求数列通项公式的几种方法摘要：本文通过几个最新的具体的高考实例分别介绍了高中阶段求数列通项公式的几种不同方法。1•观察法即归纳推理，就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通向公式，然后利用数学归纳法加以证明即可。例1.设ai=1,an4=.an2-2an2b(nN).(I)若b=1，求a2,a3及数列｛an｝的通项公式.解：由题意可知：&=1=•.1-1•1,a2=.a12—2a121=2=.2-11,a3=.a22-2a221—21=.3-11.因此猜想an=.n-11.下面用数学归纳法证明上式.当n=1时，结论显然成立.假设当n=k时结论成立，即a^.k-11,贝Uakak2-2ak21—(ak-1)211=(k-1)11=.(kT)-11,即当n=k+1时结论也成立.由(1)、(2)可知，对于一切正整数n，都有an=U=1+1(n^N*)•点评：采用数学归纳法证明是理科教学
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，较为容易，好掌握。2.定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。例2.(2015年北京文科)已知等差数列订鳥满足a1a^10,a4-a3=2.(I)求gn?的通项公式；(H)设等比数列也』满足b2=a3,d=a7，问：与数列的第几项相等?解：(I)设等差数列1的公差为d.因为a4-a3=2，所以d=2.又因为a1a2=10，所以2a1d=10，故a^4.所以an=42(n_1)=2n2(n=1,2j).(H)设等比数列CbJ的公比为q.因为匕2=&3=8,匕3=&7=16,所以q=2,bj=4.所以b6=426J=128.由128=2n2，得n-63.所以b6与数列曲的第63项相等.点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的定义求出数列的首项与公差或公比，再写出通项公式。3.公式法若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列啣的通项an可用公式X«=1Hlh'-^n-1H^2求解。例3.(2015年山东理科)设数列｛an｝的前n项和为Sn，已知2S^3n3.(I)求数列｛an｝的通项公式。解：(I)由2S^3n31可得：当n=1时，厲=0(3■3)=3,当n一2时，an二Sn—Sz=2(3n3)-丄(3心3)=3心(n_2)221_1所以annj.'3,n>1.A……而印=3=3,a'-求解时，要注意对n分类讨论，但若能点评：利用公式合写时一定要合并。4.累加法当递推公式为an,=anf(n)时，其中f(1^f(2)..^f(n)的和比较易求，通常解法是把原递推公式转化为ani-a*=f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。3)，则数例4.(2015年江苏)数列｛an｝满足a1=1，且an彳-an=n•1(nN1列｛一｝的前10项和为解：由题意得:anan^二)■(an」-an/)■…'(a2—a1)'a1n(n1)所以ann(n1)=2』一亠n所以11111s-2(n-^)2(tt^-；^2(^^=2(1一亠」所以205•累乘法当递推公式为and=anf(n)时，其中f(1)f(2)八•f(n)的积比较易求，通常解a法是把原递推公式转化为亠1=f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。an例5.已知数列G1满足a^-,an.1=3n+1—an，求an的通项公式。解：由条件知色」二」annr在上式中分别令n=1,2,3/,(n-1)，得n-1个等式累乘之,an23...n-1a1a2a3an42即an1a1n-an3n6.构造法(1)当递推公式为anpanq(其中p,q均为常数，且pq(p-1)=0)时，通常解法是把原递推公式转化为an1-t=p(an-t)，其中t—，再利用换元法转化1-p为等比数列求解。例6.(2014年新课标全国卷n)已知数列｛an｝满足a,=1,an1=3an•1。1(I)证明｛an•丄｝是等比数列，并求｛an｝的通项公式。2解：由an勺=3an111得an1v3(an2)1所以｛an-｝是首项为2所以an-3nJ223-，公比为3的等比数列2-2_3n-1-2.=pankn-b(其中p,k,b均为常数,解法是把原递推公式转化为an1X(n1)y=p(a“xn•y),px-x=k丿给出。jPy_x_y=b因此数列｛an｝的通项公式为a(2)当递推公式为且pk严0)时，通常其中x,y的值由方程例7.(2007年天津文科)在数列｛an｝中，a1=2,On1=4a^3n，1o求数列｛an｝的通项ano解：由an4an-3n1得an彳-(n1)=4(an-n)又3-1=1所以数列｛an-n｝是首项为1，公比为4的等比数列所以an-n=4n，，即an^4nJ-n.(3)当递推公式为anpan'cn(其中p,c均为常数，且pc=0)时，通常解法是把原递推公式转化为聖冷1。①若P弋，则帯-冷二丄，此时数列ccccccc｛°n｝是以別为首项，以1为公差的等差数列，则*=引，(n-1)1，即ccccccan=(n-a1-1)cn4。②若P=c，则可化为-tp(*-t)(其中t—)形式求cccc一p
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