第五章 四边形第26课 正方形1.正方形的定义：有一组邻边__________且有一个角__________的平行四边形是正方形．一、考点知识，2．正方形的性质：正方形既是__________________的矩形，又是__________________的菱形，因此，它既有__________的性质，又有________的性质．相等是直角有一组邻边相等有一个角是直角矩形菱形3．正方形的判定：(1)有__________________的矩形是正方形．(2)有________________的菱形是正方形．(3)对角线______________________的四边形是正方形．(4)对角线________________的矩形是正方形．(5)对角线__________________的菱形是正方形．一组邻边相等一个角是直角互相垂直平分且相等互相垂直相等【例1】如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE，求证：BE＋DF＝AE.【考点1】正方形的性质二、例
题
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与变式
证明
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：延长CB到G，使GB=DF，连接AG，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB.∴△ADF≌△ABG.∴∠AFD=∠G，∠GAB=∠DAF=∠EAF.又∵AB∥CD,∴∠AFD=∠EAF+∠BAE=∠GAB+∠BAE=∠GAE.∴∠G=∠GAE.∴AE=GE=GB+BE=DF+BE.【变式1】如图，已知点E为正方形ABCD的边BC上一点，连接AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，延长DG交AB于点F，求证：BF＝CE.证明：在正方形ABCD中，∠DAF=∠ABE=90°，DA=AB=BC，∵DG⊥AE，∴∠FDA+∠DAG=90°.又∵∠EAB+∠DAG=90°，∴∠FDA=∠EAB.在Rt△DAF与Rt△ABE中，DA=AB，∠FDA=∠EAB，∴Rt△DAF≌Rt△ABE.∴AF=BE.又AB=BC，∴BF=CE.【考点2】正方形的判定【例2】如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A，C两点作l1∥l2，作BM⊥l2于点M，DN⊥l2于点N，直线MB，DN分别交l1于G，P点，求证：四边形PGMN是正方形．证明：l1∥l2，BM⊥l1，DN⊥l2，∴∠GMN=∠P=∠N=90°，∴四边形PGMN为矩形.∵AB=AD，∠M=∠N=90°,∠ADN+∠NAD=90°，∠NAD+∠BAM=90°，∴∠ADN=∠BAM.又∵AD=BA，∴Rt△ABM≌Rt△DAN（HL），∴AM=DN.同理AN=DP.∴AM+AN=DN+DP，即MN=PN．∴四边形PGMN是正方形．【变式2】已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CFDE是正方形．证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DFC=90°，∠DEC=90°.又∵∠ACB=90°，∴四边形DECF是矩形.∵DE=DF，∴矩形DECF是正方形．【考点3】正方形的综合应用【例3】如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC,点E在BF上，且AE＝AC，CF∥AE，求∠BCF的度数．解：过点A作AO⊥FB的延长线于点O，连接BD，交AC于点Q，∵四边形ABCD是正方形，∴BQ⊥AC.∵BF∥AC，∴AO∥BQ,且∠QAB=∠QBA=45°.∴AO=BQ=AQ=AC，∵AE=AC，∴AO=AE.∴∠AEO=30°.∵BF∥AC，∴∠CAE=∠AEO=30°.∵BF∥AC，CF∥AE，∴∠CFE=∠CAE=30°.∵BF∥AC，∴∠CBF=∠BCA=45°.∴∠BCF=180°－∠CBF－∠CFE=180°－45°－30°=105°.【变式3】已知：如图，在正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于点G，DG交OA于点F，求证：OE＝OF.证明：在正方形ABCD中，对角线是垂直平分的，所以AO=OD，AC垂直BD,∠AFG=∠OFD（对顶角），DG垂直AE，所以∠AFG+∠GAF=∠AEO+∠GAF,得∠OFD=∠AEO，△DOF≌△AOE.所以OE=OF.A组1．顺次连接正方形四边中点所得的四边形一定是( )A．正方形 B．矩形C．菱形D．等腰梯形三、过关训练3．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为( )2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( )A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形D．当AC＝BD时，它是正方形ADBB组4．如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D(5，3)在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，求旋转后点D的对应点D′的坐标．解：∵点D（5，3）在边AB上，∴BC=5，BD=5－3=2，①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，所以，D′(－2，0），②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以，D′(2，10），综上所述，点D′的坐标为(2，10）或(－2，0）．5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，求CH的长．解：连接AC,CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，CF=，∠ACD=∠GCF=45°.∴∠ACF=90°.由勾股定理，得AF=.∵H是AF的中点,∴CH=AF=12×=.C组6．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连接NP，BP.(1)求证：四边形BMNP是平行四边形；(2)线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C，在△ABM和△BCP中，∴△ABM≌△BCP（SAS）.∴AM=BP，∠BAM=∠CBP.∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠CBP+∠AMB=90°.∴AM⊥BP.∵将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，∴AM⊥MN，且AM=MN.∴MN∥BP.∴四边形BMNP是平行四边形.AB=BC,∠ABC=∠C,BM=CP.（2）解：BM=MC．理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，∴∠BAM=∠CMQ.又∵∠ABC=∠C=90°，∴△ABM∽△MCQ.∴.∵△MCQ∽△AMQ.∴△AMQ∽△ABM.∴.∴.∴BM=MC.(2)线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．
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