第四章整环里的因子分解

第四章整环里的唯一分解概述：本章主要讨论与因子分解有关的问题，我们知道在整数环里有唯一分解定理，即任何大于1的整数皆可唯一的写成一些素数的乘积.在这一章我们要看一看，在一个抽象的环里这个定理是否成立；但由于在一个一般的环里去研究这个问题有相当的困难，所以我们仅把整数中的因子分解的概念推广到一般的整环中.本章中的环I均 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示整环，I的单位元均记为1，I中的非零元记为II\{0}.第一节素元、唯一分解基本概念：整除，单位、相伴元，平凡因子、真因子、素元，唯一分解.重点、难点:唯一分解.正文定义4.1.1：整环I中的可逆元称为I的一个单位(Unit）.注1：单位与单位元是两个概念，单位元一定是单位，而单位未必是单位元.注2：整环I中的全体单位关于I的乘法构成一个Abel群,称为I的单位群，记为U(I).定义4.1.2：我们说，整环I的一个元a可以被I的元b整除，假如在I里找得出元c，使得a=bc.假如a能被b整除，我们说b是a的因子，并且用符号b|a来表示，否则用ba来表示.定义4.1.3：元b叫做元a相伴元，假如b=εa,其中ε是I的一个单位.定义4.1.4：单位以及元a的相伴元叫做a的平凡因子，其余的a的因子，叫做真因子.定义4.1.5：整环I的一个元p叫做一个素元，假如p既不是零元，也不是单位，并且p只有平凡因子.定理4.1.1：两个单位ε和ε′的乘积εε′也是一个单位，单位ε的逆ε-1也是一个单位.定理4.1.2：单位同素元p的乘积p也是一个素元.证明：(1)0,p0p0;(2)p不是单位.1若不然，‘I使得1‘(p)(‘)pp是单位与p是素元矛盾.(3)p只有平凡因子.定理4.1.3：整环中一个不等于零的元a有真因子的充分而且必要条件是：abc，b,c都不是单位元.证明：()a有真因子bU(I)使得ba且b不是a的相伴元.cI使得abc.若cU(I),则a与b是相伴关系，故cU(I).()假定abc，b,cU(I)b不是a的相伴元，否则babcc1cU(I),矛盾.故a有真因子.定义4.1.6：我们说，一个整环I的一个元a在I里有唯一分解，假如以下条件能被满足：(1)app,其中p(i1,r)是I中的素元;1ri(2)若又有aqq,其中q(j1,s)是I中的素元，1sj那么rs且pq,i1,,r,其中i,,i是1,,n的一个排列.iii1rj例：设Z[3]{ab3a,bZ},则(1)Z[3]是整环.(2)U(Z[3]){1,1}设ab3U(Z[3]),则'Z[3]使得1'.则1'2(a23b2)'2a23b21a1,b01.(3)Z[3],若2＝4，则为素元.(4)13都不是2的相伴元.(5)422(13)(13)是4在Z[3]中两种不同的分解.作业：1．设I刚好包含所有复数abi(a,b是整数)的整环.证明5不是I的素元.5有没有唯一分解？第二节唯一分解环2基本概念：唯一分解环，唯一分解环的性质.公因子、最大公因子，最大公因子的存在性.重点、难点:唯一分解环.正文定义4.2.1：整环I叫做一个唯一分解环(UFD),如果I的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解.定理4.2.1：唯一分解环有以下性质：(3)若一个素元pab,那么pa或pb.证明：当a,b中有一个是零或是单位时，定理显真.现设a,b皆非零元，也非单位.pababpc,c0,c也非单位.(否则若c是单位，则pc是素元与pc可写成两个非单位的元之积矛盾)于是cppp,诸p皆素元.又令aqqq,bq'q'q',诸qq'皆素元.12ni12r12sj,k于是qqqq'q'q'＝pppp.12r12s12n由分解唯一性知p是某个q或q的相伴元,如qp,则pa；如q'p则pb.ij11推论：在一个UFD中，若素元paaa,则p必整除某一个a.12ni定理4.2.2：若整环I满足：(1)I\U(I)中每一个元均有一个分解式；(2)若p是I的素元,则必有pabpa或pb,a,bI.那么I一定是唯一分解环.定义4.2.2：假定d,a,aI,如果da,i1,,n,则称d为a,,a的一个1ni1n公因子；假定d为a,,a的一个公因子,若a,,a的每一个公因子都能整除d，1n1n则称d为a,,a的一个最大公因子.1n定义4.2.3：假定a,aI,如果a,,a在I中的最大公因子是单位，则称1n1na,a互素.1n定理4.2.3：假定I是唯一分解环,a,bI,那么有3(1)在I中,a和b有最大公因子；(2)若d,d均为a和b的最大公因子，则d,d是相伴关系.作业：1.假定I是一个整环,(a)和(b)是I的两个主理想证明：.(a)(b)当且仅当b是a的相伴元的时候.2．证明：10不是唯一分解环.第三节主理想环基本概念：：主理想环，主理想和极大理想、主理想环与唯一分解环的关系.重点、难点:主理想、极大理想.正文定义4.3.1：如果整环I中的每一个理想都是主理想，则称I是一个主理想环，记为P.I.D.例1：整数环(Z,,,0,1)是主理想环.证明：设（{0}）A是Z的理想，记A中的最小正整数为a,则(a)A.另一方面，若mA,m(a),则am,设mase,0ra,则rmasA此与a的最小性矛盾，故A(a).从而A(a).例2：F是域，则(F[x],,,0,1)是主理想环.证明：设（{0}）A是F[x]的理想，记A中次数最低的多项式为f(x),则(f(x))A.另一方面，若g(x)A,g(x)(f(x)),则f(x)g(x),设g(x)f(x)u(x)v(x),(v(x))(f(x))而v(x)A此与f(x)次数最小矛盾.故A(f(x)),从而A(f(x)).引理4.3.1：设(I,,,0,1)是一个PID,则I中的每一个真因子序列一定是有限序列.即若序列a,a,,(aI)中每一个元素都是前面一个元的真因子，则12i该列一定是有限序列.证明：由于aa，所以(a)(a)i1i12令A(a)，则A是I的一个理想.事实上：rI,ra(a)A.iiia,bAi,j(不妨设ij)使得a(a),b(a)a(a)(a)ijij4ab(a)A.j而I是PID，则存在dI,使得A(d).而dA(a)，ii则n使得d(a)，我们断言，a为序列中的最后一个，如若不然，设还有nn一个a使得a为a的真因子.由于n1n1nd(a),a(d)ad,daaann1nn1nn1又aa，则a是a相伴关系，这与a为a的真因子矛盾.n1nnn1n1n故原结论成立.引理4.3.2：设(I,,,0,1)是一个PID,p是I中的素元，则(p)为I的极大理想.证明：设A(a)是I的理想，(p)(A)Ip(a)ap.ap是p的相伴元(a)p(a)p矛盾.a是单位1A(a)=I.故(p)为I的极大理想.定理4.3.1：设(I,,,0,1)是一个PID,则I是UFD.证明：(1)aI\U(I),a一定有分解式事实上，若.a是素元，则不用再证.现设a有真因子，abc若b,c皆素元，则不用再证.对a的不是素元的真因子重复上面的讨论过程，这样的分解过程经有限步后必终止（否则会得到无穷序列a,a,a,L后面的元是前面一个元的真因子，这与I是PID的前提矛盾）,此时12已把a分解成有限个素元之积.(2)设素元pab,于是在I中有ab0ab但I是域.因此ppa0或b0ap或bppa或pb.由定理4.2.2知I是UFD.注：定理的逆不成立.例如¢[x]是UFD但不是PID.作业：证明：一个主理想环的非零最大理想都是由一个素元所生成的.5第四节欧氏环基本概念：欧氏环的定义，欧氏环和主理想环的关系.重点、难点:欧氏环.正文定义4.4.1：设I是整环，若(1)存在映射:In:n0.(2)a,bI,a0,则存在q,rI使bqar,其中r0或(r)(a).则称I是一个欧氏环(E.D.).例1．整环(,,,0,1)是一个欧氏环.证明：令:;aaa,a.则是一个映射,且a,b,一定存在q,r使得baqr,r0或(r)ra(a).故(,,,0,1)是一个欧氏环.例2．数域F上的多项式环(F[x],,,0,1)是一个欧氏环.例3．Gauss整数环([i],,,0,1)是欧氏环.证明：易证([i],,,0,1)是整环.令:[i]\{0};abiaa2b2，则是一个映射.设abi[i]\{0},cdi[i]，kli,k,l，则存在k',l'使得11kk',ll'.226令k'l'i[i],，则.2若0,则（）＝（－）＝（）－1＝(kk'2ll'2)()().2因此([i],,,0,1)是欧氏环.定理4.4.1：任何一个欧氏环一定是一个主理想环，因而一定是一个唯一分解环.证明：设A{0}是欧氏环I的一个理想,是欧氏环的映射.令aA使（a）=min{(x)x(0)A}，则A(a).事实上,bA,q,rI使得bqar,r0或（r）<(a),rA.若r0则与（a）的最小性矛盾.故r=0,b=qa(a).注：定理4.4.1的逆不真，P.I.D未必是欧氏环.如191复数域的子环Raba,b是一个P.I.D但不是欧氏环.2定理4.4.2：(,,,0,1)是欧氏环,从而是唯一分解环.引理4.4.1：假定I[x]是整环I上的一元多项式，I[x]的元g(x)axnaxn1Laxann110的最高系数aU(I),那么对f(x)I[x],存在q(x),r(x)I[x]使得nf(x)q(x)g(x)r(x),其中r(x)0或r(x)的次数小于g(x)的次数n.定理4.4.3：域F上的一元多项式环F[x]是一个欧氏环.证明：显然F[x]是一个整环，令：F[x];f(x)adeg(f(x)),f(x)F[x].7则是一个映射.g(x)F[x],f(x)F[x],g(x)0g(x)的最高项系数a0,而aF,则a可逆.nnn由引理4.4.1可知，q(x),r(x)F[x]使得f(x)q(x)g(x)r(x),其中r(x)0或r(x)的次数小于g(x)的次数n.即r(x)0或(r(x))(g(x)).故F[x]是唯一分解环.作业：1.下列环是否是欧氏环，并证明之：(1)2ab2a,b.(2)3ab3a,b.2.证明：一个域一定是一个欧氏环.附注本章中介绍的几种常见的整环之间有如下的关系图：整环①UFD②PID③ED④域⑤3其中，例①可取；例②可取[x]；119例③可取；2例④可取或数域F上的一元多项式环F[x]；8例⑤可取有理数域、实数域、复数域等．第五节多项式环的因子分解基本概念：本原多项式的定义及其引理.重点、难点:多项式的可约性判断.正文设I为U.F.D，I[x]为F上的一元多项式环，则有如下简单事实：(1)U(I[x])U(I),且I[x]为整环;(2)I[x]中多项式f(x)称为本原多项式，如果f(x)系数的最大公因子是单位.(3)若本原多项式f(x)可约,则f(x)g(x)h(x),g(x),h(x)I[x]且degf(x)degg(x)0.(4)f(x)g(x)h(x)是本原的g(x)和h(x)均是本原的;(5)f(x)I[x],若degf(x)0,则f(x)是本原的f(x)U(I[x]).引理4.5.1:设是I的商域,0f(x)[x],则b(1)f(x)f(x),a,bI,f(x)是I[x]中的本原多项式;a00bd(2)若f(x)f(x)g(x),a,b,c,dI,f(x),g(x)均为I[x]中的本原a0c000多项式，则U(I)U(I[x])使得f(x)g(x).00引理4.5.2:假设f(x)是I[x]中的一个本原多项式,f(x)在I[x]中可约的充分00必要条件是f(x)在Q[x]中可约，其中Q为I的商域.0引理4.5.3:I[x]的任一个次数大于零的本原多项式f(x)在I[x]里有唯一分解.定理4.5.1:若I是U.F.D,则I[x]也是U.F.D.定理4.5.2:若I是U.F.D,则I[x,x,L,x]也是U.F.D.,其中x,x,L,x是12n12nI上的无关未定元.作业：91．假定I[x]是整环I上的一元多项式环.f(x)属于I[x]但不属于I,并且f(x)的最高系数是I的一个单位.证明：f(x)在I[x]里有分解.2.设p为素数,(x)xp1xp2Lx1,判断(x)在上是否可约.第六节因子分解与多项式的根基本概念：多项式的根、重根、导数；重根的判别定理.重点、难点:多项式和多项式的根.正文定义4.6.1:设f(x)I[x],如果存在aI使得f(a)0,则称a是f(x)的根.定理4.6.1:假定I是整环,f(x)I[x],aI,那么a是f(x)的根的充分必要条件是(xa)f(x).定理4.6.2：f(x)I[x],a,a,L,a是I中k个不同的元素,则12ka,a,L,a均是f(x)的根(xa)L(xa)f(x).12k1k推论：若f(x)是I[x]中的n次多项式,则f(x)在I中至多有n个根.定义4.6.2:aI,f(x)I[x],如果k1,使得(xa)kf(x),则称a为f(x)的一个重根.定理4.6.3：设f(x)I(x),aI,那么a为f(x)的重根(xa)f'(x).推论：若I为U.F.D.,f(x)I[x],aI,那么a为f(x)的重根(xa)能整除f(x)与f'(x)的最大公因子.作业：1.假定I是模16的剩余类环.I[x]的多项式x2在I里有多少个根？2.假定F是模3的剩余类环,我们看F[x]的多项式f(x)x3x.证明：10f(a)0,不管a是F的哪一个元.11