高中数学数列知识点

数列1、数列中an与Sn之间的关系：anS1,(n1)SnSn1,(n注意通项能否合并。2).2、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即an－an1=d，（n≥2，n∈N），那么这个数列就叫做等差数列。⑵等差中项：若三数a、A、b成等差数列abA2⑶通项公式：ana1(n1)dam(nm)d或anpnq(p、q是常数）.⑷前n项和公式：Snna1nn1na1an2d2⑸常用性质：①若mnpqm,n,p,qN，则amanapaq；②下标为等差数列的项ak,akm,ak2m,，仍组成等差数列；③数列anb（,b为常数）仍为等差数列；④若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kanpbn}(k、p是非零常数)、{apnq}(p,qN*)、，也成等差数列。⑤单调性：an的公差为d，则：ⅰ）d0an为递增数列；ⅱ）d0an为递减数列；ⅲ）d0an为常数列；⑥数列{an}为等差数列anpnq（p,q是常数）⑦若等差数列an的前n项和S，则S、S2kSk、S3kS2k是等差数列。nk3、等比数列⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。⑵等比中项：若三数a、G、b成等比数列G2ab,（ab同号）。反之不一定成立。⑶通项公式：ana1qn1amqnm⑷前n项和公式：Sna11qna1anq1q1q⑸常用性质①若mnpqm,n,p,qN，则amanapaq；②,,,为等比数列，公比为qk下标成等差数列则对应的项成等比数列akakmak2m(),③数列an（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；正项等比数列an；则lgan是公差为lgq的等差数列；④若an是等比数列，则can，an2，1，ananr(rZ)是等比数列，公比依次是q，q21r.，，qq⑤单调性：a10,q1或a10,0q1an为递增数列；a10,0q1或a10,q1an为递减数列；q1an为常数列；q0an为摆动数列；⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。⑦若等比数列an的前n项和Sn，则Sk、S2kSk、S3kS2k是等比数列.4、非等差、等比数列通项公式的求法类型Ⅰ观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。类型Ⅱ公式法：若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列an的通项an可用公式anS1,(n1)构造两式作差求解。SnSn1,(n2)用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和an合为一个表达，（要先分n1和n2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。类型Ⅲ累加法：形如an1anf(n)型的递推数列（其中f(n)是关于n的函数）可构造：anan1f(n1)an1an2f(n2)...a2a1f(1)将上述n1个式子两边分别相加，可得：anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和.类型Ⅳ累乘法：形如an1anf(n)an1f(n)型的递推数列（其中f(n)是关于n的函数）可构ananf(n1)an1an1f(n2)造：an2...a2f(1)a1将上述n1个式子两边分别相乘，可得：anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。类型Ⅴ构造数列法：㈠形如an1panq（其中p,q均为常数且p0）型的递推式：1）若p1时，数列{an}为等差数列;2）若q0时，数列{an}为等比数列;（3）若p1且q0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：法一：设an1p(an),展开移项整理得an1pan(p1),与 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 设an1panq比较系数（待定系数法）得q,(p0)an1qp(anq)anqp(an1q),即p1p1p1p1p1anqqp为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公构成以a1为首项，以p1p1式求出anq的通项整理可得an.p1法二：由an1panq得anan1anp,即pan1q(n2)两式相减并整理得an1anan1an构成以a2a1为首项，以p为公比的等比数列.求出an1an的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出an.㈡形如an1panf(n)(p1)型的递推式：⑴当f(n)为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设anAnBpan1A(n1)B，通过待定系数法确定A、B的值，转化成以a1AB为首项，以p为公比的等比数列anAnB，再利用等比数列的通项公式求出anAnB的通项整理可得an.法二：当f(n)的公差为d时，由递推式得：an1panf(n)，anpan1f(n1)两式相减得：an1anp(anan1)d，令bnan1an得：bnpbn1d转化为类型Ⅴ㈠求出bn，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出an.⑵当f(n)为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设anf(n)pan1f(n1)，通过待定系数法确定的值，转化成以a1f(1)为首项，以p为公比的等比数列anf(n)，再利用等比数列的通项公式求出anfnan.()的通项整理可得法二：当f(n)的公比为q时，由递推式得：an1panf(n)——①，anpan1f(n1)，两边同时乘以q得anqpqan1qf(n1)——②，由①②两式相减得an1anqp(anqanan1qanp，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出an.1)，即qan1an法三：递推公式为an1panqn（其中p，q均为常数）或an1panrqn（其中p，q,r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以qn1an1pan1，，得：qn1?qnqq引入辅助数列bn（其中bnan），得：bn1pbn1再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。qnqq⑶当f(n)为任意数列时，可用通法：在an1panf(n)两边同时除以pn1可得到an1anf(n)anbn，则pn1pnpn1，令pnbn1bnf(n)npn1，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出bn之后得anpbn.类型Ⅵ对数变换法：形如an1paq(p0,an0)型的递推式：在原递推式an1paq两边取对数得lgan1qlganlgp，令bnlgan得：bn1qbnlgp，化归为an1panq型，求出bn之后得an10bn.（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）。类型Ⅶ倒数变换法：形如an1anpan1an（p为常数且p0）的递推式：两边同除于an1an，转化为11p形式，化归为an1panq型求出1的表达式，再求an；anan1an还有形如an1man的递推式，也可采用取倒数方法转化成1m1m形式，化归panqan1qanp为an1panq型求出1的表达式，再求an.an类型Ⅷ形如an2pan1qan型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列{anan1}的形式求解。方法为：设an2kan1h(an1kan)，比较系数得hkp,hkq，可解得h、k，于是{an1kan}是公比为h的等比数列，这样就化归为an1panq型。总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式an.5、非等差、等比数列前n项和公式的求法⑴错位相减法①若数列an为等差数列，数列bn为等比数列，则数列anbn的求和就要采用此法.②将数列anbn的每一项分别乘以bn的公比，然后在错位相减，进而可得到数列anbn的前n项和.此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法.⑵裂项相消法c(a,b1,b2,c为常数）时，往往可将一般地，当数列的通项an(anb1)(anb2)an变成两项的差，采用裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：设an，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得anb1anb2c，从而可得b2b1cc11=().(anb1)(anb2)(b2b1)anb1anb2常见的拆项公式有：①11)11；n(nnn1②1111);(2n1)(2n1)2(12n2n1③1b1(ab);aab④Cnm1Cnm1Cnm;nn!(n1)!n!.⑶分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.⑷倒序相加法如果一个数列an，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：a1ana2an1...⑸记住常见数列的前n项和：①123...n(n1)n;2②135...(2n1)n2;③122232...n21n(n1)(2n1).6