第四章三角形第21课 几种重要的线(段)1．角平分线：如图1，(1)∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝__________．(2)∵PD＝__________，PD⊥OA，PE⊥OB，∴点P在∠AOB的平分线上．一、考点知识，2．线段的垂直平分线：如图2，(1)∵直线PO是线段AB的垂直平分线，∴PA＝________．(2)∵PA＝________，∴点P在线段AB的垂直平分线上．PEPEPBPB3．直角三角形斜边的中线：如图3，∠ACB＝90°，CD为斜边的中线，则CD与AB的数量关系是________．4．三角形中位线的性质：如图4，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥________，DE＝________BC.BC【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5cm，求EF的长．【考点1】中位线的性质，直角三角形斜边的中线二、例题与变式解：∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，CD=5cm，∴AB=2CD=10cm.∵E，F分别是BC，CA的中点，∴EF=AB=5.【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，F在CA的延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝6，AB＝8，求四边形AEDF的周长．解：在Rt△ABC中，AC=6，AB=8，根据勾股定理求出BC=10.再根据三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线性质求出DE=AC=3和AE=BC=5.由已知可判定四边形AEDF是平行四边形，从而求得四边形AEDF的周长=2×（3+5）=16.【考点2】角平分线的性质【例2】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E,若AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积．解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE.∵CD=3，∴DE=3.（2）在Rt△ABC中，由勾股定理,得AB=.∴△ADB的面积为S=AB×DE=×10×3=15.【变式2】如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，求△BCE的面积．解：过点E作EF⊥BC交BC于点F,根据角平分线的性质可得DE=EF=2.所以△BCE的面积等于×BC×EF=×5×2=5.【考点3】直角三角形斜边的中线，垂直平分线【例3】如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM.(1)求证：EF＝AC.(2)若∠BAC＝45°，求线段AM，DM，BC之间的数量关系．解：（1）证明：∵CD=CB，点E为BD的中点，∴CE⊥BD，∠AEC=90°.又∵点F为AC的中点，∴EF=AC.（2）解：∵∠BAC=45°，CE⊥BD，∴△AEC是等腰直角三角形.∵点F为AC的中点，∴EF垂直平分AC，∴AM=CM.∵CD=CM+DM=AM+DM，CD=CB，∴BC=AM+DM.【变式3】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，且BE平分∠ABC，F为BC中点，BE与DF，CD分别交于点G，H.求证：(1)BH＝AC；(2)BG2－GE2＝EA2.证明：(1)∵CD⊥AB，∴∠BDC=∠CDA=90°.∵∠ABC=45°，∴∠BCD=∠ABC=45°.∴BD=CD，∵∠ABE+∠A=∠ACD+∠A=90°，∴∠ABE=∠ACD.∴△DBH≌△DCA.∴BH=AC.（2）连接GC，在Rt△CGE中，∴CG2－GE2=EC2，∵F为BC中点，BD=CD，∴DF垂直平分BC.∴BG=CG.由BE平分∠ABC，BE⊥AC，易证EC=EA，∴BG2－GE2=EA2.A组1．如图，等腰三角形ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为________．三、过关训练3．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.(1)这个中点四边形EFGH的形状是__________；(2)请证明(1)的结论．2．如图，∠ABC＝50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是__________．13115°平行四边形证明：连接AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC.综上所述，EF∥HG.故四边形EFGH是平行四边形.B组4．如图：已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB点于点E，点D为垂足，连接EC.(1)求∠ECD的度数；(2)若CE＝8，求BC长．解：（1）∵DE是AC的垂直平分线，∴EC=EA，∴∠ECD=∠A=36°.（2）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=(180°－36°)=72°，∵∠BEC是△AEC的外角，∴∠BEC=36°+36°=72°.∴∠BEC=∠B.∴BC=CE=8.5．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于点F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG.求证：EG＝CG.证明：∵EF⊥BD，∴△DEF为直角三角形.∵G为DF中点，∴EG=DF，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），在正方形ABCD中，∠BCD=90°，又G为DF中点，∴CG=DF.∴EG=CG.6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB＝5，求线段DE的长．解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE.∴∠BAD＝∠ADE.∴AE＝DE.∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°.∴∠BAD＋∠ABD＝90°.∵∠ADE＋∠BDE＝∠ADB＝90°.∴∠ABD＝∠BDE.∴DE＝BE，∵AB＝5，∴DE＝BE＝AE＝AB＝2.5.C组7．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D,E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F,G为EF的中点，连接DG，求DG的长．解：连接DE，∵等边三角形ABC的边长为4，D,E分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC，DE=AC=2，CE=BC=2.又∵EF⊥AC.∴DE⊥EF，∴∠DEG=90°.在Rt△ECF中，EF=ECsin60°=，∴EG=，在Rt△DEG中，DG=
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