中考数学一轮复习课件第4章三角形第18课《三角形相似》（含答案）

第四章三角形第18课三角形相似1．相似三角形的判定：(1)如图，若DE∥BC(A型和X型)则△ADE∽__________．(2)两个角对应相等的两个三角形__________．(3)两边对应成__________且夹角________的两个三角形相似．(4)三边对应成比例的两个三角形__________．一、考点知识，2.相似三角形的性质：(1)对应角________，对应边的比等于________，周长的比等于________，面积的比等于__________.(2)三条平行线截两条直线，所得对应线段__________.△ABC相似比例相等相似相等相似比相似比相似比的平方成比例【例1】如图，在△ABC中，CD是边AB上的高且CD2＝AD·DB.(1)求证：△ACD∽△CBD；(2)求∠ACB的度数．【考点1】相似三角形的判定与性质二、例题与变式证明：（1）∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°.∵CD2=AD·DB，∴.∴△ADC∽△CDB.（2）由（1）,得△ADC∽△CDB，∴∠ACD=∠B.∵∠B+∠DCB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，即∠ACB=90°.【变式1】如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4，求线段CD的长．解：在△ABD和△ACB中，∠ABD=∠C，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB.∴.∵AB=6，AD=4，∴AC=.∴CD=AC－AD=9－4=5.【考点2】相似三角形的判定【例2】如图，在矩形ABCD中，沿直线MN对折，使A，C重合，直线MN交AC于点O.求证：△COM∽△CBA.证明：A与C关于直线MN对称，∴AC⊥MN，∴∠COM=90°.在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠COM=∠B.又∵∠ACB=∠ACB，∴△COM∽△CBA.【变式2】如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E.求证：△ADE∽△CDF.证明：∵CD是⊙O的直径，∴∠DFC=90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD∥BC.∴∠ADF=∠DFC=90°，∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥DC.∴∠EDC=90°.∴∠ADF=∠EDC=90°.∴∠ADE=∠CDF.∵∠A=∠C，∴△ADE∽△CDF.【考点3】相似三角形的判定与性质【例3】如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC边上，顶点E，H分别在AB，AC上，BC＝40cm，AD＝30cm.(1)求证：△AEH∽△ABC；(2)求这个正方形的边长与面积．解：(1)证明：∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC.∴△AEH∽△ABC.（2）解：设AD与EH交于点M，∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四边形EFDM是矩形.∴EF=DM.设正方形EFGH的边长为x，∴AM=30－x.∵△AEH∽△ABC，∴.∴.∴x=.∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2【变式3】如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若正方形的边长为4，求BG的长．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°.∵AE=ED，∴.∵DF=DC，∴.∴.∴△ABE∽△DEF.（2）解：∵四边形ABCD为正方形，∴ED∥BG.∴△EDF∽△GCF.∴.∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，即.∴CG=6.∴BG=BC+CG=10.A组1．如图，在△ABC中，DE∥BC，,则△ADE与△ABC的面积之比为________．三、过关训练3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，求证：△ABC∽ADE.2．如图，点P是▱ABCD的边AB上一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有________对．1∶93证明：∵∠C=90°DE⊥AB,∴∠C=∠DEA,∵∠A=∠A,∴△ABC∽△ADE.4．如图，△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC.(1)求证：△BDF∽△CEF；(2)若BF＝a，求BD，EC的长．证明：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，∴∠BDF=∠CEF=90°.∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°.∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，∴△BDF∽△CEF.（2）解：∵BF=，∴FC=.∵∠B=60°，∠BDF=90°∴∠BFD=30°.∴BD=BF=.∵△BDF∽△CEF，∴，∴CE=BD=.B组5．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G.(1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长．证明：（1）∵AB∥FC，∴∠ADE=∠CFE.又∵∠AED=∠CEF，DE=FE,∴△ADE≌△CFE（ASA）.（2）解：∵△ADE≌△CFE，∴AD=CF.∵AB∥FC，∴∠GBD＝∠GCF，∠GDB＝∠GFC.∴△GBD∽△GCF.∴又∵GB＝2，BC＝4，BD＝1，代入,,得CF＝3=AD.∴AB＝AD+BD=3+1=4.6．如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB＝6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)求AC的长．证明：（1）连接OD，∵BD是⊙O的切线，∴OD⊥BD.∵AC⊥BD，∴OD∥AC.∴∠DAC=∠ODA.∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA.∴∠OAD=∠DAC，即AD平分∠BAC.（2）解：∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC.∴.∴.解得AC=.C组7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．(1)求线段CD的长；(2)设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ∶S△ABC＝9∶100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10.∵CD⊥AB，∴S△ABC=BC·AC=AB·CD.∴CD=.∴线段CD的长为4.8.（2）存在.理由如下：过点P作PH⊥AC，垂足为H，由题可知DP=t，CQ=t，则CP=4.8－t.∵∠ACB=∠CDB=90°，∴∠HCP=90°－∠DCB=∠B.∵PH⊥AC,∴∠CHP=90°．∴∠CHP=∠ACB.∴△CHP∽△BCA.∴.∴.∴PH=.∴S△CPQ=CQ×PH=×t()=(0≤t≤4.8）.存在某一时刻t，使得S△CPQ:S△ABC=9∶100，∵S△ABC=×6×8=24，且S△CPQ∶S△ABC=9∶100，∴（）∶24=9∶100，整理,得5t2－24t+27=0，即(5t－9)(t－3)=0.解得t=或t=3.∵0≤t≤4.8，∴当t=秒或t=3秒时，S△CPQ∶S△ABC=9∶100.