8cm，∴AC＝4cm，∴FC＝4cos30°＝(cm)．3．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图1，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证:△BPE≌△CQE；(2)如图2，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ.
证明
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：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC.∵AP＝AQ，∴BP＝CQ.∵E是BC的中点，∴BE＝CE.在△BPE和△CQE中，∵BE＝CE，∠B＝∠C,BP＝CQ,∴△BPE≌△CQE(SAS).(2)连接PQ.∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°.∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，∴∠BEP＝∠EQC.∴△BPE∽△CEQ.C组4．(1)如图1，在等边三角形ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN.求证：∠ABC＝∠ACN；(2)如图2，在等边三角形ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．证明：∵△ABC,△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN.∠BAC＝∠MAN＝60°.∴∠BAM＝∠CAN.∵在△BAM和△CAN中，AB=AC,∠BAM＝∠CAN，AM＝AN，∴△BAM≌△CAN(SAS).∴∠ABC＝∠ACN.(2)解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN.∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN.∵在△BAM和△CAN中，AB=AC，∠BAM＝∠CAN，AM＝AN，∴△BAM≌△CAN(SAS)，∴∠ABC＝∠ACN.
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